Fac-similés et commentaires de « La Géométrie » de René Descartes sur le problème de Pappus.
Les figures interactives de GéoPlan réactualisaient l'ouvrage, de prime abord assez difficile, de ce grand mathématicien, mais sont maintenant périmées.
Le problème de Pappus, solution neuve (en 1637) pour un problème ancien, va permettre à Descartes d'expliciter ses théories sur les solutions « à la règle et au compas » et « la nature des courbes planes ».
Le problème
de Pappus est la recherche du lieu géométrique d'un point C tel que le produit des distances de C à deux d'entre elles soit égal au produit des distances de C aux deux autres droites pour le problème avec quatre droites ;
le produit des distances de C à deux d'entre elles soit égal au carré du produit des distances de C à la troisième droite pour le problème avec trois droites.
Descartes utilise des rapports de similitude plutôt que des distances et cherche le lieu du point C dont les segments menés de ce point à chacune des droites suivant des directions données ont des produits égaux.
Exemple tiré de Pappus.
Et on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au commencement de son septième livre, où après s'être arrêté quelque temps à dénombrer tout ce qui avait été écrit en géométrie par ceux qui l'avaient précédé, il parle enfin d'une question qu'il dit que ni Euclide, ni Apollonius, ni aucun autre, n'avaient su entièrement résoudre; et voici ses mots :
Je cite plutôt la version latine que le texte grec, afin que chacun l'entende plus aisément
Mais ce lieu à 3 et 4 lignes, dont Apollonius dit, à propos de son livre III, qu'Euclide ne l'a pas complètement traité, lui-même, pas plus qu'aucun autre, n'aurait pu l'achever, ni même rien ajouter à ce qu'Euclide en a écrit, du moins en s'en tenant exclusivement aux Éléments des Coniques déjà démontrés au temps d'Euclide, etc.
Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question :
Voici quel est ce lieu à 3 et 4 lignes, à propos duquel Apollonius se décerne de grands éloges pour ses additions et dont il aurait dû savoir gré au premier qui en a écrit. […]
La question donc qui avait été commencée à résoudre par Euclide et poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée par personne, était telle :
Ayant trois ou quatre, ou un plus grand nombre de lignes droites données par position (droite donnée par position : droite parallèle à une direction – position – donnée) ; premièrement on demande un point, duquel on puisse tirer autant d'autres
lignes droites, une sur chacune des données, qui fassent avec elles des angles donnés, et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront tirées d'un
même point, ait la proportion donnée avec le rectangle des deux autres s'il y en a quatre. […]
Page 307
[…] Puis à cause qu'il y a toujours une infinité de divers points
qui peuvent satisfaire à ce qui à ce qui est ici demandé, il est aussi requis de connaître et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent tous se trouver.
Et Pappus dit que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, c'est en une des trois sections coniques; mais il n'entreprend point de la déterminer
ni de la décrire, non plus que d'expliquer celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée en un plus grand nombre de lignes.
Seulement il ajoute que les Anciens en avaient imaginé une qu'ils montraient y être utile, mais qui semblait la plus manifeste, et qui n'était pas toutefois la première. Ce qui m'a donné occasion d'essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi loin qu'ils ont été.
Réponse à la question de Pappus
Et premièrement j'ai connu que cette question n'étant proposée qu'en trois, ou quatre, ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés par la
géométrie simple, c'est-à-dire en ne se servant que de la règle et du compas, ni ne faisant autre chose que ce qui a déjà été dit ;
Puis j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes données, les points cherchés se rencontrent tous, non seulement en l'une des trois sections coniques, mais quelquefois aussi en la circonférence d'un cercle ou en une ligne droite ;
[…]
Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les sections coniques, est celle qu'on peut décrire par l'intersection d'une parabole et d'une ligne
droite, en la façon qui sera tantôt expliquée. En sorte que je pense avoir entièrement satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché en ceci par les Anciens ;
et je tâcherai d'en mettre la démonstration en peu de mots, car il m'ennuie déjà d'en tant écrire.
Soient AB, AD, EF, GH, etc., plusieurs lignes données par position, et qu'il faille trouver un point, comme C, duquel ayant tiré d'autres lignes droites sur les données, comme CB, CD, CF et CH, en sorte que les angles CBA, CDA, CFE, CHG, etc., soient donnés,
et que ce qui est produit par la multiplication d'une partie de ces ligues soit égal à ce qui est produit par la
multiplication des autres, ou bien qu'ils aient quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question plus difficile.
