Journées Nationales de l'APMEP - Math en marche Grenoble - 22 au 25 octobre 2011

Document d'accompagnement de l'atelier

Atelier 049 du 24 octobre

Faire de la géométrie dynamique du collège à la première

Patrice Debart, retraité

Atelier TP réalisé devant 10 collègues, du collège au lycée, avec ordinateurs (personnels ?) et utilisation d'un vidéoprojecteur.

Transformer, optimiser… Utiliser GéoPlan ou GeoGebra avec des élèves qui n'ont plus l'étude des transformations au collège ni de cours de géométrie en première.

La présentation avec GeoGebra de deux exemples (un exercice élémentaire et un scénario plus sophistiqué pour le lycée) sera suivie d'un échange sur la géométrie et Internet :
  • Quels sont les problèmes consistants au sens de la géométrie dynamique ?
  • Quelles ressources mettre à disposition sur le net ?
  • Au moment où l'institution se désintéresse de la géométrie, va-t-elle devenir une activité réservée à Internet ?

Références

http://www.debart.fr/APMEP
Atelier : http://www.debart.fr/APMEP/JN_Grenoble.html
Document d'accompagnement de l'atelier : http://www.debart.fr/APMEP/atelier_049.html
Deux triangles isocèles: http://www.debart.fr/APMEP/geogebra/triangle_isocele.html
Carré inscrit dans un pentagone : http://www.debart.fr/APMEP/carre_ds_pentagone/pentagone_carre.html

Deux triangles isocèles

Énoncé

On considère un triangle isocèle ABC dans lequel la médiatrice du côté AC coupe le prolongement de la base BC au point D.
On joint DA que l'on prolonge d'une longueur AE = BD.
  – Montrer que le triangle DAC est isocèle. Conséquences ?
  – Comparer les triangles ABD et CAE.
  – Que peut-on dire du triangle CDE ?

1. Euclide : démonstration par le deuxième cas d'isométrie des triangles

Les triangles ABD et CAE sont isométriques, car :
  – les côtés sont de même mesure par construction : BD = AE et AB = CA,
  – les angles ABD et CAE sont égaux, car ils ont même supplémentaire α.

De l'isométrie des triangles ABD et CAE, on déduit l'égalité des angles CDE = DEC.
Le triangle CDE est isocèle, car deux angles sont égaux.

Avec GeoGebra, noter les égalités des côtés, marquer les angles égaux α = ABC = ACB, puis α = CAD et dessiner les triangles isométriques ABD et CAE.

Lorsque l'on déplace le point A, le triangle DAC est isocèle tant que D est à l'extérieur de [BC].
Après le cas particulier du triangle équilatéral, lorsque α < 60°, le triangle DAC n'est plus isocèle.

2. Rotation

Il est facile d'identifier la rotation qui transforme le triangle ABD en CAE, en dessinant le centre I du cercle circonscrit à ABC.
Le centre de la rotation est situé sur la médiatrice de [AC] et sur la médiatrice de [BA], c'est donc le point I. L'angle de la rotation est l'angle au centre 2α du triangle ABC.

Cette rotation permet d'obtenir une construction du point E (attention au sens des angles avec GeoGebra).
Le triangle DAC est isocèle quelque soit l'angle α.

3. Symétries

Une troisième démonstration très simple du fait que CDE est isocèle :

La symétrie par rapport à la médiatrice de [BC] transforme ABD en ACD’,
la symétrie par rapport à la médiatrice de [AC] transforme ACD’ en CAE.

Référence

Deux triangles isocèles: http://www.debart.fr/APMEP/geogebra/triangle_isocele.html

Carré inscrit dans un pentagone

Énoncé

Construire un carré aussi grand que possible à l'intérieur d'un pentagone régulier.

Construction

Pour construire un pentagone régulier ABCDE de côté a = 1 avec GeoGebra, créer deux points libres : A de coordonnées (0 ; 0,85) et B de coordonnées polaires (0,85 ; 162°) et dessiner le pentagone penta=Polygone[A, B, 5].

1. Carré ayant deux sommets consécutifs sur le pentagone

Pour un point M sur [AB] et N sur les côtés [AB] ou [BC] {N = Point[penta]}, tracer le carré MNPQ. Montre si P et Q sont strictement à l'intérieur du pentagone, on peut trouver un carré plus grand.
Un tel carré maximal a trois sommets sur le pentagone et la recherche peut se réorienter vers des carrés ayant deux sommets opposés situés sur le pentagone.

2. Carré ayant deux sommets opposés sur deux côtés consécutifs du pentagone

Soit le point M sur [AB] et P sur le côté [BC]. Le carré MNPQ n'est pas à l'intérieur du pentagone.

3. Carré ayant deux sommets opposés sur deux côtés non consécutifs du pentagone

Étudier le cas où le point M sur [AB] et P sur le côté [DE]. Vérifier que N ou Q sont sur le pentagone : un carré maximal a trois sommets sur le pentagone

4. Carré inscrit dans le pentagone

Si trois des sommets du carré (distincts des sommets du pentagone) sont situés sur le pentagone alors les quatre sommets y sont : le carré est inscrit dans le pentagone.
Prendre les points libres N sur [BC] et P sur [DE]. La recherche du carré est facilitée avec une figure de clôture : La perpendiculaire en P à (NP) coupe [AE] en Q, la perpendiculaire en Q à (PQ) coupe [AB] en M, reporter, en N₁, la longueur NP sur la perpendiculaire en M à (MQ). Faire coïncider N et N₁ ; conclure au parallélisme de (CD) et (NP).

5. Carré ayant un sommet en commun avec le pentagone

Carré AMNP à l'intérieur du pentagone.
On trace le cercle circonscrit au pentagone de centre O. Tracer [M’P’], le diamètre perpendiculaire au rayon [OA], puis les segments [AM’] et [AP’].

Trouver le carré maximal et conclure.

Référence

Carré inscrit dans un pentagone : http://www.debart.fr/APMEP/carre_ds_pentagone/pentagone_carre.html