Cinq exercices interactifs sur le triangle avec GeoLabo (Logiciel libre de géométrie dynamique).
	Le triangle au collège avec GeoLabo Milieux et parallèles	Descartes et les Mathématiques

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Sommaire

1. Triangles particuliers
2. Somme des angles d'un triangle
3. Droite des milieux
4. Angles et triangles
5. Triangle rectangle isocèle
6. Droites parallèles
7. Trouver un triangle isocèle

Le triangle dans les programmes du collège

Programme de 5^e
Programme de 4^e

Page n° 72, modifiée le 23/1/2006

Triangles en seconde
Triangles rectangles
Triangles équilatéraux

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1. Triangle particuliers

Classe de sixième (sauf Thalès et Pythagore pour le triangle rectangle en troisième)

Triangle isocèle

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.

Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.

La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle.

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Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur,
les trois angles sont égaux et mesurent 60 degrés.

Les trois médiatrices sont axes de symétrie du triangle.

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Triangle rectangle

Un triangle rectangle a un angle droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Thalès : un triangle rectangle s'inscrit dans un demi-cercle et réciproquement.

Pythagore : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et réciproquement.

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Triangle quelconque

On dit qu'un triangle est quelconque s'il n'est ni rectangle, ni isocèle.

2. Somme des angles d'un triangle

Classe de cinquième

La somme des angles géométriques d'un triangle est un angle plat.

+ + = 180°.

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L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.

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Pour un triangle isocèle en A, = donc = 180 - 2 et = = 90 - /2 : les angles égaux sont aigus.
Pour un triangle équilatéral = = = 180°/3 = 60°.
Pour un triangle rectangle en A, = 90°, + = 90° : les deux autres angles sont aigus et complémentaires.

Un triangle admet au maximum un angle obtus : si > 90°, + < 90°, les deux autres angles sont aigus.

Démonstration

La symétrie centrale, et la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle, permet de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés.

On mobilise deux fois le même pas de démonstration, qui consiste à utiliser les symétries centrales de centre I et J milieux de [AC] et de [AB], transformant la droite (BC) en (d), pour établir les égalité d'angles CBA = C'ÂB et ACB = CÂB'
et on conclut avec l'angle plat C'ÂB' = C'AB + BÂC + CÂB' = CBA + BÂC + ACB = + + = 180°.

Dans la figure de droite, en traçant la parallèle au troisième côté, on montre que l'angle extérieur est égal à la somme de deux angles, pour les angles correspondants et pour les angles alternes-internes.

3. Droite des milieux

Classe de quatrième

Premier théorème des milieux

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors (IJ) est parallèle à (BC).

Deuxième théorème des milieux

Si une droite parallèle à un côté d'un triangle passe par le milieu d'un autre côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Dans un triangle ABC, soit I le milieu de [AB]. La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J.
J est alors le milieu [AC].

Troisième théorème des milieux

Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors IJ = BC.

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4. Angles et triangles

OBC est un triangle équilatéral.
OAC est un triangle rectangle (B milieu de l'hypoténuse).
OCD est un triangle rectangle isocèle en C.

Trouver les mesures des angles de cette figure.

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5. Triangle rectangle isocèle

ABCD est un carré.
E est le symétrique de C par rapport à D.
I est le milieu de [BC], J est le milieu de [DE].

Montrer que le triangle AIJ est rectangle isocèle en A.

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6. Droites parallèles

Soit ABC un triangle et son cercle circonscrit (c) de centre O.
A' est le point diamétralement opposé à A sur le cercle (c).
La hauteur (AH) issue de A du triangle ABC recoupe le cercle (c) au point D.

Montrer que (DA') est parallèle à (BC).

Indication

Le triangle rectangle ADA' est inscrit dans un demi-cercle.

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Sommaire
Faire des maths… avec GéoPlan

7. Trouver un triangle isocèle

Classe de quatrième, troisième ou seconde

Extrait de : Favoriser l'activité mathématique - Serge Betton & Sylvie Coppé
Bulletin APMEP n°461 - Nov. 2005

ABC est un triangle,
M un point du segment [AB],
la parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N.

Où doit-on placer le point M pour que le triangle BMN soit isocèle en M ?

Le point N est sur la bissectrice de l'angle ABC.

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Sommaire
Faire des maths… avec GéoPlan

Le triangle dans les programmes du collège

Extrait du programme de géométrie de 5^e (2006)

Contenu	Compétences exigibles	Commentaires
Somme des angles d'un triangle La démonstration de cette propriété est suggérée : à partir de constructions de symétriques ou grâce à la caractérisation angulaire du parallélisme.	Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la somme des angles d’un triangle. Savoir l’appliquer aux cas particuliers du triangle équilatéral, d’un triangle rectangle, d’un triangle isocèle.	La symétrie centrale ou la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle permettent de démontrer que la somme des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Exemples d’utilisation : trouver quels triangles isocèles ont un angle de 80 degrés. Démontrer l’alignement de trois points
Construction de triangles et inégalité triangulaire.	Connaître et utiliser l’inégalité triangulaire. Construire un triangle connaissant : - la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents, - les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés, - les longueurs des trois côtés. - Sur papier uni, reproduire un angle au compas.	Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu’un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu. L’inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis : AB + BC ≥ AC. Le cas de l’égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l’appartenance du point B au segment [AC]. Ces constructions permettent un premier contact (implicite) avec les trois cas d'isométrie des triangles (théorèmes rencontrés en classe de seconde).
Cercle circonscrit à un triangle	Construire le cercle circonscrit à un triangle.	La caractérisation de la médiatrice d’un segment à l’aide de l’équidistance a déjà été rencontrée en classe de sixième. Elle permet de démontrer que les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes et justifie la construction du cercle circonscrit à un triangle.
Aire du triangle	Calculer l’aire d’un triangle connaissant un côté et la hauteur associée.	La formule de l’aire du triangle est déduite de celles de l'aire du parallélogramme, du triangle rectangle ou du rectangle. Le fait que chaque médiane d’un triangle le partage en deux triangles de même aire est démontré.

Extraits du programme de géométrie de 4^e

Contenu	Compétences exigibles	Commentaires
Milieux et parallèles.	Connaître et utiliser les théorèmes suivants relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, elle est parallèle au troisième. Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté, elle coupe le troisième en son milieu. Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.	La symétrie centrale et les propriétés caractéristiques du parallélogramme permettent de démontrer ces théorèmes.
Droites remarquables d'un triangle.	Construire les bissectrices, les hauteurs, les médianes, les médiatrices d'un triangle ; en connaître une définition et savoir qu'elles sont concourantes.	Certaines de ces propriétés de concours pourront être démontrées ; ce sera l'occasion de mettre en œuvre les connaissances de la classe ou celles de 5^e. On pourra étudier la position du point de concours de la médiane sur chacune d'elles.