René DescartesDescartes et les Mathématiques

Calcul différentiel appliqué à la recherche d'extremums

Capes externe de mathématiques 2007 - Épreuve sur dossier

Sommaire

1. Le canal ouvert

Problème d'optimisation :
Recherche d'un volume maximal avec une surface minimale

2. Cylindre

3. Casserole
    Découper une casserole dans une plaque
4. Parallélépipède rectangle
    Boite à chaussures

Technique GéoPlan : dans ces exercices est utilisée une seule figure avec deux cadres : le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction.

1. Le canal ouvert

figure géométrique et optimisation d'une fonction - profil d'un canal - copyright Patrice Debart 2008

Un canal ABCD a une section en forme de trapèze isocèle de hauteur h et d'aire S fixées. La petite base AB = a et la grande base CD = b.

Comment choisir a pour que le bétonnage des bords et du fond du canal soit optimal, soit DA + AB + BC minimal.

Déplacer le point A pour trouver le minimum.

Déplacer P, milieu de [AD], pour modifier les données h et S.

g2w Télécharger la figure GéoPlan canal.g2w

Calculs

S = h × (a+b)/2 d'où a+b = 2S/h = q. Soit b = q − a.

p = DA + AB + BC = AB + 2 DA

DA2 = ((b−a)/2) + h2 = (q/2 − a)2 + h2

donc p = a + 2 rac[ (q/2 − a)2 + h2]

Je ne sais pas étudier le minimum de cette fonction de la variable a. Il doit y avoir une astuce à retrouver dans les manuels.

Problème d'optimisation : maximisation de volume avec une surface minimale

2. Cylindre

Optimiser l'aire d'un cylindre : le cylindre « économique » a un diamètre égal à sa hauteur.

Première question de l'épreuve de physique du concours de l'X de l'année 2004 en MP.

Indications

On nomme h la hauteur du cylindre, r son rayon.
À volume V fixé, on cherche les valeurs de r et h telles que l'aire du fond et du côté du cylindre soit minimale.

Il suffit d'exprimer le volume en fonction de r et h : V = πr2h,
de calculer h dans cette formule : h = V/(πr2).
Puis exprimer l'aire A en fonction de r et h : A = 2πr2 + 2πrh.
On substitue h pour exprimer l'aire en fonction de r et du volume V : A = 2πr2 + 2V/r.

En classe de première, on utilise la dérivée A’ = dA/dr : A’ = 4 πr − 2V/r2 = (4πr3 − 2V)/r2.
L'aire est extrémale lorsque A’ s'annule : on obtient donc une relation entre r et V : 4 πr3 − 2V = 0, soit r3 = V/(2π).
Mais comme d'après le calcul du volume V/π = r2h, on a : h = 2r.

On a donc r = h/2 = {V/(2π)}^(1/3).

3. Casserole

a. Optimisation du volume d'une casserole

Montrer que pour un volume V donné, la casserole « économique » est celle dont le rayon est égal à la hauteur.

Indications

On nomme h la hauteur du cylindre, r son rayon.
À volume V fixé, on cherche les valeurs de r et h telles que l'aire du fond et du côté du cylindre soit minimale.

Il suffit d'exprimer le volume en fonction de r et h : V = πr2h,
de calculer h dans cette formule : h = V/(πr2).
Puis exprimer l'aire A en fonction de r et h : A = πr2 + 2πrh.
On substitue h pour exprimer l'aire en fonction de r et du volume V : A = πr2 + 2V/r.

En classe de première, on utilise la dérivée A’ = dA/dr : A’ = 2πr − 2V/r2 = (2πr3 − 2V)/r2.
L'aire est extrémale lorsque A’ s'annule : on obtient donc une relation entre r et V : 2πr3 − 2V = 0, soit r3 = V/π.
Mais comme d'après le calcul du volume V/π = πr2h, on a : h = r.

On a donc r = h = (V/π)^(1/3).

b. Découper une casserole dans une plaque

figure géométrique et optimisation d'une fonction - découper une casserole dans une plaque - copyright Patrice Debart 2008

Dans une plaque rectangulaire ABCD de largeur a = AB et de longueur b = BC, on découpe le fond d'une casserole, un disque de rayon x, et un rectangle de longueur 2πx pour le bord.

Comment choisir x pour que la casserole soit de volume maximal ?

Solution : x = b/(2π) si a<b/(6π) (G est alors situé sur [CD]), sinon x = a/3.

Le problème n'a d'intérêt que lorsque la longueur b de la plaque est suffisamment grande pour que l'optimisation conduise à un bord de longueur inférieure à celle de la plaque (EG < b).

L'abscisse a/3 du maximum relatif de la fonction du troisième degré représentant le volume, V(x) = π x2 (a − 2x), se trouve alors entre 0 et b/(2π), avec a < b/(6π).

g2w Télécharger la figure GéoPlan casserole.g2w

d. Découper un cylindre dans une plaque

Dans une plaque rectangulaire ABCD de longueur a = AB et de largeur b = BC, on découpe deux disques de rayon x, et un rectangle de longueur 2 π x pour le bord d'un cylindre.

Comment choisir x pour que le cylindre soit de volume maximal ?

Les contraintes d'optimisation sont pratiquement les mêmes que pour la casserole.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cylindre.g2w

4. Parallélépipède rectangle (pavé droit)

On cherche les dimensions (x:longueur, y:largeur et z: hauteur) d'une boite parallélépipède rectangle qui permettent de maximiser son volume V tout en minimisant son aire S.

Bien sûr, V = xyz et S = 2(xy+yz+xz).

la solution est x = y = z = V^(1/3)

Tu peux le résoudre avec des outils de 1ère S :

1) On fixe V=V0 et x=x0. On considère la fonction y → S(y)
{S(y) = 2(x0 y + V0/x0 + V0/y) }
Une étude de fonction élémentaire montre que le minimum est atteint pour ym= rac(V0/x0).

2) On cherche le « minimum des minima » en étudiant la fonction x0 → S(ym).
Là aussi une étude élémentaire montre que le minimum est atteint pour x0 = V0^(1/3)

Voir : multiplicateur de Lagrange

Boite à chaussures

Optimisation du volume d'une boite

Classe de 1ère S

figure géométrique et optimisation d'une fonction - boite a chaussures - copyright Patrice Debart 2008

Dans une plaque rectangulaire ABCD de longueur a = AB et de largeur b = BC, on découpe dans chaque coin un carré de côté x, pour construire une boite de hauteur x.

Comment choisir x pour que la boite soit de volume maximal ?

Indications

Le volume est alors de V(x) = (a − 2x)(b − 2x) x pour 0 ≤ xb/2 avec ba.

On a V’(x) = 12 x2 − 4(a + b)x + ab.

V’(x) = 0 admet un discriminant Δ = 16(a2ab + b2) = 16[(a − b)2 + ab] ≥ 0.

Le maximum du volume correspond à x1 = [a + b − rac(Δ)]/6.

L'autre solution x2 = [a + b + rac(Δ)]/6 avec b/2 ≤ x2a/2, correspond à un minimum négatif de V(x) qui bien sûr ne convient pas.

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Table des matières

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Capes, page no 7, créée le 20/2/2008