Descartes et les Mathématiques
La géométrie du cercle
Puissance d'un point par rapport à un cercle, cercles orthogonaux, axe radical et faisceau de cercles.
Sommaire
2. Axe radical de deux cercles
1. Cercles orthogonaux
Deux cercles sécants sont orthogonaux si, en chacun des deux points d'intersection, les tangentes à l'un et à l'autre cercle sont orthogonales.
Chacune des tangentes à l'un des cercles passe par le centre de l'autre.
Soit deux cercles c(O, R) et c’(O’, R’) orthogonaux. La figure formée par les deux centres O, O’ et un des deux points d'intersection est un triangle rectangle. Du théorème de Pythagore, il en résulte la relation entre les deux rayons et la distance entre les centres :
OO’2 = R2 + R’2.
Réciproquement, si deux cercles vérifient cette relation ils sont orthogonaux.
La puissance du point O par rapport au cercle (c’) est R2 ;
la puissance du point O’ par rapport au cercle (c) est R’2.
Pour que deux cercles soient orthogonaux, il faut et il suffit qu'il existe un diamètre de l'un d'entre eux qui soit divisé harmoniquement par l'autre cercle.
En effet, la puissance du point O par rapport au cercle (c’) est OA2 = OP’ × OQ’.
On a donc OP2 = OQ2 = OP’ × OQ’. [P, Q, P’, Q’] est une division harmonique d'après la relation de Newton.
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Figure exportée dans WikiPédia : cercles orthogonaux
Application : étant donné un cercle (c) et un point M, distinct du centre O et n'appartenant pas au cercle, pour trouver les cercles orthogonaux à (c) passant par M, tracer le diamètre [PQ] sur la droite (OM) et trouver le point M’ tel que [P, Q, M, M’] soit une division harmonique :
OM’ = R2/OM. Tout cercle passant par M et M’, centré sur la médiatrice de [MM’], est orthogonal à (c).
L'ensemble des cercles passant par M et orthogonaux à (c) est un faisceau de cercles à points de base M et M’.
2. Axe radical de deux cercles
L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles.
On considère deux cercles c(O, R) et c’(O’, R’) avec O et O’ distincts.
On note c(M) = MO2 – R2 la puissance de M par rapport à (c)
et c’(M) = MO’2 – R’2 la puissance de M par rapport à (c’).
L'ensemble des points M, de même puissance par rapport aux deux cercles, vérifie :
c(M) = MO2 – R2 = c’(M) = MO’2 – R’2, soit MO2 – MO’2 = R2 – R’2.
Soit I le milieu de [OO’] et K la projection de M sur (OO’).:
D'après le troisième théorème de la médiane dans le triangle MOO’, on a :
2 
.
= R2 – R’2.
Tous ces points M ont même projeté orthogonal sur la droite des centres (OO’),
et la formule obtenue ci-dessus permet de construire ce projeté K,
avec IK = (R2 – R’2)/OO’ ; par rapport à I, K est situé du côté du plus petit cercle.
L'axe radical est donc la droite perpendiculaire à ligne des centres passant par K.
Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.
L'axe radical (éventuellement en dehors du segment intérieur aux deux cercles) est aussi l'ensemble des points desquels on peut mener, aux deux cercles, des segments tangents de même longueur
(MS = MS’ dans la figure ci-dessus).
En particulier si les cercles sont extérieurs, ils admettent une tangente commune (TT’), le milieu J de [TT’] appartient à l'axe radical. Cette propriété permet de construire l'axe radical (JJ’) avec J’ milieu d'une autre tangente commune.
Application : montrer un alignement
Alignement des orthocentres d'un quadrilatère complet
Les quatre triangles ABF, ADE, BCE et CDF, formés par les côtés du quadrilatère complet ABCDEF pris trois à trois, ont leurs orthocentres alignés sur une droite orthogonale à la droite de Newton, droite qui passe par les milieux des diagonales.
Indications
Les pieds des hauteurs sont situés sur les cercles de diamètres [AC], [BD], [EF].
Soit H1 est l'orthocentre du triangle ABF, point de concours des hauteurs (AA’), (BB’) et (FF’).
On a démontré ci-dessus que : H1A × H1A’ = H1B × H1B’ = H1F× H1F’.
A’ appartient au cercle (c1) de diamètre [AC]. H1A × H1A’ est la puissance de H1 par rapport à (c1).
B’ appartient au cercle (c2) de diamètre [BD]. H1B × H1B’ est la puissance de H1 par rapport à (c2).
F’ appartient au cercle (c3) de diamètre [EF]. H1F× H1F’ est la puissance de H1 par rapport à (c3).
