René Descartes Descartes et les Mathématiques

Quadriques et GéoSpace

Surfaces dans l'espace, étudiées au lycée en spécialité TS.

Dans son traité Des conoïde et des sphéroïde, Archimède étudie les surfaces engendrées par des rotations de coniques.
Paraboloïde engendré par la rotation d'une parabole autour de son axe,
hyperboloïde engendré par la rotation d'une hyperbole autour de son axe,
ellipsoïde engendré par la rotation d'une ellipse autour de son axe.

Sommaire

1. Solides de révolution engendrés par des cercles

2. Hyperboloïde

3. Paraboloïde à selle

4. Paraboloïde hyperbolique d'équation
x² + y + z = 0

5. Surface d'équation z =

Les quadriques de l'espace sont des surfaces algébriques de degré 2. Elles possèdent beaucoup de propriétés analogues à celle des coniques.

L'équation réduite permet de classifier ces surfaces avec les paramètres a, b, c :

Ellipsoïde : x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1.
Paraboloïde elliptique (bol) : z = x²/a² + y²/b².
Paraboloïde hyperbolique (à selle) : z = x²/a² – y²/b² ; par un changement de variable, l'équation se transforme en z = xy.
Hyperboloïde à une nappe : x²/a² + y²/b² – z²/c² = 1.
Hyperboloïde à deux nappes : x²/a² + y²/b² – z²/c² + 1 = 0.
Cône basé sur une ellipse : x²/a² + y²/b² – z²/c² = 0.

Toutes ces surfaces, sauf le paraboloïde hyperbolique, seront étudiées ici comme engendrées par des solides de révolution avec a = b.

Le programme de spécialité de terminale S propose l'étude des paraboloïdes, bol et à selle, d'équations z = x² + y² et z = xy.
Les autres surfaces sont données à titre d'activités ou d'exercices.

1. Solides de révolution engendrés par des cercles Paraboloïde elliptique (bol) Le paraboloïde de révolution est la forme prise par la surface d'un liquide placé dans un cylindre d'axe vertical et animé d'une rotation rapide. Conformément au programme de S, étudions le solide de révolution d'équation z = x² + y². Pour une valeur positive fixée z₀, x² + y² = z₀ est l'équation d'un cercle c₀ de centre I₀(0 ; 0 ; z₀) et de rayon , contenu dans le plan P₀ d'équation z = z₀. Quand on fait varier z₀, on obtient une succession de cercles qui « s'empilent » et engendrent ainsi une surface de révolution autour de l'axe oz.
Avec GéoSpace passer en mode Trace (icône ci-contre de la barre d'outils)
Faire varier z₀, avec les flèches du clavier pour construire le paraboloïde. Modifier éventuellement le pas avec les touches + ou -.
Sortir du « mode trace » (bouton ci-contre de la barre d'outils) pour toute autre action sur la figure. Le lieu de points s'efface.

geometrie dans l'espace - paraboloide elliptique engendre par des cercles - copyright Patrice Debart 2003

Voici le programme GéoSpace permettant d'engendrer le paraboloïde de gauche par des cercles :

z0 réel libre de [0,5]
   Objet libre z0, paramètre: 3.6
P0 plan d'équation Z=z0 dans le repère Rxyz
I0 point de coordonnées (0,0,z0) dans le repère Rxyz
c0 cercle de centre I0 et de rayon rac(z0) dans le plan P0
Objet libre actif au clavier: z0
Sélection pour trace: c0
Noms des points non affichés

Génération par des cercles ; télécharger la figure GéoSpace parabolo.g3w

Il est aussi possible, comme ci-dessous, de générer cette figure par des paraboles isométriques contenues dans les plans P₀ d'équation X=x₀, parallèles au plan yoz.

geometrie dans l'espace - paraboloide elliptique engendre par des paraboles - copyright Patrice Debart 2003

La parabole a pour équation z = y² + x₀x².
Dans GéoSpace Il faut construire les trois points I₀(x₀,0,0) ; A(x₀,1,0) ; B(x₀,0,1) formant un repère I₀AB du plan P₀.
Dans ce repère la parabole a pour équation Y = X² + x₀².

Génération par des paraboles ; télécharger la figure GéoSpace parabol3.g3w

Ellipsoïde

geometrie dans l'espace - ellipsoide de revolution - copyright Patrice Debart 2003

C'est une surface de l'espace, d'équation de la forme :

x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1.

Choisissons a = b = 1 et c = 2 pour étudier l'ellipsoïde de révolution d'équation :

4 x² + 4 y² + z² = 4.

