René Descartes Descartes et les Mathématiques

Parallélogrammes en seconde

Configurations du plan :
parallélogrammes, rectangles, parallélogrammes avec contraintes.

Sommaire

1. Thalès et parallélogramme

2. Projections orthogonales

3. D'un parallélogramme à l'autre

4. Parallélogramme et bissectrice

5. Comparaison d'aires dans un rectangle

6. Parallélogramme avec contraintes
Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites

Propriétés

Voir : parallélogrammes au collège

1. Thalès et parallélogramme

thales et parallelogramme - copyright Patrice Debart 2004

ABCD est un parallélogramme.

M est un point sur la droite (DC) tel que = x .

M’ est le point de la droite (BC) tel que = .

Montrer que les points A, M et M’ sont alignés.

Google préfère la mauvaise copie d'HauEtFort à cette figure originale !

2. Projections orthogonales des sommets
sur les diagonales

parallelogramme - projection des sommets sur les diagonales - copyright Patrice Debart 2004

ABCD est un
parallélogramme.
I, J, K, L sont
les projections
orthogonales des
sommets
sur les diagonales.

Montrer que
IJKL est un
parallélogramme.

3. D'un parallélogramme à l'autre

parallelogramme - intersection des perpendiculaires aux diagonales - copyright Patrice Debart 2004

Les points P, Q, R et S sont les points d'intersection des
droites perpendiculaires aux diagonales issues des sommets.
Montrer que PQRS est un parallélogramme.

Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que PQRS est alors un losange.

Google préfère la mauvaise copie d'HauEtFort à cette image originale !

4. Parallélogramme et bissectrices

parallelogramme et bissectices - copyright Patrice Debart 2004

Résoudre par une méthode géométrique, dans R,
l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0.

AMEC est un parallélogramme. Une droite (d) passant par A
coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B,
et intercepte la droite (ME) en J.

Sachant que AI = 2 et IB =1, calculer la longueur BJ.

Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC
sont semblables et de rapport de similitude .

Donc, BC = AM = CE et B est le milieu de [EC].
Dans le triangle JAM, EB = AM, la droite (BE)
parallèle à (AM) est une droite des milieux :
B est le milieu de [AJ] et E le milieu de [MJ].

On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires.
Si F est le milieu de [MA], (BF), joignant les milieux des côtés
du parallélogramme AMEC, est parallèle à (ME) ;
donc perpendiculaire à (MC).
(MC) diagonale du parallélogramme est une médiane du triangle
MBF, elle est aussi une médiatrice, d'où MBF admettant (MC)
comme axe de symétrie est un triangle isocèle et MB = MF = MA

Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de
diamètre [IJ], ensemble des points M tels que = 2.

Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les
bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB.

Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu
de [IJ]. On a alors les abscisses B(1) et A(4).
Un point M de la droite d'abscisse x est tel que MB = |x - 1| et MA = |x - 4|.

L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble
des points de la droite vérifiant = 2.
C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient
l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0, soit x = 2 ou x = −2.

D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2).

5. Comparaison d'aires dans un rectangle

Comparaison d'aires sans calcul :
L@ feuille à problèmes

aire dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2004

ABCD est un rectangle
de centre O.

Sur [AB] et [CD] placer
deux points M et N,
tels que AM = CN.

Les deux triangles verts
ont la même aire.

L'aire du parallélogramme
rouge est égale à celle
des deux triangles.

Indications pour la solution

C est l'image de A dans la symétrie de centre O. = − :
les points M et N sont symétriques par rapport à O.
Par la symétrie de centre O, la droite (AN) a pour image (CM),
(DM) a pour image (BN). Les points d'intersection I et J sont
donc symétriques par rapport à O et MINJ est un parallélogramme.

Le triangle CBI est symétrique du triangle ADJ : ils ont même aire.

La translation de vecteur transforme M en M’,
J en J’et le triangle ADJ en BCJ’.
Ces deux triangles ont même aire.

Par composition de la symétrie et de la translation, on montre
que BJ’CI est un parallélogramme, d'aire égale à celle des deux triangles.
Par symétries ou translation, les triangles en jaune sont d'aires égales.

Les parallélogrammes NCMA et NCM’B ont
même aire égale NC × CB.
En enlevant les triangles jaunes, on « voit» que
les parallélogrammes MINJ et BJ’CI ont même aire.
L'aire du parallélogramme MINJ est égale à celle
des deux triangles CBJ’ et DBI, donc celles de ADJ et DBI.

6. Parallélogramme avec contraintes

parallelogramme avec contraintes - copyright Patrice Debart 2004

Construire un parallélogramme dont deux
sommets sont situés sur deux droites

On donne deux points A, B distincts et deux
droites (d₁), (d₂) sécantes, et distinctes de (AB).

Existe-t-il un point C sur (d₂) et un point D sur (d₁)
tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ?

Analyse

Placer un point D variable sur (d₁) et tracer le
quatrième point C du parallélogramme ABCD.
Déplacer le point D jusqu'à ce que C soit sur la droite (d₂).

Solution