Descartes et les Mathématiques

Aire du triangle

Des images aux formules :
calcul de l'aire d'un triangle par diverses méthodes de découpage.

Sommaire

1. Aire du triangle

2. Aire du triangle rectangle

3. La propriété du trapèze

4. Aire et médiane

5. La propriété des proportions, théorème du chevron

6. Partage en deux d'un triangle - Olympiades 2004

7. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux

8. Transformer un quadrilatère en triangle - Olympiades 2008

Comment calculer l'aire d un triangle ?

La formule de l'aire d'un triangle est :
Aire d'un triangle = (Base × hauteur) / 2 soit : A = (B × h) / 2.

1. Aire de la surface d'un triangle

Classe de cinquième

1.a. Transformer un triangle en rectangle

Angle en B aigu

Comment calculer l'aire d'un triangle

Doublement de l'aire du triangle

Le rectangle ACED a une aire
double de celle du triangle ABC.

2 Aire(ABC) = Aire(ACED)
      = AC × BH = bh

Tangram d'Abul Wafa

Faire pivoter de deux triangles rectangles
découpés au-dessus de la droite des milieux (A’C’)

Le rectangle ACED a même aire
que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(ACED)
    = IH × AC = hb.

Animation de Christian Mercat
GeoGebraTube : Tangram d'Abul Wafa

Découpe de deux autres triangles
qui pivotent autour des milieux A’ et C’

Le rectangle FGED a même
aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(FGED)
            = FG × DF = bh.

Quadrature du triangle : il est possible de transformer
le triangle en carré avec la quadrature du rectangle.

Calculer l'aire d'un triangle

L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit
d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

Aire(ABC) = base × hauteur.

Comme h = AB sin A = c sin A, on a aussi

Aire(ABC) =  bc sin A.

Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie
dans l'article : relations métriques du triangle.

1.b. Transformer un triangle avec un angle obtus

On procède par différence :
Aire(ABC)
        = Aire(HBC) - Aire(HAB)

On retrouve la même formule :

Aire(ABC)
= BH × HC - B × HA 
  = BH × AC = hb.

Doublement de l'aire du triangle

Le rectangle HCEB a une aire
double de celle du triangle HBC.
Le rectangle HADB a une aire
double de celle du triangle HAB.

On procède par différence :
Aire(ACED)
            = Aire(HCEB) - Aire(HADB).

Le rectangle ACED a une
aire double de celle
du triangle ABC.

1.c. Transformer un triangle en parallélogramme

« Aire du triangle, moitié
du parallélogramme ! »

Doublement de l'aire
du triangle

Le parallélogramme ACDB
a une aire double de
celle du triangle ABC.

Le parallélogramme a pour base b
et pour hauteur h.

2 Aire(ABC) = Aire(ACDB)  = AC × BH = bh

Faire pivoter, autour de A’, le triangle découpé
au-dessus de la droite des milieux (A’C’)

Le parallélogramme ACDC
a même aire que celle du
triangle ABC.

Le parallélogramme a pour
base b et pour hauteur h.

Aire(ABC) = Aire(ACDC’)
    = h × AC = hb

Faire pivoter, autour de A’, le triangle A’B’C

Le parallélogramme AB’DB a même
aire que celle du triangle ABC.

Le parallélogramme a pour
base b et pour hauteur h.

Aire(ABC) = Aire(AB’DB)
        = AB’ × BH = bh

2. Aire du triangle rectangle

Pour calculer l'aire d'un triangle rectangle,
on peut utiliser la formule de l'aire d'un rectangle :

produit des petits côtés, puis diviser le résultat par 2.

Doublement de
l'aire du triangle

Le rectangle ACBD
a une aire double
de celle du triangle
rectangle ACB.

2 Aire(ACB) = Aire(ACBD)
 = CB × CA = ab.

Faire pivoter, autour de O, milieu de [AB], le triangle
découpé à droite de la droite des milieux (OB’)

Le rectangle CBDB’ a même
aire que celle du triangle ABC.