Étant donné les quatre droites AB, AD, EF, GH, le problème de Pappus, est de trouver le lieu géométrique des points C dont les segments (en pointillés) menés de ce point C à chacune des droites suivant des directions données ont des produits égaux,
ici CB × CF = CD × CH.
Dans le livre premier, Descartes exprime les longueurs des segments en fonction de deux inconnues x et y pour aboutir à la conclusion du bas ce chapitre : « les quantités x et y qui se trouvent n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ».
Pour cette figure, ce n'est que dans le livre second qu'il fera le calcul des équations des coniques solutions.
Comment on doit poser les termes pour venir à l'équation en cet exemple.
Premièrement, je suppose la chose comme déjà faite, et pour me démêler de la confusion de toutes ces lignes je considère l'une des données, et l'une de celles
qu'il faut trouver, par exemple AB et CE, comme les principales et auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres.
Texte fondamental, où Descartes introduit, tout naturellement, les coordonnées x et y. Coordonnées dans un repère d'origine A, d'axes (AG) et la parallèle à RB,
avec x = AB et y = BC.
Que le segment de la ligne AB, qui est entre les points A et B, soit nommé x ; et que BC soit nommé y ; et que toutes les autres lignes données soient prolongées jusqu'à ce qu'elles
coupent ces deux aussi prolongées, s'il est besoin, et si elles ne leur sont point parallèles ; comme vous voyez ici qu'elles coupent la ligne AB aux points A, E, G, et BC aux points R, S, T.
Puis à cause que tous les angles du triangle ARB sont donnés, la proportion qui est entre les côtés AB et BR est
aussi donnée, et je la pose comme de z à b, de façon que AB étant x, RB sera , et la
toute CR sera à cause que le point B tombe entre C et R ; car si R tombait entre C et B, CR
serait ; et si C tombait entre B et R, CR serait .
Tout de même les trois angles du triangle DRC sont donnés, et par conséquent aussi la proportion qui est entre les côtés CR et CD, que je pose comme de z à c, de façon que CR étant ,
CD sera .
Après cela, pourceque (locution synonyme de parce que, utilisée par Descartes pour marquer la raison, la cause) les lignes AB, AD et EF sont données par position (droite donnée par position : droite parallèle à une direction – position – donnée), la distance qui est entre les points A et E est aussi donnée, et si on la nomme k, on aura EB égal à k + x ; mais ce serait k - x si le point B tombait entre E et A ; et – k + x si E tombait entre A et B.
Et pourceque les angles du triangle ESB sont tous donnés, la proportion de BE à BS est aussi donnée, et je la pose comme de z à d, si bien que BS est ,
et la toute CS est ; mais ce serait si
le point S tombait entre B et C ; et ce serait si C tombait entre B et S.
De plus les trois angles du triangle FSC sont donnés, et ensuite la
proportion de CS à CF, qui soit comme de z à e, et la toute CF sera.
En même façon AG, que je nomme l, est donnée, et BG est l - x et à cause du triangle BGT, la proportion de BG à BT est aussi
donnée, qui soit comme de z à f, et BT sera , et CT = .
Puis derechef la proportion de CT à CH est donnée à cause du triangle TCH, et la posant comme de z à g, on aura CH = .
Et ainsi vous voyez qu'en tel nombre de lignes données par position qu'on puisse avoir toutes les lignes tirées dessus du point C à angles donnés, suivant la teneur de la question, se peuvent toujours exprimer chacune par trois termes, dont l'un est composé de la quantité inconnue y, multipliée ou divisée par quelque
autre connue ; et l'autre de la quantité inconnue x, aussi multipliée ou divisée par quelque autre connue ; et le troisième d'une quantité toute connue ; excepté seulement si elles sont parallèles, ou bien à la ligne AB, auquel cas le terme composé de la quantité x sera nul ; ou bien à la ligne CB, auquel cas celui
qui est composé de la quantité y sera nul ; ainsi qu'il est trop manifeste pour que je m'arrête à l'expliquer.
Et pour les signes + et - qui se joignent à ces termes, ils peuvent être changés en toutes les façons imaginables.
Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces lignes l'une par l'autre, les quantités x et y qui se trouvent dans le produit n'y peuvent avoir que chacune autant de dimensions qu'il y a eu de lignes à l'explication desquelles
elles servent, qui ont été ainsi multipliées ; en sorte qu'elles n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par la multiplication de deux lignes ; ni plus de trois, en ce qui ne sera produit que pair la multiplication de trois, et ainsi à l'infini.
Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu'il n'est point proposé en plus de cinq lignes
De plus, à cause que pour déterminer le point C, il n'y a qu'une seule condition qui soit requise, à savoir que ce qui est produit par la multiplication d'un certain nombre de ces lignes soit égal, ou, ce qui n'est de rien plus malaisé, ait la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication des autres ;
on peut prendre à discrétion l'une des deux quantités inconnues x ou y, et chercher l'autre par cette équation, en laquelle il est évident que, lorsque la question n'est point posée en plus de cinq lignes, la quantité x, qui ne sert point à l'expression de la première, peut toujours n'y avoir que deux dimensions ; de façon que, prenant une quantité connue pour y, il ne restera que x2 = + ou - ax + ou - b2 ; et ainsi on pourra trouver la quantité x avec la règle et le compas, en la façon tantôt expliquée.
Ici, une des découvertes fondamentales de Descartes, et vraiment novatrice : la notion de fonction :
Même, prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, et ainsi on aura une infinité de divers points, tels que celui qui est marqué C, par le moyen desquels on décrira la ligne courbe demandée.
Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand nombre de lignes, s'il y en a entre les données qui soient parallèles à BA ou BC, que l'une des deux quantités x ou y n'ait que deux dimensions en…
Un lieu de Pappus « à quatre droites » est l'ensemble des points C tel que CB × CF = CD × CH.
En liaison avec la notion moderne de « distance d'un point à une droite donnée par son équation »,
Descartes calcule CB = y, CF = ax + by + c, CD = dx + ey et CH = fx + gy + h.
La relation donne une équation du second degré y × (ax + by + c) = (dx + ey) × (fx + gy + h) qui est celle d'une conique.
Utiliser un repére d'origine A, l'axe des abscisses étant la droite horizontale (AG) ; l'axe des ordonnées
dans la direction BC faisant un angle de 60° avec l'horizontale, orienté vers le bas.
Sur la droite horizontale G est placé à 5 cm : l = AG = 5 et E à 3 cm : k = EA = 3.
Le point variable C est repéré par ses coordonnées x et y telles que AB = x et BC = y.
Les paramètres b à g indiquent les proportions des côtés des triangles déterminés par les angles de la figure.
Par exemple, dans le triangle ARB on a d'où .
La variable z est introduite pour respecter la règle des homogènes de Viète.
Dans les calculs s'en affranchir en choisissant z = 1. Dans les exemples choisir un triangle où b = 1.
La droite (ES) fait un angle de 30° avec l'horizontale : on a d = = .
Dans l'autre sens la droite (GT) fait un angle de 30° avec l'horizontale : le triangle BGT a donc deux angles de 30°. Soit le paramètre f = = 1.
Cas général
Les figures seront faites avec
les valeurs par défaut des paramètres suivantes : z = 1 ; b = 1 ; d = ; f = 1 ; k = 3 et l = 5.
Les calculs des longueurs en fonction des coordonnées x et y sont donc :
CB = y,
CF = e CS = e(y + dk + dx) = e(y + + ),
CD = c CR = c (y + bx) = c (y + x),
CH= g CT = g (y + fl fx) = g (y + 5 - x).
De l'égalité CB × CF = CD × CH se déduit l'équation : e y (y + + ) = c g (y + x) (y + 5 - x).
On trouve bien l'équation du second degré d'une conique :
cg x2 + xy + (e - cg) y2 - 5 cg x + (e - 5 cg) y = 0.
Descartes trouve l'équation fonctionnelle y = m - x + .
Dans son repère, y est égal à BC ; longueur qu'il décompose en trois parties BK, KL et LC : il place sur (BC) les points K tel que BK = m et L tel que KL = nx, LC est alors égal à .
Il complète la construction avec IK parallèle et égal à AB.
Le paramètre a est défini par la proportion , soit IL = ax.
Si la conique n'est pas une parabole, son centre M est situé sur la droite (IL) tel que : IM = .
La droite (IL) coupe la conique en N.
La moitié du rayon traversant est alors MN = .
L'excentricité est égale à - cg(e - cg).
Si elle positive il s'agit d'une hyperbole, si elle nulle d'une parabole et enfin d'une ellipse si elle est négative.
Nouveaux repères
Cliquer sur la figure, saisir le point C avec la souris et visualiser ses coordonnées C(xC,yC) dans
le repère oblique de Descartes et C(XC,YC) dans repère orthornormé.
