Deux triangles isocèles

Travaux pratiques de géométrie avec GeoGebra. Trois démonstrations d'un même exercice (version pour ordinateur non connecté à Internet).

Descartes et
les Mathématiques

Atelier APMEP
JN de Grenoble 2011

Document d'accompagnement de l'atelier

Carré inscrit
dans un pentagone

Machine à marcher
En préparatoin

Travaux dirigés

Énoncé

On considère un triangle isocèle ABC dans lequel la médiatrice du côté AC coupe le prolongement de la base BC au point D.
On joint DA que l'on prolonge d'une longueur AE = BD.
– Montrer que le triangle DAC est isocèle. Conséquences ?
– Comparer les triangles ABD et CAE.
– Que peut-on dire du triangle CDE ?

1. Euclide : démonstration par le deuxième cas d'isométrie des triangles

Les triangles ABD et CAE sont isométriques, car :
– les côtés sont de même mesure par construction : BD = AE et AB = CA,
– les angles ABD et CAE sont égaux, car ils ont même supplémentaire α.

De l'isométrie des triangles ABD et CAE, on déduit l'égalité des angles CDE = DEC.
Le triangle CDE est isocèle, car deux angles sont égaux.

Avec GeoGebra, noter les égalités des côtés, marquer les angles égaux α = ABC = ACB puis α = CAD et dessiner les triangles isométriques ABD et CAE.

Lorsque l'on déplace le point A, le triangle DAC est isocèle tant que D est à l'extérieur de [BC].
Après le cas particulier du triangle équilatéral, lorsque α < 60°, le triangle DAC n'est plus isocèle.

2. Rotation

Il est facile d'identifier la rotation qui transforme le triangle ABD en CAE, en dessinant le centre I du cercle circonscrit à ABC.
Le centre de la rotation est situé sur la médiatrice de [AC] et sur la médiatrice de [BA], c'est donc le point I. L'angle de la rotation est l'angle au centre 2α du triangle ABC.

Cette rotation permet d'obtenir une construction du point E (attention au sens des angles avec GeoGebra).
Le triangle DAC est isocèle quelque soit l'angle α.

3. Symétries

Une troisième démonstration très simple du fait que CDE est isocèle.

La symétrie par rapport à la médiatrice de [BC] transforme ABD en ACD’,
la symétrie par rapport à la médiatrice de [AC] transforme ACD’ en CAE.

Indications

Introduction

Exercice sur les angles que l'on peut traiter en troisième et qui rentre bien dans le cadre du programme de seconde de « reconnaissance des propriétés d'un triangle ».
Il se trouve dans un livre de quatrième de 1965. Maintenant l'absence des transformations au lycée ne permet plus de la traiter complètement avant le bac.
Avec un logiciel on peut utiliser les transformations comme boite noire en éventuellement parachutant quelques éléments : par exemple le centre du cercle circonscrit comme centre de rotation.

Rotations et symétrie permettent d'explorer donner deux configurations donnant des ouvertures à ce problème.

Outils	1. Outils Triangle isocèle Connaître les propriétés relatives aux angles dans un triangle isocèle Il semble que cette appliquette Java, créée avec GeoGebra, ne fonctionne pas sur votre ordinateur. Le seul prérequis mathématique est connaître les propriétés des angles : – dans un triangle isocèle d'angle à la base α, l'angle supplémentaire de l'angle au sommet est 2α ; – dans le cercle circonscrit, 2α est aussi l'angle au centre qui intercepte les côtés, autres que la base. Télécharger la figure GeoGebra triangle_isocele.ggb Lors du téléchargement, enregistrer le fichier GeoGebra « triangle_isocele.zip » en le renommant avec l'extension « .ggb ». Construction Il semble que cette appliquette Java, créée avec GeoGebra, ne fonctionne pas sur votre ordinateur. Télécharger la figure GeoGebra triangle_isocele2.ggb Avec GeoGebra, comme en géométrique analytique, le choix des variables est important. Nous avons donc, à partir des points libres B et A, respectivement d'abscisse x et d'ordonnée y, dessiné un un triangle isocèle ABC dont la base est sur l'axe (Ox), le troisième sommet A étant sur l'axe (Oy).
Figure de base
Triangles isométriques
Recherche d'isométrie
Rotation
Symétries

