René DescartesDescartes et les Mathématiques

Deux triangles inscrits dans deux cercles de rayons 1

Transformation d'un triangle et de son cercle circonscrit avec les complexes

Énoncé avec les vecteurs

Étant donné trois points A, B, C et le centre O du cercle circonscrit à ABC,
on trace le triangle MNP tel que vect(OM) = vect(Ob) + vect(Oc), vect(ON) = vect(Oa) + vect(Oc) et vect(OP) = vect(Oa) + vect(Ob).
Que peut-on dire du triangle MNP ?

Le plus simple pour ce problème est d'utiliser les nombres complexes avec le logiciel GeoGebra et d'étudier le cercle circonscrit au triangle MNP.

Énoncé avec les complexes

deux triangles inscrits dans deux cercles de rayon 1 - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2012

Trois points sur le cercle unité d'affixes a, b, c ;
que peut-on dire du cercle circonscrit au triangle passant par les sommets d'affixes (a+b), (b+c), (a+c) ?

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : deux triangles inscrits dans deux cercles

Le cercle circonscrit au triangle passant par les points d'affixes P(a+b), M(b+c), N(a+c) a pour centre le point I(a+b+c) {se trouve empiriquement avec GeoGebra} et a 1 pour rayon (vect(IP) a pour affixe c, de module 1…).

Technique GeoGebra

Choisir trois curseurs de - π à π pour les arguments α, β et γ des points d'affixes a, b et c.

En créant un nouveau point et en validant le nombre complexe cos(α) + i sin(α) dans le champ de saisie, on obtient le point (cos(α), sin(α)) dans la vue graphique. Nommer ce point a : confusion d'un point a et de son affixe a par GeoGebra,
de même pour b : (cos(β) + i sin(β)) et c : (cos(γ) + i sin(γ)).

Enfin créer les nouveaux points d'affixes (a+b), (b+c), (a+c) puis (a+b+c) et les nommer P, M, N et I. Tracer le cercle circonscrit à MNP.

Démonstration

étude de la symétrie de deux triangles inscrits dans deux cercles - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2012

On a |vect(IP)| = |c| = |vect(IM)| = |a| = |vect(IM)| = |b| = 1 ce qui prouve que le cercle de centre I et de rayon 1 est le cercle circonscrit au triangle MNP.

Symétrie centrale

Les triangles abc et MNP sont symétriques par rapport au point J, milieu de [OI].

En effet le point J a pour affixe (a+b+c)/2 ;

Le milieu de [aM] a pour affixe [ a + (b+c)]/2, c'est donc le point J.

De même J est le milieu des segments [bN] et [cP].

Les deux cercles circonscrits sont symétriques par rapport à J, ce qui donne une autre approche de ces cercles.

Centres de gravité

Les points I et J sont sur la droite d'Euler (OG) du triangle abc, cette droite est aussi la droite d'Euler (IG2) du triangle MNP.

Le centre de gravité G du triangle abc a pour affixe (a+b+c)/3,
Le centre de gravité G2 du triangle MNP a pour affixe
2(a+b+c)/3,
on a : vect(OJ) = 3/2 vect(OG) et vect(OI) = 3 vect(OG).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : deux triangles inscrits dans deux cercles - symétrie

Généralisation

généralisation du problème de 2 triangles inscrits dans 2 cercles - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2012

Deux cercles de rayons r

Il est possible de généraliser le problème à n'importe quel triangle inscrit dans le cercle de centre O et rayon r.

Les sommets ont alors pour affixe a, b et c,
avec a : r(cos(α) + i sin(α) ); b : r(cos(β) + i sin(β))
et c : r(cos(γ) + i sin(γ))
soit |a| = |b| = |c| = r.

Le triangle de sommets les points d'affixes P(a+b), M(b+c), N(a+c) est symétrique du triangle abc par rapport à J, d'affixe (a+b+c)/2, et est inscrit dans un cercle de rayon r.

Trois parallélogrammes

vect(OM) = vect(Ob) + vect(Oc) : ObMc est un parallélogramme.
De même vect(ON) = vect(Oa) + vect(Oc) et vect(OP) = vect(Oa) + vect(Ob), donc OaNc et OaPb sont aussi des parallélogrammes.

Dualité

Les triangles abc et MNP et leurs cercles circonscrits jouent des rôles symétriques : en prenant le point I comme origine, on obtient le triangle abc à partir du triangle MNP de la même façon que l'on a obtenu MNP à partir du triangle abc.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : deux triangles dans deux cercles de même rayon

GeoGebra Version interactive

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Page no 189, créée le 12/2/2012
mise à jour le 24/11/2013