Descartes et les Mathématiques
Aire du triangle
Des images aux formules : calcul de l'aire d'un triangle par diverses méthodes de découpage.
Sommaire
3. La propriété du trapèze
5. La propriété des proportions, théorème du chevron
6. Partage en deux d'un triangle - Olympiades 2004
7. Pliage d'un triangle selon une droite des milieux
8. Transformer un quadrilatère en triangle - Olympiades 2008
Dans d'autres pages du site
Aire d'un triangle inscrit dans un carré
La planche à clous comme géoplan
Démonstrations avec la méthode des aires :
théorème de Thalès
théorème de Pythagore
Triangles en seconde :
Multiplication de l'aire d'un triangle,
Partage d'un triangle en quatre
Classe de première :
Calcul d'aire minimum : minimum-maximum
Analyse en option 1ère L - TL
Mobile friendly : sur tablette ou smartphone,
bascule automatique vers la version mobile
Comment calculer l'aire d un triangle ?
La formule de l'aire d'un triangle est : Aire d'un triangle = (Base × hauteur) / 2 soit : A = (B × h) / 2.
1. Aire de la surface d'un triangle
Classe de cinquième
1.a. Transformer un triangle en rectangle
Angle en B aigu
Comment calculer l'aire d'un triangle
Doublement de l'aire du triangle
Le rectangle ACED a une aire double de celle du triangle ABC.
2 Aire(ABC) = Aire(ACED) = AC × BH = bh.
L'aire du triangle ABC, de base b et de hauteur h est Aire(ABC) = 
bh.
Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle1.g2w
Tangram d'Abul Wafa
Faire pivoter de deux triangles rectangles découpés au-dessus de la droite des milieux (A’C’)
Le rectangle ACED a même aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(ACED) = IH × AC = hb
Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle3.g2w
Animation de Christian Mercat dans GeoGebraTube :
Tangram d'Abul Wafa
Découpe de deux autres triangles qui pivotent autour des milieux A’ et C’
Le rectangle FGED a même aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(FGED) = FG × DF = bh.
Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle2.g2w
Quadrature du triangle : il est possible de transformer le triangle en carré avec la quadrature du rectangle.
Calculer l'aire d'un triangle
L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.
Aire(ABC) = base × hauteur.
Comme h = AB sin A = c sin A, on a aussi
Aire(ABC) = bc sin A.
Au lycée, voir la formule de Héron d'Alexandrie dans l'article : relations métriques du triangle.
Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle.g2w
Technique GéoPlan
Il est possible de nommer la base b et h la hauteur avec le menu :
« Créer>Numérique>Calcul géométrique>Longueur d'un segment »
b = AC (unité de longueur Uoxy) h = BH (unité de longueur Uoxy)
Puis faire le calcul avec l'option « Créer>Numérique>Calcul algébrique » avec l'expression du calcul : bh/2 ; ayant pour nom du calcul : s
s = bh/2
Les experts pourront taper rapidement dans le texte de la figure :
b = AC h = BH s = bh/2
L'aire s peut alors être utilisée dans les calculs suivants ou affichée par l'option « Créer>Affichage>Variable numérique déjà définie »
Af0 affichage du scalaire s (2 décimales)
GéoPlan permet de s'affranchir de ces calculs et de trouver directement l'aire avec le menu :
« Créer>Numérique>Calcul géométrique>Aire d'un triangle »
s aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy)
On peut se contenter d'un simple affichage : « Créer>Affichage>Aire d'un triangle »
Af1 affichage de l'aire du triangle ABC (unité de longueur Uoxy)
1.b. Transformer un triangle avec un angle obtus
On procède par différence : Aire(ABC) = Aire(HBC) - Aire(HAB)
On retrouve la même formule :
Aire(ABC) = BH × HC - BH × HA = BH × AC = hb.
Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle_obtu.g2w
Doublement de l'aire du triangle
Le rectangle HCEB a une aire double de celle du triangle HBC.
Le rectangle HADB a une aire double de celle du triangle HAB.
On procède par différence :
Aire(ACED) = Aire(HCEB) - Aire(HADB).
Le rectangle ACED a une aire double de celle du triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan aire_triangle_obtu2.g2w
1.c. Transformer un triangle en parallélogramme
« Aire du triangle, moitié du parallélogramme ! »
Doublement de l'aire du triangle
Le parallélogramme ACDB a une aire double de celle du triangle ABC.
Le parallélogramme a pour base b et pour hauteur h.