Le point C(x, y) de coordonnées x et y dans le repère de Descartes est tel que
= x + y
Dans un repère orthonormé direct d'origine A ce même point C(X, Y) de nouvelles coordonnées X et Y vérifie
la relation = X +
Y
avec = -
,
d'où = -
.
Les expressions du vecteur sont dans l'ancien et le nouveau repère : = x +
y = x +
y( -
)
= (x + y) -
,
= X +
Y = X +
Y( -
)
= (X + Y) -
Y.
en identifiant les coordonnées on obtient le changement de variable : .
L'équation de la conique dans le repère orthonormé direct d'origine A est :
cg X2 + XY + (e -cg) Y2
- 5 cg X + (5 cg – 3e) = 0.
Cette conique passe par les quatre points A, G, P et Q d'intersection des droites données.
P et Q de coordonnées P(, )
et Q(3, – 3) dans le repère oblique s'écrivent P(1, ) et Q(, ) dans le repère orthonormé.
Axes principaux
Un deuxième changement de repère permet d'obtenir l'équation par rapport aux directions principales.
Les deux axes AX’ et AY’ de la conique forment le repère (A, ’, ’) faisant un angle α avec les axes AX et AY du repère précédent.
Les directions de la conique sont donc : ’ = cos α
+ sin α,
’ = − sin α
+ cos α.
Les expressions du vecteur sont dans les repères orthonormés : = X +
Y = X’’
+ Y’’ = X’( cos α
+ sin α)
+ Y’(- sin α + cos α)
Par identification, on trouve : .
Les axes sont les directions principales si le coefficient du produit X’Y’ est nul.
Les termes de second degré sont : cg X2 + XY + (e - cg) Y2.
Avec les nouvelles variables on a alors : cg (X’cos α - Y’sin α)2 +
(X’cos α - Y’sin α)(X’ sin α
+ Y’cos α) + (e – cg) (X’sin α + Y’ cos α)2
Le coefficient de X’Y’ est :
– 2cgcos α sin α + (cos2α – sin2α) + (e – cg) sin α cos α =
(cos2 α - sin2 α
- 2 sin α cos α)
= (1 - tan2α - 2 tan α).
Ce coefficient est nul si tan α est égal à 2 - ou
à - 2 - , ce qui correspond à des angles de 15° et de -75°.
Choisir α = 15°. Le calcul des fonctions trigonométriques permet d'obtenir le changement de variable :
En plus des valeurs par défaut z = 1 ; b = 1 ; d = ; f = 1 ; k = 3 et l = 5, prendre comme exemple les paramètres c = ,
e = 2 et g = .
On a alors CF = e CS = 2() = 2y + 3 + x et c g = 1,
l'égalité CB × CF = CD × CH donne : y (2y + 3 + x) =
(y + x) (y + 5 - x).
d'où l'équation x2 + xy + y2 – 5x - 2y = 0.
y2 + xy - 2y est le début du carré de (y + x - 1).
L'équation peut alors s'écrire : (y + x - 1)2 + x2
- 4x - 1 = 0.
D'où (y + x - 1)2 = − x2
+ 4x + 1
y + x - 1 = .
on a finalement l'expression fonctionnelle de Descartes : y = 1 - x
Par identification on a les quatre paramètres m = 1, o = 4, p = et n = .
Descartes place sur (BC) les points K tel que BK = m = 1 et L tel que KL = nx = x,
puis IK parallèle et égal à AB.
Le triangle ILK est rectangle avec un angle de 30°. n en est le sinus égal à ;
le cosinus est donc a = = .
On trouve IM = = et
le rayon MN = = .
Dans le repère orthonormé le changement de coordonnées donne l'équation : X2 + Y2 - 5X - Y = 0
qui est bien l'équation du cercle de centre M(, )
et de rayon .
Gardons les même s paramètres initiaux que pour le cercle :
valeurs par défaut z = 1 ; b = 1 ; d = ;
f = 1 ; k = 3 et l = 5, paramètres c = , e
= 2 et modifions g = 1.
On a alors : CF = e CS = 2() = 2y + 3 + x,
l'égalité CB × CF = CD × CH donne : y (2y + 3 + x) =
(y + x) (y + 5 - x).
D'où en multipliant par 2 l'équation : 3x2 + 2xy + y2 - 15x - 9y = 0. y2 + 2xy - 9y est le début du carré de (y + x - ).
L'équation peut alors s'écrire : (y + x - )2
+ 2x2 - 6x - = 0.
d'où l'expression y = - x.
Par identification on a les quatre paramètres : m = , o
= 6, p = 9 et n =1.