Outils	2. Figure de base Il semble que cette appliquette Java, créée avec GeoGebra, ne fonctionne pas sur votre ordinateur. Télécharger la figure GeoGebra triangle_isocele2.ggb Énoncé plus moderne ABC est un triangle isocèle en A. La médiatrice du côté [AC] coupe (BC) au point D. Comme sur la figure ci-dessus, on place un point E sur la droite (AD) tel que AE = BD. – Montrer que le triangle DAC est isocèle. – Comparer les angles ABD et CAE. – Montrer que les triangles ABD et CAE sont isométriques. – Quelle est la nature du triangle CDE ?
Figure de base
Triangles isométriques
Recherche d'isométrie
Rotation
Symétries

Outils	3. Triangles isométriques Il semble que cette appliquette Java, créée avec GeoGebra, ne fonctionne pas sur votre ordinateur. Télécharger la figure GeoGebra triangles_isoceles.ggb Report de mesure : le point E se place à la règle et au compas. Avec GeoGebra le report de mesure se fait avec l'outil compas qui permet de tracer le cercle de centre A de rayon BD. Il faut choisir le point E entre les deux points d'intersection de ce cercle et de la droite (DA). Dans certains cas, pour obtenir uniquement le deuxième point, il possible de modifier la définition de E en ajoutant le paramètre «,2» dans ses propriétés : Intersection[c, AD, 2] Euclide : démonstration par le deuxième cas d'isométrie des triangles Les triangles ABD et CAE sont isométriques, car : – les côtés sont de même mesure par construction : BD = AE et AB = CA, – les angles ABD et CAE sont égaux, car ils ont même supplémentaire α. Première démonstration par calcul d'angles : De l'isométrie des triangles ABD et CAE, on déduit l'égalité des angles CDE = DEC. Le triangle CDE est isocèle, car deux angles sont égaux. Deuxième démonstration, moins conviviale par mesure de côtés : Le triangle DAC est isocèle, car il a comme son axe de symétrie la médiatrice de [AC]. α = ACB est l'angle à la base, des deux triangles isocèles ABC et DAC. Dans DAC, les côtés égaux sont DA = DC. De l'isométrie des triangles ABD et CAE, on déduit les mesures des côtés DA = EC. On a donc DC = EC. Avec deux côtés de même mesure, le triangle CDE est isocèle en C. Interactivité Lorsque l'on déplace le point A, ces conclusions sont confirmées tant que D est à l'extérieur de [BC]. Après le cas particulier du triangle équilatéral, lorsque α < 60°, le triangle DAC n'est plus isocèle.
Figure de base
Triangles isométriques
Recherche d'isométrie
Rotation
Symétries

Outils	4. Recherche d'isométrie Il semble que cette appliquette Java, créée avec GeoGebra, ne fonctionne pas sur votre ordinateur. Télécharger la figure GeoGebra triangles_isoceles2.ggb Les triangles isométriques sont de même sens : dans quelle isométrie le triangle ABD, a t'il une pour image CAE ? Une étape de la recherche est de trouver de l'image du triangle ABD par la translation de vecteur . On obtient le triangle A₁AD’. L'angle CAA₁ est supplémentaire de l'angle au sommet de ABC, il mesure 2α. La rotation de centre A et d'angle 2α transforme A₁ en C, donc [AA₁] en [AC]. Le triangle DAC isocèle en D, ayant α comme angle à la base, a pour angle au sommet 180° - 2α, supplémentaire de 2α. EAD’ = EAA₁ + A₁AD’ = DAB + ABD. Cette somme des deux angles de ABD a pour supplémentaire 180° - 2α. Donc EAD’ = 2α. La rotation de centre A et d'angle 2α transforme D’ en le point E situé sur la droite (DA). La rotation de centre A, d'angle 2α, transforme le triangle A₁AD’ en CAE. La composée de la translation de vecteur et de cette dernière rotation transforme le triangle ABD en CAE. Sans expliciter cette transformation, on a bien démontré que ces triangles sont isométriques. Autrefois on savait expliciter cette composée comme rotation d'angle 2α. Mais le groupe transitif des rotations-translations est une affaire de mathématiques modernes...
Figure de base
Triangles isométriques
Recherche d'isométrie
Rotation
Symétries

