Le théorème de Thébault-Sawayama

Ayant travaillé en 2003 sur la configuration de Van Aubel ; j'ai découvert le théorème de Thébault dans le dictionnaire des mathématiques et j'ai créé, en mai 2008, une page WikiPédia qui a reçu des enrichissement conséquents des utilisateurs Tcharvin et HB.

WikiPédia : théorème de Thébault

Ayant quelques soucis avec l'anglais (je ne sais pas y distinguer cause et conséquence), j'ai traduis la page ci-dessous pour éclaircir mes idées sur les démonstrations.

Je ne sais si cela est publiable et j'attend la réponse de l'auteur pour savoir si je peux le faire et où.

J'ai du mal avec la construction qui n'est pas explicitée. Je me suis contenté de Viète, merci à HB qui m'a indiqué la méthode des bissectrices.
Voir en annexe à la fin de l'article.

WikiPédia

Le nom de théorème de Thébault ne correspond pas à un théorème précis, mais plutôt à une série de problèmes posés par le mathématicien français Victor Thébault (1882 - 1960).

Le problème de Thébault n^o1

Construction de quatre carrés à l'extérieur d'un parallélogramme ABCD.

Le problème de Thébault n^o2

Deux triangles équilatéraux autour d'un carré.

Le problème de Thébault n^o3, aussi connu sous le nom de Théorème de Sawayama-Thébault, est un théorème de géométrie euclidienne portant sur l'alignement de trois points dans une construction.

La première démonstration connue a été réalisée en 1973 par le mathématicien néerlandais H. Streefkerk.
Jean-Louis Ayme a publié, en 2003, une solution synthétique de ce problème. Il a également effectué des travaux historiques sur celui-ci et a découvert que ce théorème avait été démontré en 1905 par Y. Sawayama, instructeur à l'école militaire de Tokyo.

Sawayama and Thebault’s theorem

Sawayama and Thebault’s theorem
Jean-Louis Ayme

Forum Geom. 3, 225-229, 2003.

Abstract. We present a purely synthetic proof of Thebault’s theorem, known earlier to Y. Sawayama.

1. Introduction
In 1938 in a “Problems and Solutions” section of the Monthly [24], the famous French problemist Victor Thebault (1882-1960) proposed a problem about three circles with collinear centers (see Figure 1) to which he added a correct ratio and a relation which finally turned out to be wrong.

Théorème de Thébault − Sawayama
Jean-Louis Ayme

Nous présentons une preuve purement synthétique de Théorème de Thébault, connu plus tôt par Y. Sawayama.

1. Introduction

En 1938, dans “Problems and Solutions” section du Amer. Math. Monthly [24], le célèbre mathématicien français Victor Thébault (1882-1960) a proposé un problème sur trois cercles de centres colinéaires (voir figure 1) à quoi il ajoute un rapport et corrige une relation qui finalement s'est avérée être fausse.

Figure 1

Figure 2

Proof. Let M, N be the points of intersection of KE, KF with C₂, and J the point of intersection of AM and EF (see Figure 3). KE is the internal bisector of ∠BKC [8, Theoreme 119]. The point M being the midpoint of the arc BC which does not contain K, AM is the A-internal bisector of ABC and passes through I.

The circles C₁ and C₂ being tangent at K, EF and MN are parallel.

Preuve. Soit M, N les points d'intersection de C₂ avec KE et KF, et J le point d'intersection de AM et EF (voir Figure 3). KE est la bissectrice intérieure de BKC [8, Théorème 119]. Le point M est le milieu de l'arc BC qui ne contient pas de K, AM est la bissectrice intérieure de l'angle A de ABC et passe par I.

Les cercles C₁ et C₂ sont tangents en K, EF et MN sont parallèles.

(Note du traducteur : MN est l'image de EF dans l'homothétie de centre K qui transforme C₁ en C₂.)

Les noms des points M et N ont disparu dans la copie de l'image ?