Placer sur (BC) les points K tel que BK = m = et
L tel que KL = nx = x, puis tracer le segment IK parallèle et égal à AB.
Le triangle ILK est ici équilatéral et le paramètre a est égal à 1.
Le centre M de l'ellipse est situé sur la droite (IL) tel que IM = = .
Commande GéoPlan : cliquer dans la figure et déplacer le point C sur l'hyperbole
avec la souris ou les flèches du clavier, le point B doit rester à droite de A.
Le développement du début du carré donne : [(2 - )y + x
- (2 + )]2 = (1 - 5)x
+ (2 + )2.
(2 - )y = − x + (2 + ) ±.
en divisant par 2 - , on obtient :
y = − (2 + ) x + +
7 ±
Par identification on obtient les quatre paramètres : m = + 7 ,
o = − 53 - 31 et n = 2 + .
Placer sur (BC) les points K tel que BK = m et L tel que KL = nx, puis tracer le segment IK parallèle et égal à AB.
Dans le triangle ILK le paramètre a est égal à 3,346.
Dans le repère orthonormé d'origine A le changement de variables donne l'équation :
X2 + 2(2 - )XY + (7 - 4)Y2
- 5X + (12 - )Y = 0.
En utilisant le début du carré :
[(2 - )Y + X + ()]2
= ,
(2 - )Y = − X - () ±
Y = (2 + )[- X + () ±]
D'où les équations Y = − (2 + ) X - ±.
Dans le repère ayant comme directions les axes principaux, un deuxième changement de repère permet d'obtenir l'équation :
.
Cette équation peut être réduite sous la forme
Si X’M et Y’M sont les coordonnées du sommet M de la parabole, l'équation de la conique est alors :
avec
7. Conclusion de Descartes
Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver
Au reste, à cause que les équations qui ne montent que jusqu'au carré sont toutes comprises en ce que je viens d'expliquer ;
non seulement le problème des Anciens en trois et quatre lignes est ici entièrement achevé, mais aussi tout ce qui appartient à ce qu'ils nommoient la composition des lieux solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à cause qu'ils sont compris
dans les solides car ces lieux ne sont autre chose, sinon que, lorsqu'il est question de trouver quelque point auquel il manque une condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple, tous les points d'une même ligne peuvent être
pris pour celui qui est demandé.
Et si cette ligne est droite ou circulaire on la nomme un lieu plan. Mais si c'est une parabole, une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme lieu solide.
Et toutefois et quand cela est, on peut venir à une équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelques-unes de celles que je viens de résoudre.
Descartes et les Mathématiques
, et la
toute CR sera 
à cause que le point B tombe entre C et R ; car si R tombait entre C et B, CR
serait 
; et si C tombait entre B et R, CR serait 
.
.
,
et la toute CS est 
; mais ce serait 
si
le point S tombait entre B et C ; et ce serait 
si C tombait entre B et S.
.
, et CT = 
.
.
d'où 
.
La variable z est introduite pour respecter la règle des homogènes de Viète.
= 
.
= 1.
Les figures seront faites avec
les valeurs par défaut des paramètres suivantes :
+ 
),
xy + (e - cg) y2 - 5 cg x + (
x + 
.
, soit IL = ax.
.
.
- cg(e - cg).
Si elle positive il s'agit d'une hyperbole, si elle nulle d'une parabole et enfin d'une ellipse si elle est négative.
= x 
+ y 
.
XY + (e -cg) Y2
- 5 cg X + (5 cg – 3e) 
= 0.
, 
)
et Q(3, – 3) dans le repère oblique s'écrivent P(1, 
) et Q(
) dans le repère orthonormé.
’, 
.
sin α cos α)
= 
(1 - tan2α - 2
Figure interactive dans GeoGebraTube : 
.
) = 2y + 3 + x et c g = 1,
x2
- 4x - 1 = 0.
.
= 
.
et
le rayon MN = 
.
Y = 0
, 
)
et de rayon 
(y + x) (y + 5 - x).
).
= 0.
.
= 
= 
.
XY + Y2 - 15 X
+ 
X + 
= 0,
.
,
).
.
.
.
≈ 5,411
≈ 2,8.
y = 0.
xy + 
y
= 
x
; qui est le début du carré de (y - 
x + 
).
x2 - 
x
+ 
,
.
et n = − 
XY - 2Y2 - 15X + 4 
X - 
,
.
.
.
.
.
)]2 = (1 - 5
.
+
7
)Y = 0.
)]2
= 
,
) ±
±
.
.
Publimath :