jMath3D en cinquième

Géométrie dans l'espace : prisme droit - Patron du prisme - Cube tronqué.
	L'espace en cinquième avec jMath3D	Descartes et les Mathématiques

Sommaire

1. Prisme de base triangulaire
2. Prisme dont la base est un parallélogramme
4. Une maison avec GéoSpace
5. Cube tronqué

Figures classiques : voir la version non interactive de cette page

Page n^o 94, réalisée le 9/10/2006,
modifiée pour jMath3D le 14/1/2008

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Debart.fr

…avec GéoSpace

GéoPlan 5^e
Construction
de triangles

GéoSpace en 4^e
Pyramide

GéoSpace en 3^e
Sections planes :
cube, pyramide

jMath3D

JMath3D est une applet Java gratuite de visualisation et manipulation en perspective d'objets mathématiques, conçue par François Pirsch pour l'enseignement.
Il suffit d'avoir Java 1.5 minimum pour l'utiliser.
Vous trouverez ci-dessous son utilisation en logiciel manipulant des figures réalisées avec GéoSpace (fichiers .g3w).

Pour faire tourner la vue, déplacer la souris dans le cadre en maintenant son bouton gauche cliqué.
Pour faire pivoter la caméra sur elle-même, faire la même chose avec le bouton droit.
Pour zoomer, utiliser la molette.

Technique jMath3D : les figures déformables comportant des instructions non prises en compte par l'applet sont transformées en figures absolues avec des points repérés fixes : par exemple dans la figure 1, le point H projection de C sur (AB) est remplacé par le point de coordonnées (0.3,0.5,0).

Prisme - Définition

Un prisme est un solide ayant deux bases qui sont polygones. Ces polygones situés dans des plans parallèles sont isométriques.
Les arêtes du prisme sont des droites parallèles. Les faces latérales sont des parallélogrammes.

Pour un prisme droit les arêtes sont perpendiculaires aux plans des bases et les faces latérales sont des rectangles.
Leur longueur est alors la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

1. Prisme de base triangulaire

a. Prisme droit de base triangulaire

ABC et DEF sont les bases du prisme droit ABCDEF.

Les faces latérales ABED, BCFE et CADF sont des rectangles.

Les arêtes [AD], [BE] et [CF] sont perpendiculaires aux plans des bases. Leur longueur est la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

Télécharger la figure GéoSpace prisme.g3w

Volume

Volume(ABCDEF) = Aire de la base × hauteur
= Aire(ABC) × AD.

Aire(ABC) = base × hauteur = AB × CH.

Volume(ABCDEF) = AB × CH × AD.

Base, hauteur

Il est difficile, pour les élèves, d'identifier base et hauteur, notions que l'on trouve aussi bien dans le prisme que dans le triangle.

Dans le sens commun, comme dans la figure de gauche, la base ABC du prisme est horizontale et la hauteur [AD] est verticale.

En géométrie ces objets sont indépendants de leur position. Par exemple, dans la figure ci-dessus la base ABC du prisme est verticale et la hauteur [AD] est horizontale.

Pour le calcul de l'aire du triangle ABC, dans la figure de gauche la hauteur [CH] est horizontale, on retrouve le langage courant, dans la figure ci-dessus, avec la base [AB] horizontale et la hauteur [CH] verticale.

Aire latérale

L'aire latérale d'un prisme droit est égale au périmètre de la base multiplié par la hauteur :
(AB + BC + CA) × AD.

Télécharger la figure GéoSpace prisme_h.g3w

b. Patron d'un prisme - Technique GéoSpace

On obtient, parmi tous les patrons possibles, un patron choisi par GéoSpace en fonction de l'ordre dans lequel ont été donnés les sommets du polyèdre lors de sa création.
Les trois premiers sommets appartenant à une même face du polyèdre définissent la face principale du patron et le plan dans lequel sera situé le patron lorsqu'il sera complètement ouvert ; les autres faces s'articulent autour de cette face.