Figure 3

Question : E et F sont situés sur la parallèle passant par I à la bissectrice de ADB. Ceci ne peut être utilisé que lorsque le lemme a été prouvé. Alors comment caractériser E et F ? ou K ? ou les cercles C₃ et C₄ ? Comment utiliser C₅ ?

The circle C₂, the basic points A and K, the lines MAJ and NKF, the parallels MN and JF, lead to a converse of Reim’s theorem ([8, Theoreme 124]). Therefore, the points A, K, F and J are concyclic. This can also be seen directly from the fact that angles FJA and FKA are congruent.
Miquel's pivot theorem [14, 9] applied to the triangle AFJ by considering F on
AF, E on FJ, and J on AJ, shows that the circle C4 passing through E, J and K
is tangent to AJ at J. The circle C₅ with center M, passing through B, also passes
through / ([2, Livre II, p.46, theoreme XXI] and [12, p.185]). This circle being
orthogonal to circle C₁ [13, 20] is also orthogonal to circle C₄ ([10, 1]) as KEM is the radical axis of circles C₁ and C₄.

From ∠BKE = ∠MAC = ∠MBE, we see that he circumcircle of BKE is tangent to BM at B. So circle C₅ is orthogonal to this circumcircle and consequently also to C₁ as M lies on their radical axis.

Therefore, MB = MJ, and J = I.

Conclusion : the chord of contact EF passes through the incenter I.

Remark. When D is at B, this is the theorem of Nixon [16].

3. Sawayama-Thebault theorem

Theorem 2. Through the vertex A of a triangle ABC, a straight line AD is drawn, cutting the side BC at D. I is the center of the incircle of triangle ABC. Let P be the center of the circle which touches DC, DA at E, F, and the circumcircle of ABC, and let Q be the center of a further circle which touches DB, DA in G, H and the circumcircle of ABC. Then P, I and Q are collinear.

Le cercle C₂, les points de base A et K, les lignes MAJ et NKF, les parallèles MN et JF, conduisent à une application de Théorème de Reim ([8, théorème 124]). Par conséquent, les points A, K, F et J sont cocycliques. Cela peut aussi être vu directement du fait que les angles FJA et FKA sont égaux.
Le théorème du pivot de Miquel [14, 9] appliqué au triangle AFJ en considérant F sur AF, E sur FJ et J sur AJ montre que le cercle C₄ passant par E, J et K est tangent à AJ en J. Le cercle C₅ de centre M, en passant par B, également en passe par I ([2, Livre II, p. 46, théorème XXI] et [12, p.185]). Ce cercle étant orthogonal au cercle C₁ [13, 20] est aussi orthogonal au cercle C₄ ([10, 1]) KEM est l'axe radical de cercles C₁ et C₄.

Des angles BKE = MAC = MBE, nous voyons que le cercle circonscrit de BKE est tangent à BM en B. Donc, le cercle C₅ est orthogonal à ce cercle circonscrit et, par conséquent, également à C₁, M se trouvant sur leur axe radical.

Par conséquent, MB = MJ, et J = I.

Conclusion : la corde de contact EF passe par le centre I du cercle inscrit.

Remarque. Lorsque D est en B, c'est le théorème de Nixon [16].

3. Théorème de Sawayama-Thébault

Théorème 2. Par le sommet A du triangle ABC, un segment AD est mené, qui coupe le côté BC en D. I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Soit P le centre du cercle tangent à DC, DA en E, F et le cercle circonscrit de ABC, et soit Q le centre d'un nouveau cercle qui tangent à PB, DA aux points G, H et tangent au cercle circonscrit de ABC. Alors, P, I et Q sont colinéaires.

Figure 4

Proof.

According to the hypothesis, QG ⊥ BC, BC ⊥ PE ; so QG//PE. By Lemma 1, GH and EF pass through I. Triangles DHG and QGH being isosceles in D and Q respectively, DQ is

the perpendicular bisector of GH,
the D-internal angle bisector of triangle DHG.