Dans le programme GéoSpace précédent modifier les deux lignes suivantes :

z0 réel libre de [-2,2]
…
c0 cercle de centre I0 et de rayon rac(4-z0^2)/2
  dans le plan P0 (unité Uxyz)

Télécharger la figure GéoSpace ellipsoi.g3w

Cône

geometrie dans l'espace - cone engendre par des cercles - copyright Patrice Debart 2003

C'est une surface de l'espace, d'équation de la forme :

x²/a² + y²/b² = z²/c².

Choisissons a = b = c = 1 pour étudier le cône de révolution d'équation :

x² + y² = z².

Dans le programme GéoSpace modifier les deux lignes suivantes :

z0 réel libre de [-2,2]
…
c0 cercle de centre I0 et de rayon abs(z0)
  dans le plan P0 (unité Uxyz)

Télécharger la figure GéoSpace cone_rev.g3w

2. Hyperboloïde

Ce sont des surfaces de l'espace du type :

Hyperboloïde à une nappe : x²/a² + y²/b² – z²/c² = 1 ; avec le cône asymptote interne d'équation x²/a² + y²/b² – z²/c² = 0.
Hyperboloïde à deux nappes : x²/a² + y²/b² – z²/c² + 1 = 0 ; avec le cône asymptote « externe » d'équation x²/a² + y²/b² – z²/c² = 0.

Choisissons a = b = 1 et c = 1 ou c = −1 pour étudier deux hyperboloïdes de révolution?
avec leurs cônes asymptotes d'équation x² + y² = z².

2.a. Génération par des cercles

À une nappe

geometrie dans l'espace - hyperboloide a une nappe - copyright Patrice Debart 2003

À deux nappes

geometrie dans l'espace - hyperboloide a deux nappes - copyright Patrice Debart 2003

À une nappe

Étude du solide de révolution d'équation : x² + y² = z² + 1.

Télécharger la figure GéoSpace hyper_1n.g3w

À deux nappes

Étude du solide de révolution d'équation : x² + y² = z² – 1.

En bleu le cône asymptote.

Télécharger la figure GéoSpace hyper_2n.g3w

2.b. Génération de l'hyperboloïde à une nappe par des droites

chateau d'eau des Pialoux - 26600 la Roche-de-Glun - photo copyright Patrice Debart 2003

On se place dans le plan d'équation
x = 1. L'intersection de l'hyperboloïde avec ce plan vérifie
y² – z² = 0, soit en factorisant
(y – z) (y + z) = 0.

L'intersection est donc la réunion de deux droites génératrices :
(d) de couple d'équations
{x = 1 ; y – z = 0}

et (d’) de couple d'équations
{x = 1 ; y + z = 0}.

Toute rotation d'axe Oz transforme les droites (d) et (d’) en deux génératrices de l'hyperboloïde.

L'hyperboloïde est une surface réglée, surface obtenue comme réunion d'une famille de droites engendrées par un point se déplaçant sur une courbe (ici un cercle).

Représentation dans le cube [–3, 3]³ avec GéoSpace :

La droite (d) passe par
le point A(1, 3, 3) situé sur le cercle c₀ du plan horizontal d'équation z = 3
et le point B(1, –3, –3) sur le cercle (c₁) du plan horizontal d'équation z = −3.

Une rotation d'axe Oz, d'angle t radians, transforme A en C et B en D. La droite (CD) est une génératrice du solide.

Château d'eau des Pialoux (26 La Roche-de-Glun) : les directrices renforcent la solidité de l'édifice et permettent une construction plus économique avec des fers à béton rectilignes.

Une génératrice

geometrie dans l'espace - generatrice d'un hyperboloide - copyright Patrice Debart 2003

Trace des segments de génératrice [CD].

Télécharger la figure GéoSpace hyp_1n_2.g3w

Deux génératrices

geometrie dans l'espace - hyperboloide a deux generatrices - copyright Patrice Debart 2003

La droite (d’) passe par les points A’(1, –3, 3) et B’(1, 3, –3).

Une rotation d'axe Oz, d'angle t radians, transforme A’ en E et B’ en F. La droite (EF) est aussi une génératrice du solide.

Télécharger la figure GéoSpace hyp_1n_3.g3w

geometrie dans l'espace - hyperboloide - Sagrada-Familia - copyright Patrice Debart 2003

Barcelone : Sagrada-Familia

Remarque 1 :

geometrie dans l'espace - cheminée de la centrale de Cruas - copyright Patrice Debart 2003

pour l'hyperboloïde à une nappe, l'existence de ces génératrices assure en architecture la rigidité du solide permettant d'utiliser cette forme pour des châteaux d'eau ou des tours de refroidissement.

Remarque 2 :

dans le cas général avec le type x²/a² + y²/b² – z²/c² = 1
on se ramène à un solide de révolution x²/a² + y²/a² – z²/c² = 1 par une affinité de plan Oxz et de rapport b/a puis on fait une étude similaire en étudiant l'intersection avec le plan d'équation x = a².