Aire(ABC) = Aire(CBDB’)
             = CB × CB’= ab

Faire pivoter, autour de O, le triangle découpé
au-dessus de la droite des milieux (OA’)

Le rectangle CA’DA a même
aire que celle du triangle ABC.

Aire(ABC) = Aire(CA’DA)
    = CA’× CA = ab

L'aire du triangle ABC, rectangle en C, se calcule de deux façons,
avec la formule base × hauteur et on a :
    – le calcul de l'aire du triangle rectangle avec l'hypoténuse
                et de la hauteur
        Aire(ABC) = AB × CH = ch,
    – ou le calcul de l'aire du triangle rectangle avec les côtés de l'angle
            droit (cathètes) ; CA comme base, CB comme hauteur
        Aire(ABC) = CA × CB = ba.

D'où CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle,
le produit des cathètes est égal au produit de
l'hypoténuse et de la hauteur issue du sommet de l'angle droit.

Voir : relations métriques dans le triangle rectangle au lycée

Figures clés

Le recours à des figures-clés repose sur la reconnaissance
d'un modèle déjà rencontré.
Cela suppose donc l'existence d'une base de référence constituée
de configurations et de théorèmes associés. C'est le cas de la
plupart des théorèmes mis en place au collège (propriétés
caractéristiques des quadrilatères, propriétés des angles
obtenus en coupant deux parallèles par une sécante,
configurations de Thalès, de Pythagore, concours
de droites remarquables dans un triangle…).
Il en est d'autres qui ne sont pas l'objet de compétences décrites dans le
programme, mais qui, dans la mesure où elles reviennent souvent,
finissent par fixer des connaissances à leur propos.
Ainsi, les résultats ci-dessous, relatifs aux aires de triangles peuvent
constituer des figures-références « complémentaires ».

La constitution d'une base de figures-clés rend par ailleurs
incontournable un travail sur les « mots » et ce qu'ils peuvent
évoquer, car, avoir assimilé une propriété,
c'est être capable d'associer une figure-clé et un énoncé.

L'inconvénient majeur réside dans le fait que, si l'élève ne reconnaît
pas la figure-clé (si la mise en évidence de la figure-clé nécessite
par exemple un enrichissement ou un appauvrissement de la figure),
il ne peut poursuivre sa démarche de raisonnement. Il lui faut
donc d'autres possibilités d'analyse pour franchir l'obstacle.

Projet de document d'accompagnement - Juillet 2007

3. La propriété du trapèze

3.a. Calcul de l'aire de deux triangles

Propriété du trapèze : deux triangles de
même aire inscrits dans un trapèze

Deux triangles qui ont une même base et des sommets
sur une parallèle à la base sont d'aires égales.

En effet, les triangles ont même base [AB] et même
hauteur de longueur AH, leurs aires sont égales à

base × hauteur.

3.b. Application : Théorème du papillon dans un trapèze

ABCD est un trapèze tel que (CD)//(AB).
Les diagonales se coupent en I.

Théorème du papillon : les aires des deux
triangles hachurés ADI et BCI sont égales.

Démonstration : aux triangles ABC et ABD
d'aires égales, enlever le triangle ABI.

Dans un cercle : théorème du papillon

3.c. Démonstration par découpage

Transformation du triangle ABC en ABD
par l'intermédiaire d'un parallélogramme

Cas où la parallèle à (BD) passant par C coupe (AB) entre A et B (CD < AB).

Démonstration de la propriété du trapèze

Soit I, J, K et L les milieux des côtés [AC], [BC], [AD] et [AD].

La parallèle à (BD) passant par C coupe [IJ] en M.
Par symétrie de centre I, le triangle ICM est transformé en IAP,
la symétrie de centre J, transforme le triangle JCM en JBL.
APLP est un parallélogramme
(côtés opposés parallèles) de même aire que le triangle ABC.