2 Aire(ABC) = Aire(ACDB) = AC × BH = bh
Télécharger la figure GéoPlan tr_ds_para.g2w
Faire pivoter, autour de A’, le triangle découpé au-dessus de la droite des milieux (A’C’)
Le parallélogramme ACDC’ a même aire que celle du triangle ABC.
Le parallélogramme a pour base b et pour hauteur h.
Aire(ABC) = Aire(ACDC’) = h × AC = hb
Télécharger la figure GéoPlan tr_ds_para3.g2w
Faire pivoter, autour de A’, le triangle A’B’C
Le parallélogramme AB’DB a même aire que celle du triangle ABC.
Le parallélogramme a pour base b et pour hauteur h.
Aire(ABC) = Aire(AB’DB) = AB’ × BH = bh
Télécharger la figure GéoPlan tr_ds_para2.g2w
2. Aire du triangle rectangle
Pour calculer l'aire d'un triangle rectangle, on peut utiliser la formule de l'aire d'un rectangle : produit des petits côtés, puis diviser le résultat par 2.
Doublement de l'aire du triangle
Le rectangle ACBD a une aire double de celle du triangle rectangle ACB.
2 Aire(ACB) = Aire(ACBD)
= CB × CA = ab.
Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect.g2w
Faire pivoter, autour de O, milieu de [AB], le triangle découpé à droite de la droite des milieux (OB’)
Le rectangle CBDB’ a même aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(CBDB’) = CB × CB’= ab
Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect2.g2w
Faire pivoter, autour de O, le triangle découpé au-dessus de la droite des milieux (OA’)
Le rectangle CA’DA a même aire que celle du triangle ABC.
Aire(ABC) = Aire(CA’DA)
= CA’× CA = ab
Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect3.g2w
L'aire du triangle ABC, rectangle en C, se calcule de deux façons,
avec la formule base × hauteur et on a :
– le calcul de l'aire du triangle rectangle avec l'hypoténuse et de la hauteur
Aire(ABC) = AB × CH = ch,
– ou le calcul de l'aire du triangle rectangle avec les côtés de l'angle droit (cathètes) ; CA comme base, CB comme hauteur
Aire(ABC) = CA × CB = ba.
D'où CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse et de la hauteur issue du sommet de l'angle droit.
Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect4.g2w
Voir : relations métriques dans le triangle rectangle au lycée
Figures clés
Le recours à des figures-clés repose sur la reconnaissance d'un modèle déjà rencontré. Cela suppose donc l'existence d'une base de référence constituée de configurations et de théorèmes
associés. C'est le cas de la plupart des théorèmes mis en place au collège (propriétés caractéristiques des quadrilatères, propriétés des angles obtenus en coupant deux parallèles par une sécante, configurations de Thalès, de Pythagore, concours de droites remarquables dans un triangle…). Il en est d'autres qui ne sont pas l'objet de compétences décrites dans le
programme, mais qui, dans la mesure où elles reviennent souvent, finissent par fixer des connaissances à leur propos. Ainsi, les résultats ci-dessous, relatifs aux aires de triangles peuvent constituer des figures-références « complémentaires ».
La constitution d'une base de figures-clés rend par ailleurs incontournable un travail sur les « mots » et ce qu'ils peuvent évoquer, car, avoir assimilé une propriété, c'est être capable d'associer une figure-clé et un énoncé.
L'inconvénient majeur réside dans le fait que, si l'élève ne reconnaît pas la figure-clé (si la mise en évidence de la figure-clé nécessite par exemple un enrichissement ou un appauvrissement de la figure), il ne peut poursuivre sa démarche de raisonnement. Il lui faut
donc d'autres possibilités d'analyse pour franchir l'obstacle.
Géométrie au collège - Projet de document d'accompagnement - Juillet 2007
3. La propriété du trapèze
3.a. Calcul de l'aire de deux triangles
Propriété du trapèze :
deux triangles de même aire inscrits dans un trapèze
Deux triangles qui ont une même base et des sommets sur une parallèle à la base sont d'aires égales.
En effet, les triangles ont même base [AB] et même hauteur de longueur AH, leurs aires sont égales à
base × hauteur.
Télécharger la figure GéoPlan prop_trapeze.g2w
3.b. Application : Théorème du papillon dans un trapèze
ABCD est un trapèze tel que (CD)//(AB). Les diagonales se coupent en I.
Théorème du papillon : les aires des deux triangles hachurés ADI et BCI sont égales.
Démonstration : aux triangles ABC et ABD d'aires égales, enlever le triangle ABI.
Télécharger la figure GéoPlan thm_papillon.g2w
Dans un cercle : théorème du papillon
3.c. Démonstration par découpage
Transformation du triangle ABC en ABD par l'intermédiaire d'un parallélogramme
Cas où la parallèle à (BD) passant par C coupe (AB) entre A et B (CD < AB).
