Site Descartes et les Mathématiques

Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra

Exemples de contenus pour l'enseignement interactif de mathématiques.

Des erreurs Java créent des fichiers hs_err_pidXXXX.log sur le bureau. Merci de m'aider à corriger ce bug !

Aire minimale de deux carrés dans un carré

Énoncé

On considère un carré ABCD de côté 4.
On place un point M, variable sur la diagonale ]AC[, et par M on trace deux parallèles aux côtés du grand carré  qui le partagent en deux carrés et deux rectangles .

Il s’agit de déterminer la position du point M sur le segment [AC] pour que la somme des aires des petits carrés soit minimale.

Remarque : on retrouve cette figure dans les Éléments où Euclide montre que les deux rectangles ont même aire.
À une ou deux affinités près, cet exercice se traite dans un rectangle ou dans un parallélogramme. On obtient toujours la même conclusion :

Le minimum est atteint pour le milieu de la diagonale.

Géométrie dynamique

Sur une feuille de travail GeoGebra, on affiche les axes.
 – On construit le carré ABCD et un point M sur la diagonale. On calcule la différence a des abscisses de M et de A.
  – On construit les carrés ANMP et MRCQ, GeoGebra renvoie leurs aires que l'on somme dans la variable b.
  – On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace.

Désolé, l'applet GeoGebra ne peut pas démarrer, vérifier votre version Java.

Télécharger la figure GeoGebra 2carre_ds_carre.ggb
Bug : lors du téléchargement, enregistrer le fichier GeoGebra « 2carre_ds_carre.zip » en le renommant avec l'extension « .ggb ».

On peut dès lors faire varier le point M et conjecturer le minimum  b = 8, pour a = 2.

Parabole avec GeoGebra

  – En déplaçant M sur toute la diagonale, on observe que la trace semble être une branche de parabole.
  – Dans la ligne de données, saisir la fonction carré f(x) = 2x^2 , et l’«amener » sur la trace par trouve la fonction f représentant l'aire.
  – GeoGebra affiche alors la fonction (x - 2)² + 8, ce qui permet de répondre à la question.
        En effet, ce calcul de l'aire est du second degré, avec un coefficient 2 pour x² . Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.

Il semble que cette appliquette Java, créée avec GeoGebra, ne fonctionne pas sur votre ordinateur.

Télécharger la figure GeoGebra 2carre_ds_carre2.ggb