Descartes et les Mathématiques

Excel - Arithmétique

Arithmétique avec Excel : le calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide en classe de troisième.

Sommaire

1. Prise en main d'Excel
2. Division euclidienne

3. Calcul du PGCD par soustractions successives

4. Algorithme d'Euclide : calcul du PGCD par divisions successives

Mots-clefs : calcul numérique, algorithme, arithmétique, Euclide.

1. Prise en main d'Excel

Attente des programmes et instructions officielles

En collège comme en lycée, les instructions officielles de mathématiques préconisent depuis plus de dix ans l'usage de l&rsqul'informatique (calculatrices programmables ou non et ordinateurs) tant dans les contenus de programmes que dans les commentaires.

Par exemple, l'une des capacités attendues mentionnées dans le programme de la classe de quatrième est « écrire une formule dans une cellule de tableur » qui est quasiment identique à l'une des compétences inscrites dans le B2i collège.

Savoir créer un tableau et utiliser des formules

Excel fait des calculs grâce à des formules qui commencent par un signe =.

Lorsque l'on tape =B2+C2 dans une cellule le contenu de la cellule sera la somme des deux nombres contenus dans B2 et C2.
En pratique on tape le signe = ; puis on montre la cellule B2 ; ensuite on tape le signe + ; on montre la cellule C2 et enfin on valide le résultat avec la touche entrée.

Taper ce tableau lignes 1 à 5, colonnes A à C.

Premières formules de calcul d'une somme : cellule D2 taper =B2+C2

Copier la formule cellule D3, D4.

Il est plus rapide d'utiliser la fonction « Recopier vers le bas» de la colonne D2:D5. Pour cela, saisir avec la souris le « point de recopie » de la cellule D4 (petit carré situé en bas et à droite de la cellule). Cliquer sur ce point : une croix apparaît. Glisser en maintenant le bouton gauche de la souris appuyé jusqu'à la case B5 et relâcher la souris.

Deuxième formule : cellule B6 formule =SOMME(B2:B5) calculée automatiquement par Excel en utilisant le bouton ∑.

Copier, ou recopier, cette formule vers la droite.

Modifier les valeurs des cellules des colonnes B et C et constater que le logiciel met à jour toutes les sommes.

2. Division euclidienne

Définition : pour tout couple (a, b) d'entiers naturels non nuls, on peut écrire le dividende a en fonction du diviseur b sous la forme a = bq + r où q (quotient) et r (reste) sont des entiers naturels uniques avec la condition r < b.

Avec Excel :

Choisir une nouvelle feuille de calcul en cliquant sur l'onglet situé en bas à gauche de l'écran.

Placer le dividende dans la cellule A1 et le diviseur dans la cellule B1.

Le quotient est la partie entière de A/B. Taper dans B2 la formule = ENT(A1/B1) {Taper =ENT( : montrer A1 ; taper / ; puis montrer B1 et enfin taper la parenthése suivie de la touche entrée}.

Le reste, dans B2, se calcule facilement avec la formule modulo : = MOD(A1 ; B1).

Modifier les valeurs du dividende et du diviseur.

3. Calcul du PGCD par soustractions successives

Une première méthode pour calculer le plus grand diviseur commun de deux nombres naturels consiste à déterminer les diviseurs de chacun d'entre eux en les divisant successivement par tous les nombres inférieurs et en ne retenant que ceux pour lesquels la division est exacte. Puis à chercher le plus grand naturel qui se trouve dans les deux listes. Il n'est nullement nécessaire de faire un raisonnement. Il suffit d'appliquer cet algorithme, laborieux mais systématique, qui est une simple paraphrase de la définition du plus grand diviseur commun.

 D'après Dowek Gilles – Les métamorphoses du calcul - Le pommier 2007

Une deuxième méthode pour trouver le PGCD est de calculer des différences successives. En effet le PGCD de deux nombres a et b, avec a > b, est le pgcd de a et b - a.
Si les deux nombres b et b - a sont égaux, le pgcd est alors égal à b, sinon on remplace les deux nombres par b et b - a et on recommence la soustraction jusqu'à ce que l'on obtienne deux nombres égaux, qui sont alors égaux au PGCD de a et b.

Avec Excel, choisir une nouvelle feuille de calcul :

Ligne 2, taper le plus grand des deux nombres cellule A2 et le plus petit en B2. Calculer la différence de ces deux nombres en C2.

Ligne 3 placer en A3 le plus grand des deux nombres B2 et C2 avec la fonction =MAX(B2;C2).

Placer en B3 le plus petit des deux nombres B2 et C2 avec la fonction =MIN(B2;C2).

Sélectionner les trois cellules A3:C3 de cette ligne 3, saisir la poignée de recopie et recopier vers le bas. Le PGCD est obtenu lorsque les deux nombres sont égaux. Éventuellement, supprimer les lignes suivantes.

Le tableau ci-dessus a donc permet de trouver que le PGCD de 4838 et 3567 est égal à 41.

Modifier les nombres A2 et B2, pour trouver d'autres PGCD.

Télécharger le fichier Excel pgcd_diff.xls

La répétition de soustractions revient à faire des divisions, ceci va être simplifié par Euclide dans la troisième méthode exposée ci-dessous.

4. Algorithme d'Euclide : calcul du PGCD par divisions successives

Si le nom d'Euclide est resté attaché à la géométrie et à la méthode axiomatique, il est aussi associé à l'algorithme qui permet de calculer le plus grand diviseur commun de deux nombres naturels.

L'algorithme d'Euclide permet de calculer de façon moins laborieuse le plus grand diviseur commun de deux nombres naturels. Pour calculer le PGCD de deux nombres a et b, avec a > b, diviser a par b. Si la division « tombe juste », et donne un quotient q, alors a = bq et b est un diviseur de a et b et c'est le plus grand.

Si en revanche la division « ne tombe pas juste », et laisse un reste r, alors a = bq + r. Dans ce cas les diviseurs communs de a et b sont aussi ceux de b et r. On remplace les deux nombres par b et r et on recommence la division jusqu'à ce que l'on obtienne un reste nulle.

Comment calculer le PGCD avec Excel

Créer cette feuille de calcul :

Taper la ligne d'entête, puis le plus grand des deux nombres cellule A2, et le plus petit en B2.
Calculer le quotient de ces deux nombres en C2, avec la formule =ENT(A2/B2), et le reste en D2, avec = MOD(A2, B2).

Ligne 3, en A3, reporter le diviseur avec la formule =B2,
en B3, reporter le reste : formule =D2
et recopier les formules C2:D2 de calcul, en C3:D3

Sélectionner les quatre cellules de la ligne A3:D3, saisir la poignée de recopie et recopier vers le bas. Le PGCD est obtenu lorsque le reste est nul. Éventuellement, supprimer les lignes suivantes.

Dans le tableau, on trouve que le PGCD de 4838 et 3567 est égal à 41.

Modifier les nombres A2 et B2, pour calculer d'autres PGCD.

Télécharger le fichier Excel pgcd_diff.xls