René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Optimisation en classe de seconde
avec GeoGebra

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Deux cadres dans l'écran GeoGebra :
le cadre de gauche pour la figure géométrique,
le cadre de droite pour des fonctions permettant la recherche d'extrema.

Sommaire

Quels problèmes au lycée ?

Optimisation d'aires

Quels problèmes au lycée ?

Document d'accompagnement 2nde 2009

Deux familles de problèmes :
  • type no1 : un problème se ramenant à une équation du type f (x) = k (fonction donnée ou non)
  • type no2 : un problème d'optimisation ou du type « f (x) > k »
         (résolution exacte ou approchée, graphique ou algébrique).
Dans les deux cas, toute autonomie peut être laissée pour associer au problème une fonction.

Comment ?

  • Identifier deux quantités qui varient tout en étant liées.
  • Expliciter le lien entre ces deux quantités de diverses manières
(tableau de valeurs, nuage de points, courbe, formule).
  • Identifier les avantages et les inconvénients de tel ou tel aspect d'une fonction
    – tableau de valeurs, nuage de points, courbe, formule –
      selon la question initialement posée.

Un exemple : optimisation d'aires

Une même situation pour divers problèmes

Déplacer le point M,
Appuyer sur CTRL F ou cliquer sur « Réinitialiser la construction »
pour rafraîchir l'affichage des lieux de points.

Le carré ABCD a un côté de longueur 8 cm.
M est un point du segment [AB].
On dessine comme ci-dessus dans le carré ABCD un carré de côté [AM]
un triangle isocèle de base [MB] et dont la hauteur a même mesure que le côté [AM] du carré.

On s'intéresse aux aires du motif constitué par le carré et le triangle :
  • Problème du type no1 : On voudrait que le motif ait une aire égale à la moitié de celle du carré ABCD.
      Quelles dimensions faut-il donner au motif ?
  • Problème du type no1 : Est-il possible que l'aire du triangle soit égale à l'aire du carré ? (AM = 8/3)
  • Problème du type no2 : Est-il possible de faire en sorte que l'aire du triangle soit la plus grande possible ?
      Si oui préciser dans quel(s) cas ?
  • Problème du type no2 : Est-il possible de faire en sorte que l'aire du triangle
      soit plus grande que l'aire du carré ?
      Si oui préciser dans quels cas c'est possible.
  • Problème du type no2 : Comment évolue l'aire du motif en fonction de AM ? en fonction de MB ?

Technique GeoGebra

Tracer la figure en plaçant un point M sur [AB].
Nommer a le segment [AM], s l'aire du carré AMQP et t l'aire du triangle MNB.

Pour le graphique, placer les points S et T et remplacer les coordonnées par T(a + 10, t) et S(a + 10, s).
Activer la trace de ces points ou bien, en sélectionnant la dernière option du menu droite,
    tracer les lieux de T et S piloté par le point M.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : optimisation des aires d'un carré et d'un triangle

Page no 139, créée le 8/9/2009
adaptée aux mobiles le 23/4/2018