Descartes et les Mathématiques
Aires du parallélogramme et du trapèze
Des images aux formules : partage de parallélogrammes, de trapèze.
Sommaire
4. Deux parallélogrammes d'aires égales
5. Partage d'un parallélogramme en deux paires de triangles de même aire
Comment calculer l'aire d un parallélogramme ?
La formule de l'aire d'un parallélogramme est :
Aire d'un parallélogramme = (Base × hauteur) soit : A = (B × h) .
1.a. Aire d'un parallélogramme
Classe de cinquième
Calcul de l'aire de la surface du parallélogramme quelconque
Transformer un parallélogramme en rectangle
Soit ABCD un parallélogramme, E et F les projections
orthogonales de C et D sur (AB).
Le rectangle FECD a même aire que le parallélogramme,
car les triangles rectangles ADF et BCE sont isométriques.
Formule de l'aire du parallélogramme
Aire(ABCD) = AB × DF = a × h = base × hauteur
où a = AB = CD et h = DF = CE.
L'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.
1.b. Aire d'un parallélogramme, sans la hauteur
Chaque diagonale partage le parallélogramme en deux triangles de même aire.
En effet, les deux triangles sont symétriques par rapport au milieu de la diagonale.
Aire(ABCD) = 2 Aire(ABD) = 2 Aire(BCD).
1.c. Théorème de la tringle (à rideaux)
Les Éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 35
Méthode du cisaillement
Deux parallélogrammes, de même base,
entre deux mêmes parallèles, sont d'aires égales :
Si ABCD et ABEF sont deux parallélogrammes tels
que E (et F) sont des points de la droite (CD), alors ils ont même aire.
En effet ils ont même base et même hauteur.
1.d. Parallélogramme et triangle de même base
Les Éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 41
Si un parallélogramme et un triangle ont une même base,
et sont entre mêmes parallèles ;
le parallélogramme sera [d'aire] double du triangle.
Méthode des aires : démonstration utilisant les
propriétés d'Euclide : « les triangles ou les parallélogrammes
qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ».
2. Aire du losange
Deux méthodes de calcul de la surface du losange selon qu'on
le considère
comme un parallélogramme ou comme un quadrilatère orthodiagonal.
Un losange est un parallélogramme.
Son aire a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.
A(ABCD) = AB × DH.
Un losange est un quadrilatère orthodiagonal
Le losange ABCD est inscrit dans le rectangle PQRS.
L'aire du rectangle est égale au produit des longueurs des diagonales AC × BD.
L'aire du losange est alors 
AC × BD.
L'aire d'un losange est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales.
3. Aire du trapèze
De l'objet réel à sa modélisation
Classe de 5e
Géométriser un problème, c'est transposer le problème, qui peut
être concret ou non, le plus souvent spatial au niveau du collège,
dans le cadre de la géométrie afin de le simplifier et de le résoudre.
C'est le cas, par exemple, lors du calcul de l'aire d'un champ.
Le champ réel a une certaine forme. Le processus de
modélisation géométrique comporte deux étapes :
– assimilation du champ à une surface plane limitée
par des portions de lignes droites ;
– assimilation de cette surface à un polygone élémentaire
(trapèze dans l'exemple qui suit)
ou un agencement de plusieurs polygones simples.
Le recours à un schéma pour « simplifier » et s'approprier la
situation étudiée illustre ce passage de la réalité au domaine
de la géométrie. La figure géométrique intervient ainsi comme
une maquette de la réalité. Ces transferts sont déjà travaillés à l'école primaire.
Cette habitude du recours à une visualisation simplificatrice
peut paraître naturelle à certains élèves à l'entrée au collège,
mais reste à construire pour beaucoup d'autres.
Il est donc indispensable de travailler cette compétence.
Une fois le transfert effectué dans le cadre géométrique, la
résolution du problème repose sur des propriétés attachées
aux objets, qui sont utilisées alors comme des modèles.
Le modèle réfèrent possède un statut mathématique organisé en propriétés.
Le schéma « simplifie » donc, mais ajoute aussi des éléments de connaissance.
Ainsi, dans l'exemple du champ trapézoïdal, on passe du champ
à un trapèze, puis, enfin au « Trapèze » dont on peut calculer
l'aire, par décomposition en triangles et rectangle, à l'aide de
hauteurs issues de deux sommets qui ne correspondent à rien dans la réalité.
Définition
Trapèze : quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles ;
les deux côtés parallèles sont les bases : la grande base et la petite base.
