Descartes et les Mathématiques

Carré d'aire cinq fois plus petite

Puzzles de 5, 9, 10 ou 20 pièces dans un carré,
permettant de visualiser un petit carré central.

Sommaire

1. Deux droites orthogonales menées d'un sommet au milieu d'un côté du carré

1.b. Découpage d'aires dans un carré

2. Carré d'aire 5 fois plus petite

4. Deux droites perpendiculaires dans un carré

4.b. Carré d'aire cinq fois plus petite (figure symétrique)

5. Composer un carré avec 5 carrés

6. Multiplication par 5 de l'aire d'un carré

7. Reconstituer 5 carrés

1. Droites menées d'un sommet au milieu d'un côté

1.a. Deux droites orthogonales dans un carré

Les points I et J sont les milieux des
côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Indication

Avant la réforme du lycée de 2008, en classe de seconde,
on pouvait utiliser une rotation, quart de tour de centre O,
milieu du carré :

Le point A a pour image B, I a pour image J,
le segment [AI] et son image [BJ] sont orthogonaux.

En 1^ère S, on peut encore montrer que le produit scalaire . est nul.

Le triangle rectangle BPI a une aire égale
au vingtième de celle du carré,
Le triangle APB et le trapèze PICJ ont même
aire égale au cinquième de celle du carré,
l'aire du quadrilatère APJD est onze vingtième de celle du carré.

Figure interactive dans GeoGebraTube :
        droites orthogonales dans un carré - rotation

1.b. Découpage d'aires dans un carré

Les points I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD.

On mène quatre droites des sommets au milieux
des côtés opposés, en tournant dans le même sens.

Cinq pièces de même aire

Un découpage de ABCD avec un petit carré central
PQRS bordé par 4 quadrilatères d'aires un cinquième
de l'aire du grand carré.

Figure interactive dans GeoGebraTube :
        carré et 4 quadrilatères dans un carré

Calcul d'aires de triangles

La droite (AI) est perpendiculaire à (BJ) :

D'après la propriété de Pythagore dans le triangle ABI, rectangle en B,
AI² = a² + = a², d'où l'hypoténuse AI = a.

Le triangle BPI, rectangle en P, d'hypoténuse a,
est semblable au triangle ABI dans le rapport .

Aire(ABI) = AB × BI = a × a = a²,

Aire(BPI) = × Aire(ABI) = a².

Le triangle BPI a une aire égale au vingtième de celle du carré.

Par différences :

Aire(APB) = Aire(ABI) - Aire(BPI) = a² - a² = a².

Aire(PICJ) = Aire(BCJ) - Aire(BPI) = a² - a² = a².

Le triangle ABP et le quadrilatère PICJ ont même aire égale
au cinquième de celle du carré.

Une quatrième aire :
Aire (APJD) = Aire(ABCD) - Aire(APB) - Aire(PICJ) - Aire(ABI)
        = a² - a² - a² - a² = 11/20 a².

Évaluation d'aires sans calcul

Un puzzle de 20 triangles rectangles
isométriques dans un carré.

Chaque triangle comme le triangle BPI a une aire
égale au vingtième de celle du carré
Le petit carré central PQRS est formé de 4 triangles,
soit une aire égale au 4/20 donc 1/5 du carré
Le triangle ABP et le quadrilatère PICJ sont formés
par 4 pièces ont même aire égale au 4/20 soit 1/5
de l'aire du carré.
L'aire de APJD est donc de 11/20.

Figure interactive dans GeoGebraTube :
       carré partagé en 20 pièces

1.c. Variante

I et J sont deux points situés respectivement sur les côtés
[BC] et [CD] d'un carré ABCD tels que BI = CJ.
Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

1.d. Autre figure

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un
carré ABCD. Les droites (AB) et (IJ) se rencontrent en K.

Montrer que la droite (AC) est orthogonale à (IJ)
et en déduire que (AI) est orthogonale à (CK).

Montrer que BKCJ est un parallélogramme et en déduire
que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

1.e. Hauteurs du triangle AIJ

Les points I, J et K
sont les milieux des
côtés [BC], [CD] et [
AD] d'un carré ABCD.

Les droites (DI) et (BJ)
sont les hauteurs du
triangle AIJ.

Médiane de l'un,
hauteur de l'autre

La droite (DI) est la hauteur du triangle ADJ
et la médiane du triangle CDK.

Voir : calculs d'angles (avec le produit scalaire)

2. Carré d'aire cinq fois plus petite

I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD

Justification par une rotation

La figure est invariante par une rotation
d'angle 90° autour du centre du carré ABCD.

Le quadrilatère PQRS est aussi invariant
par cette rotation. c'est donc un carré.

Cinq pièces de même aire

Un découpage de ABCD avec un petit carré central PQRS bordé par
4 triangles rectangles d'aires un cinquième de l'aire du grand carré.

La droite (AJ) est perpendiculaire à (BK),
calculer PQ en fonction de a,
l'aire de PQRS est égale à de l'aire de ABCD.