K est le milieu de [PL], car dans le parallélogramme PL = AB
et KL = AB avec la droite [KL] des milieux du triangle ABD.
Par symétrie de centre K, le triangle KAP est transformé en KDL,
le parallélogramme a même aire que le triangle ABD.

En conclusion, les triangles ABC et ABD ont même aire,
celle du parallélogramme ABLP.

Application :

3.d. Aire d'un triangle dans un pentagone
inscrit dans un rectangle

Les points I, J, I’, J’ sont les milieux des côtés d'un rectangle ABCD.
K est le milieu de [I’J’].

Quelle fraction de l'aire du rectangle représente l'aire du triangle IJK ?

(I’J’) est parallèle à (JI). En déplaçant K en I’
on obtient le triangle IJI’ d'aire égale.

Ce triangle a une aire égale à la moitié du rectangle AII’D.
Soit le quart de l'aire du rectangle ABCD.

Les accrocs de la méthode du trapèze pourraient encore
déplacer le sommet J en A et obtiendraient
le triangle AII’ d'aire du rectangle.

4. Aire et médiane

Classe de 5^e

Une médiane
partage un triangle
en deux triangles
d'aires égales.

Si (AA’) est une
médiane du triangle
ABC, les triangles
ABA’ et ACA’ ont des bases de même longueur
et la même hauteur. Leurs aires sont égales.

Réciproquement : soit A’ un point du côté [BC] ;
(AA’) est une médiane du triangle ABC
si les triangles ABA’ et ACA’ ont même aire.

5. La propriété des proportions

5.a. Les aires de deux triangles contigus, inscrits dans
un même triangle, sont proportionnelles à leurs bases.

Si A’ est un point du côté [BC] d'un triangle ABC,
le rapport des aires des triangles ABA’ et ACA’
est égal au rapport de leurs bases.

Aire du triangle ABA’, inscrit dans le triangle ABC

Le rapport des aires des triangles ABA’ et ABC
est égal au rapport de leurs bases BA’ et BC :

Barycentre : A’ est le barycentre des points
       pondérés (B, A’C) et (C, A’B).
A’ est aussi le barycentre des points pondérés
        (B, Aire(AA’C)) et (C, Aire(AA’B)).

5.b. Aires de triangles inscrits dans le triangle

Triangles inscrits dans ABC, ayant un ou deux côtés communs

En appliquant deux fois la propriété des proportions,
pour le triangle ABA’ inscrit dans ABC,
puis pour AB’A’ inscrit dans ABA’ on trouve :

Le rapport des aires des triangles AB’A’ et ABC est alors :

En appliquant deux fois la propriété des proportions,
par exemple pour le triangle AB’C inscrit dans ABC,
puis pour AB’C’ inscrit dans AB’C on trouve :

Le rapport des aires des triangles AB’C’ et ABC est :

Application :

5.c. triangle inscrit dans un triangle

Les Éléments d'Euclide - Livre IV

Chaque côté d'un triangle DEF est partagé,
par les milieux A, B et C, en segments de longueur égale.

Quelle fraction de l'aire du triangle DEF représente l'aire du triangle ABC ?

Indications

Calculer les aires des trois triangles complémentaires de ABC dans DEF.

Cette figure pour partager un triangle en 4 triangles d'aires égales

Figure interactive dans GeoGebraTube : triangle médian

Page suivante, voir : triangle et cercle inscrits dans un triangle équilatéral

Avec GéoPlan

Triangle dont les côtés sont partagés en 3.

AJ = AC, AK = AB, d'où :

Aire(AJK) = × × Aire(ABC) = Aire(ABC).
Même résultat pour les aires des triangles BIK et CIJ.

Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
Aire(IJK) = Aire(ABC).

Avec GeoGebra : les points sont mieux marqués…

Triangle dont les côtés sont partagés en 4

Aire(AJK) = × × Aire(ABC) = Aire(ABC).

