Le triangle au collège avec GeoLabo
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Cinq exercices interactifs sur le triangle avec GeoLabo (logiciel libre de géométrie dynamique).
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Si les figures ci-dessous ne s'affichent pas, Java de Sun n'est pas installé sur votre ordinateur, voir la page téléchargement de GeoLabo Sommaire1. Triangles particuliers |
Triangles en seconde Figures classiques : voir la version non interactive de cette page | ||
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Classe de sixième (sauf Thalès et Pythagore pour le triangle rectangle en troisième)
Triangle isocèle
Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base. Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux. La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle.
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Triangle équilatéralUn triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur, Les trois médiatrices sont axes de symétrie du triangle.
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Triangle rectangleUn triangle rectangle a un angle droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires. Thalès : un triangle rectangle s'inscrit dans un demi-cercle et réciproquement. Pythagore : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et réciproquement.
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On dit qu'un triangle est quelconque s'il n'est ni rectangle, ni isocèle.
2. Somme des angles d'un triangle |
Classe de cinquième |
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La somme des angles géométriques d'un triangle est un angle plat.
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L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles
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Pour un triangle isocèle en A, 
= 
donc 
= 180 - 2 et = = 90 - /2 : les angles égaux sont aigus.
Pour un triangle équilatéral = = = 180°/3 = 60°.
Pour un triangle rectangle en A, = 90°, + = 90° : les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Un triangle admet au maximum un angle obtus : si > 90°, + < 90°, les deux autres angles sont aigus.
Démonstration
La symétrie centrale, et la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle, permet de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés.
On mobilise deux fois le même pas de démonstration, qui consiste à utiliser les symétries centrales de centre I et J milieux de [AC] et de [AB], transformant la droite (BC) en (d), pour établir les égalité d'angles CBA = C'ÂB et ACB = CÂB’
et on conclut avec l'angle plat C'ÂB’ = C'AB + BÂC + CÂB’ = CBA + BÂC + ACB = 
+ 
+ 
= 180°.
Dans la figure de droite, en traçant la parallèle au troisième côté, on montre que l'angle extérieur est égal à la somme de deux angles, pour les angles correspondants et pour les angles alternes-internes.
Classe de quatrième
Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.
Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors (IJ) est parallèle à (BC).
Si une droite parallèle à un côté d'un triangle passe par le milieu d'un autre côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.
Dans un triangle ABC, soit I le milieu de [AB]. La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J.
J est alors le milieu [AC].
Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB] et J le milieu [AC], alors IJ = 
BC.
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4. Angles et trianglesOBC est un triangle équilatéral. Trouver les mesures des angles de cette figure.
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5. Triangle rectangle isocèleABCD est un carré. Montrer que le triangle AIJ est rectangle isocèle en A.
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Soit ABC un triangle et son cercle circonscrit (c) de centre O.
A’ est le point diamétralement opposé à A sur le cercle (c).
La hauteur (AH) issue de A du triangle ABC recoupe le cercle (c) au point D.
Montrer que (DA’) est parallèle à (BC).
Le triangle rectangle ADA’ est inscrit dans un demi-cercle.
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Classe de quatrième, troisième ou seconde
ABC est un triangle,
M un point du segment [AB],
la parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] en N.
Où doit-on placer le point M pour que le triangle BMN soit isocèle en M ?
Le point N est sur la bissectrice de l'angle ABC.
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