Descartes et les Mathématiques
L'algorithme de Kaprekar
Sommaire1. Nombres de trois chiffres |
Par Françoise Bourhis-Lainé | ||||
Accueil |
Trisection |
Grands problèmes de la géométrie |
|||
1. Nombres de trois chiffres
Algorithme
– Prendre un nombre X de trois chiffres, compris entre 100 et 998.
– Arranger par ordre décroissant les chiffres a, b et c de X tels que tel que a ≥ b ≥ c.
– Créer dans l'ordre décroissant le nombre abc et dans l'ordre croissant le nombre cba.
– Calculer la différence Y = abc - cba et refaire les opérations en remplaçant X par Y.
Conclusions
Que que soit le nombre X choisi (distinct de aaa), Y finit toujours par tomber
sur le nombre 495 et y reste.
De plus, ce résultat apparaît au bout de six
tours au maximum.
Remarques
Pour des nombres de deux chiffres ab, on les écrit 0ab en plaçant un c = 0 devant.
Y = abc - cba = 100 a + c - 100 c - a = 99 (a - c) (après simplification de 10 b).
1 ≤ a ≤ 9 donc 1 ≤ a - c ≤ 9. Les nombres Y sont les multiples de 99 de 99 à 891.
On a donc quel que soit le premier élément X, une des neuf suites suivantes :
a - c = 1 : 100 > 99 > 891 > 792 > 693 > 594 > 495.
a - c = 2 : 231 > 198 > 792 > 693 > 594 > 495.
a - c = 3 : 254 > 297 > 693 > 594 > 495.
a - c = 4 : 315 > 396 > 594 > 495.
a - c = 5 : 361 > 495.
a - c = 6 : 397 > 594 > 495.
a - c = 7 : 429 > 693 > 594 > 495.
a - c = 8 : 519 > 792 > 693 > 594 > 495.
a - c = 9 : 930 > 891 > 792 > 693 > 594 > 495.
2. Nombres de deux chiffres
Algorithme
– Prendre un nombre X de deux chiffres distincts.
– Arranger par ordre décroissant les chiffres a et b de X tels que tel que a > b.
– Créer dans l'ordre décroissant le nombre ab et dans l'ordre croissant le nombre ba.
– Calculer la différence Y = ab - ba et refaire les opérations en remplaçant X par Y.
Conclusions
Que que soit le nombre X choisi (distinct de aa), après un ou deux calculs, on tombe sur le cycle :
09 > 81 > 63 > 27 > 45 > 09 >…
Remarques
Les nombres a inférieurs à 10 sont écrits 0a en plaçant un b = 0 devant.
Y = ab - ba = 10 a + b - 10 b - a = 99 (a - b)
1 ≤ a ≤ 9 donc 1 ≤ a - b ≤ 9. Les nombres Y sont les multiples de 9 de 9 à 81.
On a donc quel que soit le premier élément X, un des cinq cycles suivants :
a - b = 1, 9 : 10 > 09 > 81 > 63 > 27 > 45 > 09 >…
a - b = 2, 3, 7 : 13 > 18 > 63 > 27 > 45 > 09 > 81 > 63 >…
a - b = 4, 5 : 51 > 36 > 27 > 45 > 09 > 81 > 63 > 27 >…
a - b = 6 : 71 > 54 > 09 > 81 > 63 > 27 > 45 > 09 >…
a - b = 8 : 91 > 72 > 45 > 09 > 81 > 63 > 27 > 45 >…
3. Nombres de quatre chiffres
Que que soit le nombre X choisi (distinct de aaaa), Y finit toujours par tomber sur le nombre 6174 et y reste.
De plus, ce résultat apparaît au bout de huit tours au maximum.
Page créée le 7/7/2010