Aire(BIK) = × × Aire(ABC) = Aire(ABC).

Aire(CIJ) = × × Aire(ABC) = Aire(ABC).

Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
Aire(IJK) = Aire(ABC).

Figure interactive dans GeoGebraTube :
  aire du triangle inscrit égale aux 5/16 de l'aire du triangle circonscrit

Généraliser ces exercices à n'importe quels découpages
des côtés du triangle ABC :

Figure interactive dans GeoGebraTube :
   aire du triangle inscrit égale aux 7/16 de l'aire du triangle circonscrit

5.d. Théorème du chevron

Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC et A’
le point d'intersection de (AM) et de (BC),
alors le rapport des aires des triangles ABM et ACM
est égal au rapport .

Ce résultat se démontre par un calcul de proportions
en appliquant deux fois la propriété des proportions !

Il reste valable si M est à l'extérieur du triangle ABC.

Chevron et médiane

Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC,
les triangles ABM et ACM ont même aire si
et seulement si M est sur la médiane issue de A.

5.e. Barycentre

Soit M un point à l'intérieur d'un triangle ABC,
tel que la cévienne (AM) coupe le côté (BC) en A’,
la propriété des proportions permet de vérifier que A’
est le barycentre des points pondérés
(B, Aire(A’AC)) et (C, Aire(A’AB)) ;
A’ est aussi le barycentre des points pondérés
(B, Aire(A’MC)) et (C, Aire(A’MB)).

Par différence : Aire(MAB) = Aire(A’AB) - Aire(A’MB).
Même calcul pour Aire(MAC). On en déduit que :

A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).

Prolongement : M est le barycentre des points pondérés
(A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).

Preuve par associativité : la droite (AM) coupe le côté
(BC) en A’ qui est, selon la propriété précédente,
le barycentre partiel des deux points
(B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)),
en raison de la même propriété, la droite (BM) coupe
le côté (AC) en B’ qui est le barycentre des points
(A, Aire(MBC)) et (C, Aire(MAB)).

M, point d'intersection des droites (AA’) et (BB’),
est bien le barycentre de
(A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).

Ce résultat se généralise au cas où le point M serait à
l'extérieur du triangle ABC, en comptant négativement
les aires entièrement extérieures au triangle ABC.

Application :

5.f. Centre du cercle inscrit comme barycentre

I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.
On note a = BC, b = AC et c = AB.
I est le barycentre des points pondérés (A, a) ; (B, b) et (C, c).

Indications

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC
sont concourantes au point I, centre du cercle inscrit
dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Soit A₁ est la projection orthogonale de I sur (BC),
B₁ sur (AC), C₁ sur (AB).
IA₁, IB₁ et IC₁ sont trois hauteurs des triangles IBC,
IAC et IAB et ont même longueur égale à
r, rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC.

I est le barycentre des points pondérés
(A, Aire(IBC)) ; (B, Aire(IAC)) et (C, Aire(IAB))
d'après la propriété du barycentre de trois points ci-dessus.

Comme : Aire(IBC) = ar, Aire(IAC)) = br et Aire(IAB) = cr,
en divisant les coefficients par r,
on en déduit que I est bien le barycentre des
        points pondérés (A, a) ; (B, b) et (C, c).

Figure interactive dans GeoGebraTube : formule des aires

5.g. Formule des aires

Avec la décomposition ci-dessus du triangle ABC en trois triangles
IAB, IBC, ICA de sommet I et de hauteurs IC₁, IA₁, IB₁
de même longueur r, le rayon du cercle inscrit, l'aire S du
triangle ABC est alors

S = ar + br + cr = (a + b + c) × r = p × r.

Donc S = p r et r = = .

5.h. Les trois médianes sont concourantes

Démonstration du concours des 3 médianes d'un triangle
avec les aires, basée sur la transitivité de l'égalité :

Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.
G est sur [AA’] donc d'après la propriété ci-dessus Aire(ACG) = Aire(ABG) ;
de même, G est sur [BB’], donc Aire(ABG) = Aire(BCG).

