Descartes et les Mathématiques
Jeux et problèmes arithmétiques de l'APMEP
Renversons les nombres - L'ascension - bulletins APMEP no 343/344/346 - 1984
Sommaire
Renversons les nombres
L'ascension
APMEP |
Renversons les nombres
Jeux et maths - bulletin APMEP no 343 - avril 1984
Henry Camous de Marseille propose le jeu numérique suivant :
Multiplions par 9 le nombre 1089.
Examinons le résultat obtenu : 9801.
La multiplication par 9 a renversé le nombre 1081. Existe-t-il d'autres nombres qui se renversent ainsi par multiplication par 9 ?
Est-il possible de donner une formulation générale de ces nombres ?
Est-il possible de remplacer 9 par 8, par 7 ? par un autre nombre ?
Jeux et maths - bulletin APMEP no 345 - septembre 1984
Ce jeu a provoqué le plus volumineux courrier depuis les « tuiles voisines », de nombreux micros ordinateurs ont été programmés (François Minot).
Voici les solutions trouvées sur Thomson TO7 où le premier facteur est inférieur à 220 000 et le deuxième entre 2 et 9.
|
1 089 × 9 = 9 801 |
2 178 × 4 = 8 712 |
On peut vérifier que 10 … 89 × 9 = 98 … 01 et que 21 … 78 × 4 = 87 … 12 où les trois points sont à remplacer par n chiffres 9.
En cours de développement : voir l'article dans le bulletin APMEP.
L'ascension
Jeux et maths - bulletin APMEP no 344 - juin 1984
Un petit concours à proposer en société. On croit trouver immédiatement la réponse, mais il y a quelqu'un qui a pu faire mieux ! Et puis il y a encore mieux !
Cette fois, c'est probablement la solution, mais comment le prouver ?
Matériel : une feuille de papier sur laquelle on peut préparer des quadrillages 3 × 3.
Deux cases qui ont un côté en commun ou même seulement un sommet en commun sont dites voisines.
Déroulement : Placez d'abord deux fois le naturel UN dans deux cases voisines de votre choix.
|
Par exemple : |
|
Ensuite, compléter les autres cases dans l'ordre qu'il vous plaira en écrivant dans chacune d'elles le total des naturels précédemment inscrits dans les cases voisines.
|
|
|
|
|
|
|
But : Obtenir le naturel le plus élevé.
Évidemment pour relancer le jeu rien n'empêche de choisir un quadrillage plus grand.
LE DÉFI : J'attends vos records sur les damiers 3 × 3, 3 × 4, 4 × 4, 5 × 5 et pourquoi pas 8 × 8 !
L'ascension
Jeux et maths - bulletin APMEP no 346 - décembre 1984
Vous avez été nombreux à m'envoyer vos résultats, mais c'est Patrice Debart qui détient tous les records.
Il a mené ses recherches à l'aide d'un micro-ordinateur TO7 et nous annonce que pour le carré 3 × 3, le score de 44 est le record définitif puisque « l'ordinateur a testé tous les cas possibles ».
|
La solution est particulière, car |
Pour les autres grilles, Patrice Debart a mis au point une excellente utilisation du crayon optique : « en visant une case du damier, l'ordinateur calculait le nombre qui s'y plaçait ».
Les carrés 4 × 4 et 5 × 5
|
|
Voici les records obtenus :
Carrés 3 × 3 : 44
4 × 4 : 2 449
5 × 5 : 289 552
6 × 6 : 121 936 056
7 × 7 : 122 277 498 597
8 × 8 : 490 859 392 331 426
9 × 9 : 4 156 458 346 410 342 833
10 × 10 : 160 039 921 564 864 950 634 458
11 × 11 : 11 442 372 364 702 785 448 884 288 011
12 × 12 : 4 226 520 837 926 508 312 612 046 825 331 560
Rectangles 3 × 4 : 269
4 × 5 : 22 081
5 × 6 : 4 514 008
Peut-on améliorer ces records ? Les explications données laissent un léger espoir.
« Pour accélérer les recherches, on peut se limiter aux cas où la case choisie est voisine de celle que l'on vient de jouer et le nombre obtenu strictement supérieur au précédent (sauf pour la deuxième case) ».
Avec cette hypothèse l'ordinateur a testé tous les chemins pour les damiers 4 × 4 et 5 × 5.
Pour les carrés 6 × 6, 7 × 7, 8 × 8… il n'est pas possible de faire toutes les vérifications, car les temps de calcul sont trop longs. Toutes les possibilités pour les 21 dernières cases ont été testées à partir de plusieurs combinaisons de départ.
Algorithme
Voici l'algorithme qui a donné les meilleurs résultats pour les damiers d'au moins quatre cases de côté.