D'après la relation ci-dessus H1 a même puissance par rapport aux trois cercles.
On montre de même que les autres orthocentres ont même puissance par rapport aux trois cercles. Ils sont situés sur l'axe radical commun. Ils sont alignés sur cet axe, orthogonal à la ligne des centres, qui passe les milieux des diagonales. Cette ligne des centres est appelée droite de Newton.
Sur la figure ci-dessus les cercles ont deux points communs U et V, dans la figure ci-contre on a trois cercles non sécants appartenant à faisceau à point de Poncelet.
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3. Centre radical de trois cercles
Les axes radicaux de trois cercles de centres non alignés concourent en un point appelé centre radical des trois cercles.
Preuve : Soit (d1) l'axe radical de (c2) et (c3) ; (d2) l'axe radical de (c1) et (c3) ; (d3) l'axe radical de (c1) et (c2).
Comme les trois centres des cercles ne sont pas alignés, les axes radicaux (d1) et (d2) ne sont pas parallèles.
Soit I le point d'intersection de (d1) et (d2).
I appartient à (d1) donc pc2(I) = pc3(I),
I appartient à (d2) donc pc1(I) = pc3(I).
Il vient que pc1(I) = pc2(I), ces deux puissances étant égales à pc3(I),
d'où I appartient aussi à (d3).
Les trois axes (d1), (d2) et (d3) sont concourants en I.
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Application : construction de l'axe radical de deux cercles non sécants (et non concentriques)
Construction avec un cercle auxiliaire
Il suffit de construire un troisième cercle (c3) qui soit sécant aux deux cercles donnés.
Lorsque les axes radicaux auxiliaires (AB) et (CD) sont concourants en I, le point I, qui a même puissance par rapport à (c) et (c’), est sur l'axe radical de (c) et (c’).
L'axe est alors la droite perpendiculaire à la ligne des centres (OO’), passant par I.
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Construction avec deux cercles auxiliaires
Construire deux cercles auxiliaires (c3) et (c4), sécants aux deux cercles donnés (c) et (c’).
Les axes radicaux auxiliaires (AB) et (CD) sont concourants en N.
Les axes radicaux auxiliaires (EF) et (GH) sont concourants en M.
Les points M et N ont même puissance par rapport aux cercles (c) et (c’).
L'axe radical de (c) et (c’) est donc la droite (MN).
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Cercle orthogonal à trois cercles (de centres non alignés)
C'est le cercle dont le centre O est le centre radical des trois cercles et dont le rayon est égal à la racine de la puissance p du point O par rapport à l'un des trois cercles. Si O est à l'intérieur des cercles, p est négatif, le problème n'a pas de solution.
Construction : à partir du centre O il suffit de tracer une tangente à un des trois cercles. Par exemple, le cercle (c1), de centre O1, rencontre le cercle de diamètre [OO1] en T, point de contact d'une des tangentes, issue de O.
Le cercle, de centre O, passant par T, est orthogonal aux trois cercles.
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Figure exportée dans WikiPédia : cercle orthogonal à trois cercles
Montrer que trois droites sont concourantes
Les hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Les hauteurs sont les axes radicaux des cercles de diamètres les côtés du triangle.
Elles sont donc concourantes. Le point de concours H est l'orthocentre du triangle.
H a même puissance pour les trois cercles.
On retrouve :
HA × HA’ = HB × HB’ = HC × HC’.
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Trois cercles tangents deux à deux
Centre radical comme point de concours
Trois cercles sont tangents deux à deux extérieurement en A, B et C.
Montrer que les tangentes communes aux points de contact se coupent en un même point I.
Le point I est le centre radical des trois cercles.
Monter que le point I est le centre du cercle (c) circonscrit au triangle ABC.
Les segments [IA], [IB] et [IC] sont de même longueur, égale au rayon du cercle circonscrit (c). Ils sont perpendiculaires aux côtés du triangle O1O2O3.
Le cercle (c) est orthogonal aux cercles (c1), (c2) et (c3).
Le cercle (c) est inscrit dans le triangle O1O2O3 et son centre I est le point d'intersection des bissectrices (O1I), (O2I) et (O3I).
Construction réciproque : trois cercles définis par leurs centres O1, O2 et O3
Placer trois points O1, O2 et O3 et tracer le centre I du cercle inscrit dans le triangle O1O2O3.
Le point I se projette orthogonalement en A, B et C sur les côtés du triangle.