Démonstration de la propriété du trapèze
Soit I, J, K et L les milieux des côtés [AC], [BC], [AD] et [AD].
La parallèle à (BD) passant par C coupe [IJ] en M.
Par symétrie de centre I, le triangle ICM est transformé en IAP,
la symétrie de centre J, transforme le triangle JCM en JBL.
APLP est un parallélogramme (côtés opposés parallèles) de même aire que le triangle ABC.
K est le milieu de [PL], car dans le parallélogramme PL = AB
et KL = AB avec la droite [KL] des milieux du triangle ABD.
Par symétrie de centre K, le triangle KAP est transformé en KDL, le parallélogramme a même aire que le triangle ABD.
En conclusion, les triangles ABC et ABD ont même aire, celle du parallélogramme ABLP.
Télécharger la figure GéoPlan prop_trapeze2.g2w
Application :
3.d. Aire d'un triangle dans un pentagone inscrit dans un rectangle
Les points I, J, I’, J’ sont les milieux des côtés d'un rectangle ABCD.
K est le milieu de [I’J’].
Quelle fraction de l'aire du rectangle représente l'aire du triangle IJK ?
Télécharger la figure GéoPlan triangle_ds_rectangle2.g2w
(I’J’) est parallèle à (JI). En déplaçant K en I’ on obtient le triangle IJI’ d'aire égale.
Ce triangle a une aire égale à la moitié du rectangle AII’D. Soit le quart de l'aire du rectangle ABCD.
Les accrocs de la méthode du trapèze pourraient encore déplacer le sommet J en A et obtiendraient le triangle AII’ d'aire 
du rectangle.
Télécharger la figure GéoPlan triangle_ds_rectangle3.g2w
4. Aire et médiane
Classe de 5e
Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.
Si (AA’) est une médiane du triangle ABC, les triangles ABA’ et ACA’ ont des bases de même longueur et la même hauteur. Leurs aires sont égales.
Réciproquement : soit A’ un point du côté [BC] ; (AA’) est médiane du triangle ABC si les triangles ABA’ et ACA’ ont même aire.
Télécharger la figure GéoPlan prop_medianes.g2w
5. La propriété des proportions
5.a. Les aires de deux triangles contigus, inscrits dans un même triangle, sont proportionnelles à leurs bases.
Si A’ est un point du côté [BC] d'un triangle ABC, le rapport des aires des triangles ABA’ et ACA’ est égal au rapport de 
leurs bases.
Aire du triangle ABA’, inscrit dans le triangle ABC
Le rapport des aires des triangles ABA’ et ABC est égal au rapport de leurs bases BA’ et BC :
| Aire(ABA’) | BA’ | |
| = | ||
| Aire(ABC) | BC |
Barycentre : A’ est le barycentre des points pondérés (B, A’C) et (C, A’B).
A’ est aussi le barycentre des points pondérés (B, Aire(AA’C)) et (C, Aire(AA’B)).
Télécharger la figure GéoPlan prop_proportion.g2w
5.b. Aires de triangles inscrits dans le triangle
Triangles inscrits dans ABC, ayant un ou deux côtés communs
Télécharger la figure GéoPlan prop_proportion_2.g2w
| Aire(AB’A’) | BA’ | AB’ | ||
| = | × | |||
| Aire(ABC) | BC | AB |
En appliquant deux fois la propriété des proportions, pour le triangle ABA’ inscrit dans ABC, puis pour AB’A’ inscrit dans ABA’ on trouve le rapport des aires des triangles AB’A’ et ABC est alors :
En appliquant deux fois la propriété des proportions, par exemple pour le triangle AB’C inscrit dans ABC, puis pour AB’C’ inscrit dans AB’C on trouve :
Le rapport des aires des triangles AB’C’ et ABC est :
| Aire(AB’C’) | AB’ | AC’ | ||
| = | × | |||
| Aire(ABC) | AB | AC |
Application :
5.c. triangle inscrit dans un triangle
Les Éléments d'Euclide - Livre IV
Chaque côté d'un triangle DEF est partagé, par les milieux A, B et C, en segments de longueur égale.
Quelle fraction de l'aire du triangle DEF représente l'aire du triangle ABC ?
Indications
Calculer les aires des trois triangles complémentaires de ABC dans DEF.
Cette figure pour partager un triangle en 4 triangles d'aires égales
Figure interactive dans GeoGebraTube : triangle médian
Page suivante, voir : triangle et cercle inscrits dans un triangle équilatéral
Avec GéoPlan
Triangle dont les côtés sont partagés en 3.