On en déduit : Aire(ACG) = Aire(BCG) d'où, d'après la réciproque
de la propriété ci-dessus, G est sur la médiane [CC’] et les
médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.

Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales :
le centre de gravité d'un triangle le partage en trois triangles
de même aire.

Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles
GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que
G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales.

Figure interactive dans GeoGebraTube : médianes d'un triangle

Partager un triangle en triangles d'aires égales

5.i. Chevron et parallélogramme

Si M est un point de diagonale [BD] d'un parallélogramme
ABCD, les triangles ABM et BCM ont même aire.

En effet, M est un point de la médiane (BO) du triangle ABC.

6. Partage en deux d'un triangle

(Olympiades 2004 Classe de quatrième

Soit un triangle ABC et un point P de [AC] tel que PA = 2PC.
Une droite variable pivotant autour du point P,
coupe un des deux autres côtés [AB] ou [BC] en M.

Le segment [MP] partage l'intérieur du triangle ABC en deux parties.
Pour quelle position de M les deux parties ont-elles des aires égales ?

Cas particulier d'un exercice des olympiades de Montpellier en 2004

Déplacer le point M sur les côtés [AB] et [BC].
Ne pas dépasser A ou C.

Soit I le milieu de [AC].
Montrer que la droite, passant par P, qui divise ABC
en deux parties d'aires égales coupe l'un des côtés [AB]
ou [AC] en un point M tel que (MI) est parallèle à (BP).

Solution

Si comme sur la figure ci-dessus le point M est sur le côté [AB] on a :

Aire(APM) = Aire(AIM) + Aire(IPM)
      = Aire(AIM) + Aire
            (IBM) (IPM et IBM ont même aire d'après la propriété du trapèze)
      = Aire(ABI)
      = Aire(ABC)
           (car la médiane [BI] partage ABC en deux triangles d'aires égales).

Exercices : étudier le cas ou l'aire du triangle MPA
est le tiers de l'aire du triangle ABC ; le quart ?

Voir : partage d'un triangle en deux polygones en terminale S.

7. Pliage d'un triangle selon les droites des milieux

Plier un triangle ABC suivant la droite des milieux (B’C’).

Classe de 4^e

Pour cela, ayant découpé le triangle ABC dans une feuille de papier,
rabattre le point A en H, pied de la hauteur issue de A.

Il est possible de trouver la hauteur par pliage en faisant glisser
le point C sur le segment [BC], en superposant les deux bords
et en marquant le pli lorsque celui-ci passe par A.

Rabattre ensuite les points B ou C en H. On obtient un rectangle.

Dans ce rectangle on retrouve la somme des angles
du triangle égale à l'angle plat IHJ, soit 180°.

L'aire du triangle est le double de l'aire de ce rectangle d'où la formule :
 Aire(ABC) = 2 B’C’ × B’I = 2 × BC × AH
      = base × hauteur

Autre calcul de la somme des angles, voir : triangle au collège

8. Transformer un quadrilatère
en un triangle

Calculs d'aires d'un quadrilatère inscrit dans un triangle,
en le transformant en un triangle inscrit de même aire

Olympiades 2008 - Amiens

1) Question préliminaire :
Soit deux triangles MNP et MNP’ tels que (PP’) soit parallèle à (MN)
. Démontrer que ces deux triangles ont la même aire.

2) Chaque côté d'un triangle T est partagé
en 4 segments de longueur égale.

On construit des polygones D₁, D₂, T₃ et T₄
comme indiqué sur la figure. ci-dessous.
Voici quatre « photos » de ce triangle
(en pointillés) et des polygones D₁, D₂, T₃ et T₄.