Les cercles (c1), (c2) et (c3) de centres O1, O2 et O3 passant par B, C et A sont tangents extérieurement deux à deux et le point I, centre radical de ces trois derniers cercles, est le centre du cercle circonscrit à ABC, orthogonal aux trois cercles.
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Voir, cercles de Malfatti : trois cercles tangents, inscrits dans un triangle
Un curieux point de concours
On projette orthogonalement les sommets d'un triangle ABC sur une droite (d) en A’, B’ et C’.
Soit (d1) la droite passant par A’,
perpendiculaire à (BC),
(d2) la droite passant par B’, perpendiculaire à (AC),
(d3) la droite passant par C’, perpendiculaire à (AB).
Montrer que les droites (d1), (d2) et (d3) sont concourantes.
Solution
La médiatrice de [B’C’] rencontre le côté [BC] en son milieu, le point A2 équidistant de B’ et C’.
De même pour les milieux B2 et C2 de [AC] et [AB].
Soit (c1) le cercle de centre A2 passant par B’ et C’ ; (c2) le cercle de centre B2 passant par A’ et C’ ;
(c3) le cercle de centre C2 passant par A’ et B’.
L'axe radical de (c2) et (c3) est la perpendiculaire menée de A’ sur la ligne des centres (B2C2), or dans le triangle ABC, la droite des milieux (B2C2) est parallèle à (BC), c'est donc la droite (d1).
Les perpendiculaires d1, d2 et d3 sont les axes radicaux des cercles (c1), (c2), (c3).
Elles sont concourantes en K, centre radical des trois cercles.
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Autre démonstration : produit scalaire
4. Faisceau de cercles
Étant donné un cercle (c0) et une droite (d), il existe une infinité de cercles (c) tels que l'axe radical de chacun d'eux et du cercle (c0) soit la droite (d). On dit que ces cercles (et le cercle c0) forment un faisceau.
Un faisceau est déterminé par deux cercles (c1) et (c2) non concentriques.
Les centres des cercles (c) sont situés sur la droite (Δ) perpendiculaire à (d) passant par le centre de (c0). (Δ) est la droite des centres du faisceau.
Deux cercles quelconques (c1) et (c2) du faisceau admettent (d) comme axe radical.
4.a. Faisceau à points de base
L'ensemble des cercles qui passent par deux points donnés.
La ligne des centres est alors la médiatrice du segment déterminé par les points de base.
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4.b. Faisceau de cercles tangents
Un faisceau de cercles tangents est déterminé par la donnée d'une droite (d) et d'un point I de cette droite.
C'est l'ensemble des cercles tangents en I à (d).
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4.c. Faisceau à points limites (ou points de Poncelet)
Étant donné une droite (d) et un cercle (c) n'ayant pas de point commun, K est la projection du centre O sur (d) et T un des points de contact d'une tangente issue de K.
L'ensemble des cercles admettant (d) comme axe radical est l'ensemble des cercles dont les extrémités d'un diamètre divisent harmoniquement le segment [UV], les points U et V étant tels que :
KU2 = KV2 = KT2, puissance du point K par rapport au cercle (c).
U et V sont les intersections du cercle de centre K passant par T avec la ligne des centres (OK).
On dit que ces cercles forment un faisceau déterminé par (c) et (d).
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4.d. Faisceaux orthogonaux
en : Apollonian circles
Étant donné deux cercles (c) et (c1) non concentriques, il existe une infinité de cercles (γ) orthogonaux à (c) et (c1), ils sont aussi orthogonaux à tous les cercles du faisceau déterminé par (c) et (c1).
Les cercles (γ) orthogonaux aux cercles (c) d'un faisceau F forment un faisceau Φ conjugué de F. L'axe radical d'un des faisceaux est la droite des centres de l'autre.
Si l'un des faisceaux est formé de cercles tangents, il en est de même de l'autre. Sinon, si l'un des faisceaux est à points de base, l'autre est à points limites, et il y a identité entre ces couples de points.
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Figure exportée dans WikiPédia : Faisceaux orthogonaux
4.e. Tracer un cercle du faisceau de centre donné
Si O2 est un point de la droite (UV) extérieur au segment [UV], une tangente issue de O2 coupe le cercle de diamètre [UV] en T2 une des intersections avec le cercle de diamètre [KO2].
Le cercle (c2) de centre O2 passant par T2 appartient au faisceau à points limites U et V.
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4.f. Tracer un cercle du faisceau passant par un point M
Le cercle (c3) du faisceau à point de Poncelet U et V est l'ensemble des points P tels que :
= 
.
Ce cercle (c3) coupe la ligne des centres en Q et R, pieds des bissectrices de l'angle UMV. Ces deux bissectrices coupent l'axe radical en N et P, points d'intersection de cet axe avec le cercle circonscrit à MUV.
