René DescartesDescartes et les Mathématiques

Discussion géométrie

1. Comment dessiner les figures de Morgane le Gall du Monde Science & Techno, 2 mars 2013: à qui appartient le savoir ?

2. Triangle rectangle et cercles tangents

Deux cercles du triangle rectangle, tangents au circonscrit - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2010

Trois cercles : le cercle inscrit dans le triangle rectangle et deux autres tangents à l'hypoténuse, à la hauteur et au cercle circonscrit.

Pierre

Origine à préciser

[BC] diamètre d'un grand cercle de centre O et de rayon R,
A point quelconque sur le grand cercle,
hauteur [AH] du triangle retangle ABC, perpendiculaire à l'hypoténuse [BC].

Cercle (c2), de centre I2, de rayon r, tangent en T2 au grand cercle, à [HA] et en A2 à [HC],
cercle (c3), de centre I3, de rayon r3, tangent en T3 au grand cercle, à [HA] et en A3 à [HB],
cercle (c1), de centre I1, inscrit dans le triangle ABC.

Démontrer que les centres des trois cercles sont alignés
et que le centre du cercle inscrit est à égale distance des deux autres centres.

Indications
Géométrie synthétique

Le cercle inscrit, de rayon r1, est tangent au côté [BC] en A1.
La tangente (AC) au cercle inscrit a pour symétrique, par rapport à la bissectrice de l'angle ABC, une des tangentes issue de A2 au cercle inscrit est la perpendiculaire en A2 à (BC).
Le point A2 de [BC] est tel que BA2 = BA
On trouve de même que pour le point A3 tel CA3 = CA, la perpendiculaire en A3 à (BC) est tangente au cercle inscrit.
Les points A2 et A3 sont situés à une distance r1 de A1.

On peut conjecturer que A2 et A3 sont les points de contact des cercles (c2) et (c3) avec [BC],
et que les deux tangentes, parallèles à (A1I1), coupent les bissectrices des angles AHC et AHB en I2 et I3, centres des cercles tangents.

Preuve en choisissant H entre O et C.

Une relation métrique avec la hauteur du triangle rectangle ABC permet d'écrire BH = BA2/BC = c2/a, d'où r = BA2 – BH = cc2/a.
Avec la relation de Pythagore dans le triangle OI2A2, on a : OI22 = OA22 + A2I22 = (1/2ac)2 + r2.
Le point T2 du cercle de centre I2 situé sur la droite (OI2) est tel que OT2 = OI2 + r = OA. T2 est donc bien sur le cercle circonscrit et ces deux cercles sont tangents en T2.

On trouve de même que r3 = bb2/a et que le point T3 est le point de contact de (c3) avec le cercle circonscrit.

1/2(r2 + r3) = 1/2[(cc2/a) + (bb2/a)] = 1/2[c + b – (c2+b2)/a] = 1/2[c + b – a] = p – a = r1 (par Pythagore c2+b2 = a2 et formule du rayon du cercle inscrit).

Par la réciproque du théorème du milieu dans le trapèze A2I2I3A3, la relation 1/2 (r2 + r3) = r1 montre que le centre I1 du cercle inscrit est le milieu du segment [I2I3].

Géométrie analytique

Voici des calculs en choisissant H entre O et C.

Il suffit d'écrire la relation de Pythagore dans le triangle OI2A2 : OI22 = OA22 + A2I22.
On a : OI2 = OT2 – T2I2 = R – r ; OA2 = OH + HA2 = OH + r ; A2I2 = r.

On trouve (R – r)2 = (OH + r)2 + r2 soit l'équation du second degré r2 + 2r(OH + R) + OH2 – R2 = 0 permettant de trouver,
avec Δ’ = (OH + R)2 + R2 – OH2 = 2R2 + 2R.OH = 2R(R + OH), la seule solution positive r = – (OH + R) + rac(Δ’).

De même dans le triangle OI3A3 : OI32 = OA32 + A3I32.
On a : OI3 = OT3 – T3I3 = R – r3 ; OA3 = OH – HA3 = OH – r3 ; A3I3 = r3.
D'où l'équation (R – r3)2 = (OH – r3)2 + r32, soit r32 + 2r3(R – OH) + OH2 – R2 = 0. Δ’ = (R – OH)2 + R2 – OH2 = 2R(R – OH)
et le calcul de r3 = OH – R + rac(Δ’).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : cercles du triangle rectangle tangents au circonscrit

3. Problème d'Apollonius :

construction d'uncercle tangent à trois cercles

Méthode des inversions

cercles tangents a trois cercles - copyright Patrice Debart 2010

Je me suis permis de vous écrire pour que vous puissiez me renseigner sur la spécificité d'un point H, situé sur la droite des pôles positifs (S1S2).
Comment démontrer par l'algèbre que ce point H est indépendant du point M.

Nicolas

La puissance du point H par rapport à (c3) est égale à celle par rapport au cercle solution, cercle circonscrit à ABC.
Le point H est fixe comme pied de la tangente commune au cercle solution et à (c3).

On voudrait démontrer la réciproque. C'est peut-être vrai par équivalence, mais j'ai peur d'une erreur de raisonnement !

La preuve analytique existe, GéoPlan l'utilise pour trouver le point fixe, mais cela doit être trop difficile et sans intérêt.

Des pistes de recherche : sur la figure on voit que les droites (MN) et (PK) passent par les deux points fixes H et K, pieds des tangentes communes.

Elles se coupent en I sur la droite fixe (IJ), axe radical des cercles (c1) et (c3). Le point J est fixe et l'axe radical est la perpendiculaire à (O1O3) passant par H. Le centre radical G et le centre Ω du cercle (c) sont sur situés la droite (IJ). Ω est sur le segment [OO’] formé par les centres des cercles solutions.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle_CCC_7.g2w

Je ne sais pas en dire plus !

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Page créée le 23/3/2010
mise à jour le 19/1/2013