Outils	5. Rotation Il semble que cette appliquette Java, créée avec GeoGebra, ne fonctionne pas sur votre ordinateur. Télécharger la figure GeoGebra triangles_isoceles3.ggb En passant la recherche du paragraphe précédent, il est facile d'identifier la rotation qui transforme le triangle ABD en CAE, surtout si on dessine le centre I du cercle circonscrit à ABC. Le centre de la rotation est situé sur la médiatrice de [AC] et sur la médiatrice de [BA], c'est donc le point I. L'angle de la rotation est l'angle au centre 2α du triangle ABC. Cette rotation permet d'obtenir une construction du point E (attention au sens des angles avec GeoGebra). Interactivité Cette construction est plus fiable que la première. Le triangle DAC est isocèle quelque soit l'angle α. En effet, il est logique que lorsque A se déplace vers A’, que le point E se déplace vers D. Modifier l'énoncé de l'exercice en conséquence.
Figure de base
Triangles isométriques
Recherche d'isométrie
Rotation
Symétries

Outils	6. Symétries Il semble que cette appliquette Java, créée avec GeoGebra, ne fonctionne pas sur votre ordinateur. Télécharger la figure GeoGebra triangles_isoceles4.ggb Une rotation de centre I, d'angle 2α, est la composée de deux symétries par rapport à des droites sécantes en I, d'angle α. La symétrie par rapport à la médiatrice de [BC] transforme ABD en ACD’, d'où AD = AD’. La symétrie par rapport à la médiatrice de [AC] transforme ACD’ en CAE, d'où AD’ = CE. Soit AD = CE. Mais comme dans le triangle isocèle ADC, AD = CD, on a CE = CD qui est une troisième démonstration très simple du fait que CDE est isocèle.
Figure de base
Triangles isométriques
Recherche d'isométrie
Rotation
Symétries

Conclusion

Certes, maintenant, sans les étudier, on parle d'isométrie plutôt que d'égalité ; cela fait plus savant et on largue la moitié des élèves.
Mais sans Euclide, ni les transformations, l'enseignement des mathématiques au lycée est devenu bien fade.

Pourtant cet exercice assez simple, démontré dans trois cadres, permet des activités fécondes qui n'excluent pas quelques difficultés, voire certains contresens.
Le logiciel aide aux calculs d'angles et prend en charge les transformations qui ne sont plus au programme.
La géométrie dynamique permet d'explorer des situations comme α < 60°.

Bibliographie

Richeton Jean-Pierre — Géométrie en classe de seconde — Une illustration du rapport Kahanne sur la géométrie — Bulletin vert n^o 435 — Septembre 2001

D'après Macia Gaspard — Isométries du plan en Terminale C ou E — Bulletin vert n^o 377 — Février 1991 :
Une isométrie f du plan, où un point B a pour image A, se décompose de façon unique en f = r o t où t est la translation de vecteur et r est une isométrie fixant A (r est une rotation de centre A si f est une isométrie directe, c'est une symétrie d'axe passant par A si f est une isométrie indirecte).

Faire de la géométrie dynamique
avec GeoGebra

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Page n° 178, créée le 13/10/2011

Deux triangles isocèles

Travaux dirigés

Énoncé

1. Euclide : démonstration par le deuxième cas d'isométrie des triangles

2. Rotation

3. Symétries

Indications

Introduction

1. Outils

Triangle isocèle

Connaître les propriétés relatives aux angles dans un triangle isocèle

Construction

2. Figure de base

Énoncé plus moderne

3. Triangles isométriques

Euclide : démonstration par le deuxième cas d'isométrie des triangles

Interactivité

4. Recherche d'isométrie

5. Rotation

Interactivité

6. Symétries

Conclusion

Bibliographie

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