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4.g.Cercles d'un faisceau tangents à une droite
Soit (d) une droite non parallèle à l'axe radical, distincte de la ligne des centres.
La droite (d) rencontre l'axe radical en I. Pour un cercle tangent à (d) en T1, le point I a pour puissance IT12. Pour un faisceau à points de Poncelet U et V, la puissance de I par rapport aux cercles du faisceau est IU2. Dans ce cas il y toujours deux cercles solutions, ayant pour points de contact T1 et T2 intersections de la droite (d) avec le cercle de centre I, passant par U et V.
Leurs centres O1 et O2 sont les points communs à la ligne des centres et aux perpendiculaires à (d) en T1 et T2.
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Pour un faisceau à points de base A et B, si I est entre A et B, la puissance de I est négative et il n'y a pas de cercle tangent à (d).
Si I est un des points de base, il y a un cercle tangent.
Si I est à l'extérieur du segment [AB], la puissance de I égale à IA × IB est positive. Il y a deux cercles tangents.
Construction : tracer un cercle (c0) du faisceau passant par A et B, de centre O0. Le cercle de diamètre [IO0] rencontre (c0) en T. La puissance I par rapport aux cercles du faisceau est IT2. Les deux cercles solutions ont pour points de contact T1 et T2, intersections de la droite (d) avec le cercle de centre I, passant par T.
Leurs centres O1 et O2 sont les points communs à la ligne des centres et aux perpendiculaires à (d) en T1 et T2.
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4.h. Exercice : la statue
Une statue posée sur un socle est représentée par un segment vertical [AB].
Où doit se trouver l'œil d'un observateur pour voir la statue sous le plus grand angle possible ?
L'œil de l'observateur étant situé à une hauteur h du sol, on place un point H sur la droite (AB), situé à cette hauteur h. L'œil se trouvera sur une droite (d) perpendiculaire en H à (AB).
Le but est de placer sur (d) un point M, représentant l'œil, tel que l'angle AMB soit le plus grand possible.
Construction
Soit r le rayon du cercle circonscrit au triangle AMB. L'angle AMB est d'autant plus grand que r est petit. Le cercle de rayon minimum passent par les points A et B et est tangent à (d).
Pour construire un tel cercle remarquer que le rayon est la longueur IH où I est le milieu de [AB] (cercles du faisceau à points de base A et B tangents à d).
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Hauteur de la statue
Si la statue est inaccessible, à partir de la longueur MH et des angles AMH et BMH, par un calcul trigonométrique, il est possible de calculer la hauteur AB de la statue :
AH = MH tan(AMH),
BH = MH tan(BMH),
AB = MH (tan(AMH) – tan(BMH)).
4.i. Point fixe de l'axe radical de cercles fixe et variable
L'axe radical d'un cercle fixe et d'un cercle variable d'un faisceau passe par un point fixe.
Figure dans le cas d'un faisceau à points de Poncelet.
Soit F un faisceau de cercles, défini par un cercle (c) et l'axe radical (d).
Si (Γ) est un cercle de centre Ω situé hors de la ligne des centres (OK), l'axe radical de (c) et (Γ) coupe (d) en I. Le point I à même puissance par rapport à (Γ) et tous les cercles du faisceau.
Pour tout cercle (c1) du faisceau, le point I a même puissance par rapport à (c1) et (Γ). Leur axe radical passe par le point fixe I.
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4.j. Cercle d'un faisceau tangent à un cercle donné
Figure dans le cas d'un faisceau à points de Poncelet.
Soit F un faisceau de cercles, défini par un cercle (c) et l'axe radical (d).
Soit (Γ) est un cercle de centre Ω situé hors de la ligne des centres (OK), si un cercle (c0) du faisceau rencontre (Γ) en A et B, la droite (AB) est alors l'axe radical de ces deux cercles qui passe par le point fixe I situé sur (d). Si I est à l'extérieur de (Γ) (puissance de I positive), on peut tracer deux tangentes (IT1) et (IT2). Les cercles du faisceau passant par T1 et T2 sont tangents à (Γ). Le centre O1 de (c1) est l'intersection de (ΩT1) avec la ligne des centres (OK). De même, le centre O2 de (c2) est sur la droite (ΩT2).
Pour un faisceau à points de base, il n'y a pas de solution si J est entre les points de base : un des points de base à l'intérieur de (Γ), l'autre à l'extérieur.
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Bibliographie : Commeau – géométrie maths élem – Masson, 1963 (mon livre de cours en terminale).
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