Voir : quadrilatères
Trapèzes dans la planche à clous
Calculer l'aire d'un trapèze :
Dans les paragraphes suivants, ABCD désigne un trapèze
de grande base [AB] et de petite base [CD] parallèle à (AB).
3.a. Décomposition du trapèze en triangles et rectangle
Cas où [HK], projection de la petite base [DC], est inclus dans [AB].
On peut calculer l'aire, par décomposition en un rectangle
et deux triangles rectangles, à l'aide des hauteurs issues
des deux sommets de la petite base.
Calcul de l'aire d'un trapèze
Dans ce cas de figure, avec b = AB, b’ = CD, h = DH,
le trapèze est un rectangle HDCK (d'aire b’h) auquel on accole
deux triangles rectangles ADH et KBC (dont la somme
des aires est
(AH + BK)h/2 = (b –b’)h/2).
Aire(ABCD) = b’h + (b – b’)h/2 = 
× h.
Formule de l'aire du trapèze
La surface d'un trapèze a pour mesure le produit
de la moyenne des bases par sa hauteur :
b = AB, b’ = CD, h = DH :
Aire(ABCD) = × h.
Figure interactive dans GeoGebraTube : Trapèze - Formule de l'aire
WikiPédia : Trapèze
Wikiversité : Mesure en géométrie : Aire
3.b. Découpage du trapèze-en deux triangles
Calculer l'aire en découpant le trapèze en deux triangles de même hauteur.
Soit h = DH la hauteur, b = AB la première base, et b' = CD la deuxième.
On peut considérer les triangles ACB et ADC,
respectivement de bases b et b', et de hauteur commune h.
S = hb /2 + hb' /2 = h (b + b')/2.
Figure interactive dans GeoGebraTube :
Trapèze - Découpage en 2 triangles
3.c. Transformer le trapèze en rectangle
Soit I et J les milieux des côtés [BC] et [AD].
D'après la propriété de Thalès,
IJ est égal à la moyenne des bases.
On a m = IJ = .
E et F les projections orthogonales de J et I sur (AB) ainsi
que G et H les projections orthogonales de I et J sur (CD).
Le rectangle EFGH a même aire que le trapèze ABCD,
car les triangles rectangles
IGC et IFB sont isométriques,
de même que les triangles JHD et JEA.
On retrouve :
Aire(ABCD) = Aire(EFGH) = EF × EH = m h = × h.
3.d. Doubler un trapèze pour obtenir un parallélogramme
ABCD est un trapèze de grande base [AB],
et de petite base [CD] parallèle à (AB).
I le milieu du côté [BC].
La symétrie de centre I transforme A en A’ et D en D’.
Les points A, B et C’ sont alignés comme les points D, C et A’.
(BD’) est parallèle à (A’C).
BD’A’C est un trapèze de même aire que ABCD et on a :
b = AB = A’C, b’ = CD = A’C, h = CH.
(AD) est parallèle à (A’D’).
AD’A’D est un parallélogramme de base AD’ = b + b’.
Aire(AD’A’D) = AD’ × CH = (b + b’) × h.
Or Aire(AD’A’D) = Aire(ABCD) + Aire(BD’A’C) = 2 Aire(ABCD),
soit 2 Aire(ABCD) = (b + b’) × h.
On retrouve Aire(ABCD) = × h.
Figure interactive dans GeoGebraTube :
Doubler un trapèze pour obtenir un parallélogramme
3.e. Transformer un trapèze en parallélogramme
Le trapèze a même aire que celle du parallélogramme AFEJ.
Aire(ABCD) = Aire(AFEG) = AF × h = (b + b’) × h.
3.f. Transformer un trapèze en rectangle
Le trapèze a même aire que celle du rectangle AFEG.
Aire(ABCD) = Aire(AFEG) = AF × KF = (b + b’) × h.
3.g. Transformer un trapèze en triangle
Le trapèze a même aire que celle du triangle ADF.
Aire(ABCD) = Aire(ADF) = AF × h = (b + b’) × h.
Voir : trapèze complet et théorème du trapèze (classe de première)
3.h. Deux triangles dans un trapèze
ABCD est un trapèze tel que (AB) est parallèle à (CD).
I et J sont les milieux des côtés [AD] et [BC].
Les triangles ADJ et BCI sont-ils de même aire ?
Indications
Tracer la droite (IJ) et montrer, par la propriété de Thalès,
qu'elle est parallèle à (AB) et (CD).
Les triangles IJA et IJB ont même aire d'après la propriété du trapèze.