Polygone D₁

Polygone D₂

Triangle T₃

Polygone T₄

Figure interactive dans GeoGebraTube :
transformer un quadrilatère en triangle

a) Montrer de proche en proche
   que D₁, D₂, T₃ puis T₄ ont des aires égales.
b) En déduire le rapport :

Indications

1) On demande la démonstration de la propriété du trapèze :
le parallélisme de (MN) et (PP’) implique que les
deux triangles MNP et MNP’ ont même base.

Comme ils ont même base, ils ont même aire.

2) L'énoncé imposait une démonstration un peu délicate
basée sur le choix non judicieux de transformer le triangle
MQN en MQC.
Nous ferons la démonstration avec la transformation du triangle
MQN en MQB.
Par la propriété du trapèze, ces deux triangles ont même aire.
Le polygone D₁ a même aire que le triangle S₂.

Au niveau de la classe de première, la démonstration est alors terminée.
En effet, d'après la propriété des proportions on a : 

Au collège, en s'inspirant de l'énoncé on terminera par la
transformation du triangle BLQ en BLP. Par la propriété
du trapèze ces deux triangles ont même aire et comme
(LP) est parallèle à (AB) on a :

Les triangles BLP et BQL ont même aire que D₁ et on a :

Version simplifiée

transformation directe du quadrilatère D₁ en un premier
triangle S₂, puis conclusion avec un deuxième triangle S₃.

Quadrilatère D₁

Par la propriété du trapèze dans MQNB,
les triangles MQN et MQB ont même aire.
En ajoutant l'aire du triangle MLQ,
le quadrilatère MNQL et le triangle NBQ ont même aire.

Figure interactive dans GeoGebraTube :
 transformer un quadrilatère en triangle (
version avec un seul quadrilatère)

Triangle S₂

Par la propriété du trapèze dans BPQL,
les triangles LBQ et LBP ont même aire.

Triangle S₃

Le triangle LBP est homothétique du triangle ABC dans le rapport 3/4.
L'aire du quadrilatère est égale aux (3/4)² = 9/16 de l'aire du triangle ABC.

8.2. Quadrilatère du géoplan 5 × 5

En CM2 et au début du collège il est possible de
réaliser cet exercice avec un triangle T isocèle
rectangle dans un géoplan 5 × 5.

Les figures peuvent alors être facilement réalisées
avec des élastiques autour des clous du géoplan.

Quadrilatère G₁:

Aire(G₁) = Aire(LMQ) + Aire(MNQ)
  = × 3  × 2 + × 3 × 1 = 4,5.

Triangle G₂

Aire(G₂) = BL × QM = × 3 × 3 = 4,5.

Triangle G₃

Aire(G₃) = BL × BP = × 3 × 3 = 4,5.

Figure interactive dans GeoGebraTube :
   transformer un quadrilatère en triangle dans le géoplan

Les calculs d'aire peuvent se faire avec les carrés
unitaires et les demi-carrés :
Aire(T) = 8 ;

Aire(ALQ) = × 1 × 3 = 1,5 ;
Aire(BNM) = ;
Aire(NCQ) = × 3 × 1 = 1,5 ;
d'où Aire(G₁)
= Aire(ABC) – { Aire(ALQ) + Aire(BNM) + Aire(NCQ)}
    = 8 – {1,5 + 0,5 + 1,5 } = 4,5
et on a bien  Aire(G₁) = Aire(T) × .

Cocher la case Géoplan 5 × 5 dans la figure
GeoGebraTube référencée ci-dessus.

Voir : la planche à clous comme géoplan

8.3. Théorème de Pick

On peut aussi calculer l'aire du quadrilatère MNQL avec la formule
Aire(G₁) = i + b – 1,
où i = 3 est le nombre de points de la grille à l'intérieur
du quadrilatère et b = 5 le nombre de points sur le bord du quadrilatère,
soit Aire(G₁) = 3 + × 5 – 1 = 4,5.

Table des matières

Dans d'autres pages du site

Index aires

Collège : Calcul d'aires

Aires du parallélogramme et du trapèze

Loi des sinus

Formule de Héron d'Alexandrie

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