Logo JMath3D

L'espace en cinquième avec jMath3D - Version 4.0.3

Le projet jMath3D n'existe plus

Les figures ne s'affichent plus, voir la page GéoSpace.

Descartes
Descartes et les Mathématiques

Sommaire

1. Prisme de base triangulaire
2. Une maison avec GéoSpace
3. Cube tronqué

g3w Figures classiques : version non interactive de cette page avec GéoSpace

Page no 94, réalisée le 9/10/2006,
modifiée pour jMath3D version 3.0 le 14/1/2008, adaptée à la version 4.0.3 le 14/6/2010.

Prisme - Définition

Un prisme est un solide ayant deux bases qui sont des polygones. Ces polygones situés dans des plans parallèles sont isométriques.
Les arêtes du prisme sont des droites parallèles. Les faces latérales sont des parallélogrammes.

Pour un prisme droit les arêtes sont perpendiculaires aux plans des bases et les faces latérales sont des rectangles.
Leur longueur est alors la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

1. Prisme de base triangulaire

a. Prisme droit de base triangulaire

 

ABC et DEF sont les bases du prisme droit ABCDEF.

Les faces latérales ABED, BCFE et CADF sont des rectangles.

Les arêtes [AD], [BE] et [CF] sont perpendiculaires aux plans des bases. Leur longueur est la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

g3w Télécharger la figure GéoSpace prisme.g3w

Volume du prisme

Volume(ABCDEF) = Aire de la base × hauteur
      = Aire(ABC) × AD.

Aire(ABC) = 1/2 base × hauteur = 1/2 AB × CH.

Volume(ABCDEF) = 1/2 AB × CH × AD.

 

Base, hauteur

Il est difficile, pour les élèves, d'identifier base et hauteur, notions que l'on trouve aussi bien dans le prisme que dans le triangle.

Dans le sens commun, comme dans la figure de gauche, la base ABC du prisme est horizontale et la hauteur [AD] est verticale.

En géométrie ces objets sont indépendants de leur position. Par exemple, dans la figure ci-dessus la base ABC du prisme est verticale et la hauteur [AD] est horizontale.

Pour le calcul de l'aire du triangle ABC, dans la figure de gauche la hauteur [CH] est horizontale, on retrouve le langage courant, dans la figure ci-dessus, avec la base [AB] horizontale et la hauteur [CH] verticale.

Aire latérale

L'aire latérale d'un prisme droit est égale au périmètre de la base multiplié par la hauteur :
(AB + BC + CA) × AD.

g3w Télécharger la figure GéoSpace prisme_h.g3w

Voir patron d'un prisme

2. Une maison avec GéoSpace et jMath3D

 

La reproduction d'une maison a la forme d'un parallélépipède rectangle, surmonté d'un prisme droit.
La longueur du parallélépipède est de 7 cm, sa largeur de 5 cm et sa hauteur de 4 cm.
La hauteur totale de cette maison est de 6 cm.

Le volume v est alors de 175 cm3.

Calcul du volume

Calculer le volume compris entre les murs et ajouter celui du toit :
Volume(ABCDEFGHIJ) = Volume(ABCDEFGH) + Volume(EFGHIJ)

Volume du parallélépipède : Volume(ABCDEFGH)
    = Aire(ABFE) × FG = AB × AE × FG = a × c × b,
Volume du prisme : Volume(EFGHIJ) = Aire(FEI) × FG
    = 1/2 FE × (h-c) × FG = 1/2a × (h-c) × b.

Volume(ABCDEFGHIJ) = Aire(ABFE) × FG + Aire(FEI) × FG
    = [ Aire(ABFE) + Aire(FEI) ] × FG.

Volume(ABCDEFGHIJ) = a × c × b + 1/2a × (h-c) × b = a × [ c + 1/2(h-c)] × b =1/2 a × (h+c) × b.

Effectivement la maison est un prisme de base pentagonale ABFIE
et avec Aire(ABFE) + Aire(FEI) = Aire(ABFIE) on retrouve :
Volume(ABCDEFGHIJ) = Aire(ABFIE) × FG = Aire de la base × hauteur.

 

Commande jMath3D : ouvrir ou fermer le patron en déplaçant le paramètre d'ouverture m avec le curseur.

g3w Télécharger les figures GéoSpace maison.g3w, maison_patron.g3w

3. Cube tronqué

Cube aux « coins coupés ».

Rallye Mathématiques Poitou-Charentes - 2007

On a coupé un « coin » du cube au tiers des arêtes.

 

Représenter en perspective le solide obtenu en coupant, de même manière, les huit « coins ».

 

Décrire le solide obtenu : nombre de faces, nombre d'arêtes, nombre de sommets.

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_tronque.g3w

Solide d'Archimède (287-212 av. J.-C.) : Polyèdre semi-régulier dont les faces sont des polygones réguliers, ceux-ci pouvant être différents, mais disposés dans le même ordre autour de chaque sommet. Le cube tronqué est un des 13 solides d'Archimède.

 
Sommaire

1. Prisme de base triangulaire
2. Une maison avec GéoSpace
3. Cube tronqué

« Descartes et les Mathématiques »

Accueil : http://www.debart.fr