Figure interactive dans GeoGebraTube :
       carré cinq fois plus petit - 5 pièces

3. Quadrilatère PJCM

Si M est le point d'intersection de (BK) et (AC),
quelle est l'aire du quadrilatère PJCM ?

Triangle BPI

Les droites (BK) et (AJ) sont perpendiculaires Le triangle
rectangle BPI a une aire égale au vingtième de celle du carré.

Étude du triangle KCM :

Dans le carré ABCD, les droites (ID) et (BK), joignant deux
sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont
parallèles et les points M et M' partagent la diagonale
[AC] en trois parties égales :
voir parallélogramme et milieux.

Si H est la projection de M sur (CD), MH = a et
Aire(KCM) = × KC × MH = × a × a = a².

Étude du quadrilatère PJCM

Par différence :
Aire(PJCM) = Aire(PJCK) - Aire(KCM)
    = a² - a² = a².

Figure interactive dans GeoGebraTube :
       Triangles et quadrilatère dans un carré

4. Deux droites perpendiculaires
        dans un carré

Indications avec le produit scalaire

Montrer que le produit scalaire . est nul :
Méthode 1 : faire le calcul dans un repère en
choisissant le repère canonique (A, , ) ou
le repère (A, , ).
Méthode 2 : avec des relations de Chasles et
la bilinéarité du produit scalaire, calculer
( + ).( + ) en remarquant les deux
produits scalaires nuls.

Figure interactive dans GeoGebraTube :
        deux droites perpendiculaires dans un carré

4.b. Carré d'aire 5 fois plus petite
(figure symétrique)

I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD
(longueur du côté AB = a).

Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB),
calculer PQ en fonction de a,

Calculer la longueur PQ à l'aide du produit scalaire .
en remarquant que est le projeté orthogonal de sur .

justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à de l'aire de ABCD.

Découpage du carré

Le grand carré est la réunion de neuf pièces : le petit carré,
quatre triangles dans les coins d'aire s et quatre trapèzes.
Ces pièces sont isométriques par la rotation citée ci-dessus.

Le triangle ABS est un agrandissement double du triangle IBP.
Son aire est dons 4s.

Par soustraction, on a :
Aire(IPSA) = Aire(ABS) - Aire(IBP) = 4s - s = 3s

Le triangle ABL est formé par deux triangles d'aire s
et un trapèze d'aire 3s, soit 5s.

Aire(ABL) = AB ×AL = a × a = a² = 5s.

On a donc s = a² et Aire(ABS) = 4s = a².

L'aire du carré central est donc l'aire totale moins
quatre fois l'aire de ces triangles :
Aire(PQRS) = a² - 4 × a² = a²..

Figure interactive dans GeoGebraTube :
        carré d'aire cinq fois plus petite - 9 pièces

Figure symétrique dans GeoGebraTube :
        carré d'aire cinq fois plus petite - 9 pièces

5. Composer un carré avec cinq carrés

Problème du carreleur :
avec cinq carreaux de céramique, paver un grand carré.

Disposer les cinq carrés autour du carré
central PQRS en forme de croix suisse.

Joindre A à B, B à C, C à D et D à A,
on obtient un carré ABCD .

En découpant les quatre triangles extérieurs et en les portant,
par symétries de centres L, I, J et K, on obtient quatre triangles
rectangles ASL, BPI, CQJ et DRK isométriques.

Ils permettent de reconstituer le carré ABCD,
formé par 20 triangles rectangles isométriques,
d'aire égale à 5 fois l'aire de PQRS.

Figure interactive dans GeoGebraTube :
        Carré et croix du carreleur

Puzzle :

On reprend la figure avec 9 pièces.

Avec les dix fragments issus de cinq carrés découpés
comme le carré central partagé en trapèze et triangle
rectangle, on reconstitue le grand carré.

Figure interactive dans GeoGebraTube :
        carré d'aire cinq fois plus petite - 10 pièces

6. Multiplication par cinq de l'aire d'un carré

Rotation hors programme

6.a. ABCD est un carré, P est le symétrique de A par rapport à B,
Q est le symétrique de B par rapport à C, R est le symétrique
de C par rapport à D et S est le symétrique de D par rapport à A.
Montrer que PQRS est un carré d'aire cinq fois plus grande.

La rotation de centre O et d'angle 90° transforme
[AP] en [BQ], [BQ] en [CR]…

P a pour image Q, Q a pour image R, R a pour S et S a pour image P.
Le quadrilatère PQRS globalement invariant par la rotation a ses
quatre côtés de même longueur, deux côtés consécutifs forment
un angle de 90°, égal à l'angle de la rotation. ADCD est un carré.

Si le côté du petit carré AB = a, la propriété de Pythagore dans
le triangle BPQ permet de calculer PQ = a.
PQRS a une aire égale à 5a².

Multiplication par 5 de l'aire d'un parallélogramme

7. Reconstituer cinq carrés

Figures de Patrick Clément

Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés
en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS,
les 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des
rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.

Chacun des quadrilatères BJQI, CKRJ… a donc une aire de a².

Table des matières

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