3. Paraboloïde à selle : paraboloïde hyperbolique d'équation z = xy

Exemple de surface, du programme de spécialité de terminale S, qui n'est pas de révolution.

Génération par des hyperboles contenues dans des plans horizontaux

L'intersection de la surface avec le plan horizontal passant par l'origine O est la réunion des deux axes (Ox) et (Oy).
Pour z₀ ≠0, dans le plan P₀ d'équation z = z₀, construire une hyperbole (h₀) d'équation xy = z₀, puis avec le mode trace de GéoSpace, déplacer z₀ de –1 à 5.

geometrie dans l'espace - paraboloide a selle - copyright Patrice Debart 2003

Télécharger la figure GéoSpace par_xy.g3w

Exemples de représentations dans le cube [–5, 5]³

Il est conventionnel de représenter les surfaces à l'intérieur d'un cube. Ici on choisit le demi-côté a = 5.

Ci-dessous deux représentations permettant de visualiser les arcs d'hyperboles et les segments de droite contenus dans le paraboloïde

Génération par des hyperboles dans des plans horizontaux

geometrie dans l'espace - paraboloide dans un cube - copyright Patrice Debart 2003

.Dans la figure ci-dessus à gauche, sont représentée les arcs d'hyperboles
situées dans les plans d'équations z = z₀ pour z₀ variant de –5 à 5.

Télécharger la figure GéoSpace par_xy_3.g3w

Génération par des directrices dans des plans parallèles à (yOz)

geometrie dans l'espace - paraboloide a selle dans un cube - copyright Patrice Debart 2003

Sur l'hyperbole, située sur la face supérieure du cube ci-dessus à droite, sont placés les points P(x, a/x, a) et R(– x, –a/x, a)
et sur la face inférieure les points Q(x, –a/x, –a) et S(– x, a/x, –a).

Les segments [PQ] et [RS], sont inclus dans le paraboloïde.
Le segment [TU] sst aussi inclus dans la surface.
Il joint les points T(z/a, a, z) et U(z/a, –a, –z), situés dans les faces latérales du cube.

Télécharger les figures GéoSpace par_xy_7.g3w, par_xy_x0.g3w

Génération par des directrices contenues dans des plans parallèles au plan (xOz)

Remarque : on peut obtenir une trame dans l'autre sens en utilisant les segments [PS] et [RQ] et le segment qui joint les points de coordonnées (a, z/a, z) et (– a, z/a, –z).

Télécharger les figures GéoSpace xy_8.g3w, par_xy_y0.g3w

geometrie dans l'espace - paraboloide inscrit dans un cube - copyright Patrice Debart 2003

Télécharger les figures GéoSpace par_xy_4.g3w,

par_xy_5.g3w, la figure GéoSpace par_xy_6.g3w

Génération par des paraboles contenues dans des plans verticaux

geometrie dans l'espace - paraboloide genere par des paraboles - copyright Patrice Debart 2003

L'intersection du paraboloïde avec des plans parallèles au plan d'équation x – y = 0 est une parabole.

La construction avec GéoSpace se fait dans un nouveau repère ayant pour axes horizontaux les bissectrices des axes (Ox) et (Oy).

Avec le changement de variables :

x = (Y + X)
y = (Y – X)

z = Z ;

Le paraboloïde d'équation z = xy, a pour équation dans le nouveau repère :
Z = (Y + X)(Y – X)/2 = (Y² – X²)/2.

Pour un plan, ayant dans ce repère une équation de la forme
X = X₀, construire une parabole d'équation Z = (Y² – X₀²)/2, puis avec le mode trace de GéoSpace, déplacer X₀ de –5 à 3.

En raison de la parité de la fonction, on remarque que les plans d'équations X = 0 et Y = 0 sont plans de symétrie de la surface.

Télécharger la figure GéoSpace par_xy_para.g3w

Génération du paraboloïde hyperbolique d'équation z = xy par des droites

geometrie dans l'espace - paraboloide hyperbolique - copyright Patrice Debart 2003

Représentation dans le cube [–1, 1]³
L'intersection de la surface avec les faces latérales du cube est formée par quatre diagonales des faces de ce cube.
Les droites joignant les points de même abscisse, situés sur les diagonales opposées, sont des génératrices de la surface.

géométrie dans l'espace - paraboloide hyperbolique - copyright Patrice Debart 2003

La recherche de l'intersection de la surface précédente, avec le plan d'équation x = 0, permet d'en déduire l'étude de la surface d'équation :

y = z/x.