En pratique pour un prisme, commencer par les sommets d'une face latérale pour obtenir un patron habituel. Le prisme ABCDEF de base triangulaire ABC sera nommé ABEDCF en commençant par la face ABED, noms des sommets écrits dans cet ordre.

Dans le menu « Créer », choisir l'option « patron d'un polyèdre ». Le coefficient d'ouverture du patron est une variable réelle libre, m dans mes exemples, comprise entre 0 et 1 ; si elle est égale à 1 le patron est plan, si elle est égale à 0 le patron coïncide avec le prisme. Pour ouvrir un patron par étapes, il suffit de piloter cette variable au clavier.

Télécharger la figure GéoSpace prisme_patron.g3w

2. Prisme dont la base est un parallélogramme - Parallélépipède rectangle

(Extrait de GéoSpace en 6^e)

Parallélépipède : polyèdre à six faces qui sont toutes des parallélogrammes. Les faces opposées sont égales et parallèles.
C'est un prisme dont la base est un parallélogramme.

Parallélépipède rectangle : polyèdre à six faces qui sont toutes des rectangles. C'est un prisme droit dont la base est un rectangle.

Volume

Volume(ABCDEFGH) = Aire de la base × hauteur
= Aire(ABCD) × AE = AB × AD × AE.

Patron du prisme droit dont la base est un parallélogramme - voir : GéoSpace en 6^e

Télécharger la figure GéoSpace parallelepipede.g3w

4. Une maison avec GéoSpace et jMath3D

La reproduction d'une maison a la forme d'un parallélépipède rectangle, surmonté d'un prisme droit.
La longueur du parallélépipède est de 7 cm, sa largeur de 5 cm et sa hauteur de 4 cm.
La hauteur totale de cette maison est de 6 cm.

Le volume v est alors de 175 cm³.

Volume

Calculer le volume compris entre les murs et ajouter celui du toit :
Volume(ABCDEFGHIJ) = Volume(ABCDEFGH) + Volume(EFGHIJ)

Volume du parallélépipède : Volume(ABCDEFGH)
= Aire(ABFE) × FG = AB × AE × FG = a × c × b,
Volume du prisme : Volume(EFGHIJ) = Aire(FEI) × FG
= FE × (h-c) × FG = a × (h-c) × b.

Volume(ABCDEFGHIJ) = Aire(ABFE) × FG + Aire(FEI) × FG
= [ Aire(ABFE) + Aire(FEI) ] × FG.

Volume(ABCDEFGHIJ) = a × c × b + a × (h-c) × b = a × [ c + (h-c)] × b = a × (h+c) × b.

Effectivement la maison est un prisme de base pentagonale ABFIE
et avec Aire(ABFE) + Aire(FEI) = Aire(ABFIE) on retrouve :
Volume(ABCDEFGHIJ) = Aire(ABFIE) × FG = Aire de la base × hauteur.

Commande jMath3D : ouvrir ou fermer le patron en déplaçant le paramètre d'ouverture m avec le curseur.

Télécharger les figures GéoSpace maison.g3w, maison_patron.g3w
Sommaire
Faire des maths… avec GéoPlan

5. Cube tronqué

Cube aux « coins coupés ».

Rallye Mathématiques Poitou-Charentes - 2007

On a coupé un « coin » du cube au tiers des arêtes.

Représenter en perspective le solide obtenu en coupant, de même manière, les huit « coins ».

Décrire le solide obtenu : nombre de faces, nombre d'arêtes, nombre de sommets.

jMath3D : pourquoi s'affiche la diagonale B₂F₃ ?

Solide d'Archimède (287-212 av. J.-C.) : Polyèdre semi-régulier dont les faces sont des polygones réguliers, ceux-ci pouvant être différents, mais disposés dans le même ordre autour de chaque sommet. Le cube tronqué est un des 13 solides d'Archimède.

Télécharger la figure GéoSpace cube_tronque.g3w

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