AJ = 
AC, AK = 
AB, d'où :
Aire(AJK) = × × Aire(ABC) = 
Aire(ABC).
Même résultat pour les aires des triangles BIK et CIJ.
Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
Aire(IJK) = Aire(ABC).
Télécharger la figure GéoPlan triangle_ds_triangle.g2w
Avec GeoGebra : les points sont mieux marqués…
Triangle dont les côtés sont partagés en 4
Aire(AJK) = × × Aire(ABC) = 
Aire(ABC).
Aire(BIK) = × 
× Aire(ABC) = 
Aire(ABC).
Aire(CIJ) = × × Aire(ABC) = 
Aire(ABC).
Par soustraction de ces trois aires de l'aire du triangle ABC on en déduit que :
Aire(IJK) = 
Aire(ABC).
Figure interactive dans GeoGebraTube : aire du triangle inscrit égale aux 5/16 de l'aire du triangle circonscrit
Généraliser ces exercices à n'importe quels découpages des côtés du triangle ABC :
Figure interactive dans GeoGebraTube : aire du triangle inscrit égale aux 7/16 de l'aire du triangle circonscrit
5.d. Théorème du chevron
Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC et A’ le point d'intersection de (AM) et de (BC),
alors le rapport des aires des triangles ABM et ACM est égal au rapport .
Ce résultat se démontre par un calcul de proportions en appliquant deux fois la propriété des proportions !
Il reste valable si M est à l'extérieur du triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan chevron.g2w
Chevron et médiane
Si M est un point à l'intérieur d'un triangle ABC, les triangles ABM et ACM ont même aire si et seulement si M est sur la médiane issue de A.
Télécharger la figure GéoPlan chevron_mediane.g2w
5.e. Barycentre
Soit M un point à l'intérieur d'un triangle ABC, tel que la cévienne (AM) coupe le côté (BC) en A’, la propriété des proportions permet de vérifier que A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(A’AC)) et (C, Aire(A’AB)) ;
A’ est aussi le barycentre des points pondérés (B, Aire(A’MC)) et (C, Aire(A’MB)).
Par différence : Aire(MAB) = Aire(A’AB) - Aire(A’MB). Même calcul pour Aire(MAC). On en déduit que :
A’ est le barycentre des points pondérés (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).
Prolongement : M est le barycentre des points pondérés (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).
Preuve par associativité : la droite (AM) coupe le côté (BC) en A’ qui est, selon la propriété précédente, le barycentre partiel des deux points (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)),
en raison de la même propriété, la droite (BM) coupe le côté (AC) en B’ qui est le barycentre des points (A, Aire(MBC)) et (C, Aire(MAB)).
M, point d'intersection des droites (AA’) et (BB’), est bien le barycentre de (A, Aire(MBC)) ; (B, Aire(MAC)) et (C, Aire(MAB)).
Ce résultat se généralise au cas où le point M serait à l'extérieur du triangle ABC, en comptant négativement les aires entièrement extérieures au triangle ABC.
Application :
5.f. Centre du cercle inscrit comme barycentre
I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC.
On note a = BC, b = AC et c = AB.
I est le barycentre des points pondérés (A, a) ; (B, b) et (C, c).
Indications
Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes au point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).
Soit A1 est la projection orthogonale de I sur (BC), B1 sur (AC), C1 sur (AB).
IA1, IB1 et IC1 sont trois hauteurs des triangles IBC, IAC et IAB et ont même longueur égale à r, rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC.
I est le barycentre des points pondérés (A, Aire(IBC)) ; (B, Aire(IAC)) et (C, Aire(IAB)) d'après la propriété du barycentre de trois points ci-dessus.
Comme : Aire(IBC) = ar, Aire(IAC)) = br et Aire(IAB) = cr,
en divisant les coefficients par r,
on en déduit que I est bien le barycentre des points pondérés (A, a) ; (B, b) et (C, c).
Figure interactive dans GeoGebraTube : formule des aires
5.g. Formule des aires
Avec la décomposition ci-dessus du triangle ABC en trois triangles IAB, IBC, ICA de sommet I et de hauteurs IC1, IA1, IB1 de même longueur r, le rayon du cercle inscrit, l'aire S du triangle ABC est alors
S = ar + br + cr = (a + b + c) × r = p × r.
Donc S = p r et r = 
= 
.
5.h. Les trois médianes sont concourantes
Démonstration du concours des 3 médianes d'un triangle avec les aires, basée sur la transitivité de l'égalité :
Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.