De même, les triangles IJD et IJC ont même aire.
Les triangles ADJ et BCI ont même aire comme
réunion disjointe de triangles deux à deux de même aire.
Figure interactive dans GeoGebraTube : deux triangles dans un trapèze
4. Deux parallélogrammes d'aires égales
M est un point variable sur la diagonale [AC] d'un parallélogramme ABCD.
Par M, on trace deux parallèles aux côtés du grand parallélogramme.
Démontrer que les aires des deux parallélogrammes hachurés sont égales.
Les éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 43
Classe de cinquième
Montrer qu'une diagonale d'un parallélogramme
le partage en deux triangles d'aires égales.
Démontrer que les aires hachurées sont égales en utilisant cette
propriété dans les parallélogrammes ABCD, AIML et MKCJ.
Partage d'un parallélogramme en quatre - hauteur
Classe de troisième - assez difficile
Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès
dans les triangles rectangles AMG et CMH permet d'écrire :
= 
.
(AD) étant parallèle à (BC), avec la propriété de Thalès dans
les triangles ALM et CKM on a : = 
.
Par transitivité = .
Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » :
KM × MG = LM × MH.
Aire(IBKM) = Aire(LMJD).
Cas particulier de rectangles en classe de quatrième,
voir : les Éléments d'Euclide
Deux triangles d'aires égales dans un parallélogramme
M est un point variable sur la diagonale [AC] du parallélogramme ABCD.
Par M, on trace deux parallèles aux côtés du grand parallélogramme.
Les aires des deux triangles hachurés sont égales.
5. Partage d'un parallélogramme
en deux paires de triangles
Partage en triangles d'aires égales
Classe de cinquième
Un fermier possède un très grand champ en forme de
parallélogramme ABCD à l'intérieur duquel se trouve
un puits en un certain point M.
Se sentant mourir, il donne à son fils Pierre les deux
champs
triangulaires MAB et MCD et tout le reste à son autre fils Jean.
Un des frères est-il défavorisé ?
Il est possible de simplifier cet exercice
en considérant un champ rectangulaire.
Formulation plus classique :
M est un point à l'intérieur d'un parallélogramme ABCD.
Démontrer que la somme des aires des deux triangles
hachurés est égale à celle des deux triangles non hachurés.
Partage d'un parallélogramme en deux - hauteur
Indication : tracer les points H et K projections orthogonales
de M sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).
(HM) est une hauteur de ABM et Aire(ABM) = AB × HM.
(MK) est une hauteur de CDM et Aire(CDM) = CD × MK.
Dans le parallélogramme ABCD,
les côtés [AB] et [CD] sont de même longueur.
D'où Aire(ABM) + Aire(CDM) = AB × HM + AB × MK
= AB × (HM + MK).
Aire(ABM) + Aire(CDM) = AB × HK = Aire(ABCD).
La somme des aires des deux triangles hachurés est égale
à la moitié de l'aire du parallélogramme.
Celle des deux triangles non hachurés est égale à l'autre
moitié. Le partage est équitable.
6. Théorème du papillon dans un trapèze
Classe de 5e
Dans le cas particulier où AB = DC, cette figure permet également
d'étudier deux triangles de même aire dans un parallélogramme.
ABCD est un trapèze. Les diagonales se coupent en I.
6.a. Les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales.
Théorème du papillon :
si la droite (AB) est parallèle à la droite (DC)
alors Aire(ADI) = Aire(BCI).
Indication : tracer les points H et K projections orthogonales
de I sur (AB) et (CD). (HK) est perpendiculaire à (AB) et à (CD).
Les triangles ABC et ABD ont même aire, égale à la moitié de
la base AB, multipliée par la hauteur de longueur HK.
En enlevant à ces deux triangles la surface du triangle CDI,
on a bien Aire(ADI) = Aire(BCI).
Théorème du papillon et hauteur
Classe de 3e
6.b. Montrer que le rapport 
est égal
au carré du rapport 
(Thalès…).
Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès
dans les triangles ABI et CDI permet d'écrire :
= 
= k.
De même, la propriété de Thalès dans les triangles
rectangles AHI et CKI permet d'écrire :
= = k.
Aire(ABI) = AB × HI et Aire(CDI) = CD × KI d'où :
= × = 
= k2 car = = k.
En classe de seconde, on dira que les triangles ABI et CDI,
ayant leurs trois angles respectivement égaux, sont
semblables avec un coefficient d'agrandissement k.
Cette démonstration montre que le rapport de leurs aires est k2.
Table des matières
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