Mutatis mutandis, DP is

the perpendicular bisector of EF,
the D-internal angle bisector of triangle DEF.

As the bisectors of two adjacent and supplementary angles are perpendicular,
we have DQ ⊥ DP. Therefore, GH//DP and DQ//EF.

Conclusion : using the converse of Pappus’s theorem ([17, Proposition 139] and [3, p.67]), applied to the hexagon PEIGQDP, the points P, I and Q are collinear.

La preuve.

Selon les hypothèses, QG ⊥ BC, BC ⊥ PE de sorte QG // PE. Par le lemme 1, GH et EF passent par I. Les triangles DHG et QGH sont isocèles respectivement en D et Q, DQ est

la médiatrice de GH,
la bissectrice intérieure en D du triangle DHG

Mutatis mutandis, DP est

la médiatrice de EF,
la bissectrice intérieure en D du triangle DEF.

Comme les bissectrices de deux angles adjacents sont perpendiculaires,
nous avons DQ ⊥ DP. Par conséquent, GH // DP et DQ // EF.

Conclusion : en utilisant la réciproque du Théorème de Pappus ([17, proposition 139] et [3, p. 67]), appliquée à l'hexagone PEIGQDP, les points P, I et Q sont colinéaires.

References

[1] N. Altshiller-Court, College Geometry, Barnes & Noble, 205.
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[13] Leybourn's Mathematical Repository (Nouvelle série) 6 tome I, 209.
[14] A. Miquel, Théorèmes de géométrie, Journal de mathématiques pures et appliquées de Liouville, 3 (1838) 485-487.
[15] J. Neuberg, Nouvelle correspondance mathématique, 1 (1874) 96.
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[17] Pappus, La collection mathématique, 2 volumes, French translation by Paul Ver Eecker, Paris, Desclée de Brouver, 1933.
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[20] S. Shirali, On the generalized Ptolemy theorem, Crux Math., 22 (1996) 48–53.
[21] R. Stark, Eine weitere Lo¨sung der Thébault’schen Aufgabe, Elem. Math., 44 (1989) 130–133.
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[23] K. B. Taylor, Solution of Problem 3887, Amer. Math. Monthly, 90 (1983) 482–487.
[24] V. Thébault, Problem 3887, Three circles with collinear centers, Amer. Math. Monthly, 45 (1938) 482–483.
[25] G. Turnwald, U¨ ber eine Vermutung von Thébault, Elem. Math., 41 (1986) 11–13.
[26] G. R. Veldkamp, Een vraagstuk van Thébault uit 1938, Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, 61 (1973-74) 86–89.
[27] G. R. Veldkamp, Solution to Problem 1260, Crux Math., 15 (1989) 51–53.

Construction avec GéoPlan

Construction des bissectrices

On trace les bissectrices issues de D et leurs parallèles issues du centre du cercle inscrit. Elles rencontrent les segments [DA], [DC], [DB] aux points de contact des cercles tangents.

Il suffit de mener les perpendiculaires à [DC] et [DB] par ces points de contact, elle rencontre les bissectrices au centre des cercles tangents. On a le centre du cercle et un point de contact, cela suffit pour tracer les cercles. GeoGebra fournit le point de contact K, sinon on peut toujours se servir du fait que les centres de deux cercles sont alignés avec le point de contact.

HB (d) 7 juillet 2008 à 15:21

Construction de Viète

O’ et O₂ sont les symétriques de O par rapport aux bissectrices issues de D.

Tracer les cercles passant par O et O’ ou O et O₂ tangent à la parallèle à (BC) située à une distance de (BC) égale au rayon du cercle circonscrit. Tracer leurs centres P et Q.

Tracer les cercles de centre P et Q tangents à (BC).

Télécharger la figure GéoPlan sawayama_thebault_fig1_viete.g2w

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Les triangles du BOA

Les carrés du BOA

Version anglaise

Jean-Louis Ayme
Adresse E-mail : jeanlouisayme at yahoo point fr

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