Télécharger la figure GéoSpace par_xy_2.g3w

Démonstration

Point R du paraboloïde hyperbolique, à l'intersection de deux génératrices

geometrie dans l'espace - point d'un paraboloide comme intersection de 2 generatrices - copyright Patrice Debart 2003

Télécharger la figure GéoSpace par_xy_2_demo.g3w

Étude dans un cube ABCDEFGH de centre O, de côté de longueur 2.
Les sommets A(1, 1, 1) ; H(–1, 1, –1) ; C(–1, –1, 1) et F(1, –1, –1) sont des points de la surface S d'équation z = xy.

Étant donné deux nombres réels λ et µ, on considère les barycentres :
M barycentre de (A, λ) et (H, 1–λ) ;
N barycentre de (F, λ) et (C, 1–λ) ;
P barycentre de (A, µ) et (F,1–µ) ;
Q barycentre de (H, µ) et (C,1–µ).

Soit R le barycentre de (M,µ) et (N,1–µ).

Le point R est aussi le barycentre de (P, λ) (Q, 1–λ).

En effet d'après le théorème d'associativité, le barycentre de (A, λµ) ; (H, (1–λ)µ) ; (F, λ(1–µ)) et (C, (1–λ)(1–µ)) est d'une part le barycentre du barycentre partiel de (A, λµ) et (H, (1–λ)µ) soit le point M et d'autre part le barycentre partiel de (F, λ(1–µ)) et (C, (1–λ)(1–µ)) soit le point N.
C'est le barycentre de (M, µ) et (N, 1–µ), soit le point R.

De même, le barycentre de (A, λµ) ; (H, (1–λ)µ) ; (F, λ(1–µ)) et (C, (1–λ)(1–µ)) est d'une part le barycentre du barycentre partiel de (A, λµ) et (F, λ(1–µ)) soit le point P et d'autre part le barycentre partiel de (H, (1–λ)µ) et (C, (1–λ)(1–µ)) soit le point Q.
C'est le barycentre de (P, λ) et (Q, 1–λ), Ce barycentre est bien le point R.

Les droites (MN) et (PQ) sont donc concourantes en R.

Les points M, N, P et Q appartiennent à la surface S

M est le barycentre de (A, λ) et (H, 1–λ). La fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire : = λ .
Avec les coordonnées M(x, y, z) ; A(1, 1,1) ; H(–1, 1, –1) et (2, 0, 2) ; on trouve le système d'équations :
x + 1 = 2 λ,
y – 1 = 0,
z + 1 = 2 λ.

Soit M(–1 + 2λ, 1, –1 + 2λ). Ces coordonnées vérifient l'équation xy = z de la quadrique S pour tout réel λ. La droite (AH) est tout entière contenue dans la surface S.

N est le barycentre de (F, λ) et (C, 1–λ).
Avec les coordonnées N(x, y, z) ; C(–1, –1, 1) ; F(1, –1, –1) et (2, 0, –2) ; la fonction = λ permet de trouver le système d'équations :
x + 1 = 2 λ,
y + 1 = 0,
z – 1 = –2 λ.

Soit N(–1 + 2λ, –1, 1 – 2λ). Ces coordonnées vérifient l'équation de S pour tout λ. La droite (CF) est contenue dans la surface S.

De même, pour tout réel µ, les coordonnées de P(1, 2µ – 1, 2µ –1) et Q(–1, 2µ – 1, 1 – 2µ) vérifient l'équation de S. Les droites (CF) et (FA) sont tout entières contenues dans la surface S.

Le point R est un point de la surface S

R est le barycentre de (M,µ) et (N,1–µ).
Avec les coordonnées R(x, y, z) ; M(–1 + 2λ, 1, –1 + 2λ) ; N(–1 + 2λ, –1, 1 – 2λ) et (0, 2, –2 + 4λ) ; la fonction = µ permet de trouver le système d'équations :
x + 1 – 2 λ = 0,
y + 1 = 2µ,
z – 1 + 2 λ = (–2 + 4λ)µ.

Soit R(–1 + 2λ, –1 + 2µ, 1 – 2λ – 2µ + 4λµ). Pour tout λ et tout µ, ces coordonnées vérifient l'équation de S et les droites (MN) et (PQ) sont contenues dans la surface. Les droites (MN) et (PQ) engendrent la surface S.

Réciproque

Réciproquement quel que soit le point R de la surface S, n'appartenant pas au cube, le plan (FCR) coupe la droite (AH) en M. La droite (MR) coupe (FC) en N. Le point R a pour abscisse µ dans le repère (N, ).
De même, le plan (RHC) coupe (AF) en P et la droite (PR) coupe (HC) en Q. Le point R a pour abscisse λ dans le repère (Q, ).
Les droites (MN) et (PQ) s'appuient sur les côtés du quadrilatère AHCF et sont entièrement contenues dans la surface S.