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Le triangle au collège avec GeoLabo

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Cinq exercices interactifs sur le triangle avec GeoLabo (logiciel libre de géométrie dynamique).

Descartes

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Sommaire

1. Triangles particuliers
2. Somme des angles d'un triangle
3. Droite des milieux
4. Angles et triangles
5. Triangle rectangle isocèle
6. Droites parallèles
7. Trouver un triangle isocèle

Triangles en seconde
Triangles rectangles
Triangles équilatéraux

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Théorème de Thalès

Parallélépipède rectangle en 6e

Debart.fr

1. Triangle particuliers

Classe de sixième (sauf Thalès et Pythagore pour le triangle rectangle en troisième)

Triangle isocèle

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.

Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.

La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle.

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Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur,
les trois angles sont égaux et mesurent 60 degrés.

Les trois médiatrices sont axes de symétrie du triangle.

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GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle isocèle

Triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Thalès : un triangle rectangle s'inscrit dans un demi-cercle et réciproquement.

Pythagore : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et réciproquement.

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Triangle quelconque

On dit qu'un triangle est quelconque s'il n'est ni rectangle, ni isocèle.

2. Somme des angles d'un triangle

Classe de cinquième

La somme des angles géométriques d'un triangle est un angle plat.

 + angle B + Angle C = 180°.

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L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles
intérieurs non adjacents.

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Pour un triangle isocèle en A, angle B = angle C donc angle A = 180 - 2angle B et angle B = angle C = 90 - angle A/2 : les angles égaux sont aigus.
Pour un triangle équilatéral angle A = angle B = angle C = 180°/3 = 60°.
Pour un triangle rectangle en A, angle A = 90°, angle B + angle C = 90° : les deux autres angles sont aigus et complémentaires.

Un triangle admet au maximum un angle obtus : si angle A > 90°, angle B + angle C < 90°, les deux autres angles sont aigus.

Démonstration

La symétrie centrale, et la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle, permet de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés.

On mobilise deux fois le même pas de démonstration, qui consiste à utiliser les symétries centrales de centre I et J milieux de [AC] et de [AB], transformant la droite (BC) en (d), pour établir les égalité d'angles CBA = C'ÂB et ACB = CÂB’
et on conclut avec l'angle plat C'ÂB’ = C'AB + BÂC + CÂB’ = CBA + BÂC + ACB = Angle B + Â + Angle C = 180°.

Dans la figure de droite, en traçant la parallèle au troisième côté, on montre que l'angle extérieur est égal à la somme de deux angles, Â pour les angles correspondants et Angle B pour les angles alternes-internes.

3. Droite des milieux

Classe de quatrième

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.

Premier théorème des milieux

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors (IJ) est parallèle à (BC).

Deuxième théorème des milieux

Si une droite parallèle à un côté d'un triangle passe par le milieu d'un autre côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Dans un triangle ABC, soit I le milieu de [AB]. La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J.
J est alors le milieu [AC].

Troisième théorème des milieux

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors IJ = 1/2 BC.

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4. Angles et triangles

OBC est un triangle équilatéral.
OAC est un triangle rectangle (B milieu de l'hypoténuse).
OCD est un triangle rectangle isocèle en C.

Trouver les mesures des angles de cette figure.

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5. Triangle rectangle isocèle

ABCD est un carré.
E est le symétrique de C par rapport à D.
I est le milieu de [BC], J est le milieu de [DE].

Montrer que le triangle AIJ est rectangle isocèle en A.

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6. Droites parallèles

Soit ABC un triangle et son cercle circonscrit (c) de centre O.
A’ est le point diamétralement opposé à A sur le cercle (c).
La hauteur (AH) issue de A du triangle ABC recoupe le cercle (c) au point D.

Montrer que (DA’) est parallèle à (BC).

Indication

Le triangle rectangle ADA’ est inscrit dans un demi-cercle.

 

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7. Construire un triangle isocèle

Classe de quatrième, troisième ou seconde

ABC est un triangle,
M un point du segment [AB],
la parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N.

Où doit-on placer le point M pour que le triangle BMN soit isocèle en M ?

Le point N est sur la bissectrice de l'angle ABC.

 

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Table de matières

1. Triangles particuliers
2. Somme des angles d'un triangle
3. Droite des milieux
4. Angles et triangles
5. Triangle rectangle isocèle
6. Droites parallèles
7. Dessiner un triangle isocèle

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