G est sur [AA’] donc d'après la propriété ci-dessus Aire(ACG) = Aire(ABG) ;
de même, G est sur [BB’], donc Aire(ABG) = Aire(BCG).
On en déduit : Aire(ACG) = Aire(BCG) d'où, d'après la réciproque de la propriété ci-dessus, G est sur la médiane [CC’] et les médianes sont concourantes en G centre de gravité du triangle.
Les trois triangles ABG, BCG et ACG sont d'aires égales : le centre de gravité d'un triangle le partage en trois triangles de même aire.
Corollaire : [GA’] est la médiane de GBC, les triangles GA’B et GA’C ont même aire. On en déduit que G permet le partage du triangle ABC en six triangles d'aires égales.
Figure interactive dans GeoGebraTube : médianes d'un triangle
5.i. Chevron et parallélogramme
Si M est un point de diagonale [BD] d'un parallélogramme
ABCD, les triangles ABM et BCM ont même aire.
En effet, M est un point de la médiane (BO) du triangle ABC.
Télécharger la figure GéoPlan chevron_parallelogramme.g2w
6. Partage en deux d'un triangle
Cas particulier d'un des exercices des olympiades de Montpellier en 2004 (classe de quatrième)
Partage à partir d'un point M situé sur le côté [BC]
Soit un triangle ABC et un point M de [BC] tel que MB = 2MC.
Une droite variable pivotant autour du point M, coupe un des deux autres côtés [AB] ou [BC] en P.
Le segment [MP] partage l'intérieur du triangle ABC en deux parties.
Pour quelle position de M les deux parties ont-elles des aires égales ?
Déplacer le point P sur le côté [AB].
Figure interactive dans GeoGebraTube : partage en deux d'un triangle - recherche
Deux polygones d'aires égales
Partage d'un triangle ABC par une droite passant par un point M situé sur le côté [BC].
Soit A' le milieu et M un autre point de [BC].
Solution
La droite, passant par M, qui divise ABC en deux parties d'aires égales coupe l'un des côtés [AB] ou [AC] en un point P tel que (PA') soit parallèle à (AM).
Démonstration
Dans cette figure le point M est sur [A'C] et P sur le côté [AB].
On a : Aire(BPM) = Aire(BPA') + Aire(A'PM)
= Aire(BPA') + Aire(AA'P) (A'PM et AA'P ont même aire d'après la propriété du trapèze A'MAP)
= Aire(ABA') = Aire(ABC) (car la médiane [AA'] partage ABC en deux triangles d'aires égales).
Figure interactive dans GeoGebraTube : partage en deux d'un triangle
Exercices : étudier le cas ou l'aire du triangle MPA est le tiers de l'aire du triangle ABC ; le quart ?
Voir : partage d'un triangle en deux polygones en terminale S.
7. Pliage d'un triangle selon les droites des milieux
Plier un triangle ABC suivant la droite des milieux (B’C’).
Classe de 4e
Pour cela, ayant découpé le triangle ABC dans une feuille de papier, rabattre le point A en H, pied de la hauteur issue de A.
Il est possible de trouver la hauteur par pliage en faisant glisser le point C sur le segment [BC], en superposant les deux bords et en marquant le pli lorsque celui-ci passe par A.
Rabattre ensuite les points B ou C en H. On obtient un rectangle.
Dans ce rectangle on retrouve la somme des angles du triangle égale à l'angle plat IHJ, soit 180°.
L'aire du triangle est le double de l'aire de ce rectangle d'où la formule :
Aire(ABC) = 2 B’C’ × B’I = 2 × BC × AH
= base × hauteur
Télécharger la figure GéoPlan pliage_triangle.g2w
Autre calcul de la somme des angles, voir : triangle au collège
8. Transformer un quadrilatère en un triangle
Calculs d'aires d'un quadrilatère inscrit dans un triangle, en le transformant en un triangle inscrit de même aire
Olympiades 2008 - Amiens
1) Question préliminaire :
Soit deux triangles MNP et MNP’ tels que (PP’) soit parallèle à (MN). Démontrer que ces deux triangles ont la même aire.
2) Chaque côté d'un triangle T est partagé en 4 segments de longueur égale. On construit des polygones D1, D2, T3 et T4 comme indiqué sur la figure.
Voici quatre « photos » de ce triangle (en pointillés) et des polygones D1, D2, T3 et T4.
Polygone D1
Polygone D2
Triangle T3
Polygone T4
Figure interactive dans GeoGebraTube : transformer un quadrilatère en triangle
a) Montrer de proche en proche que D1, D2, T3 puis T4 ont des aires égales.
b) En déduire le rapport :
| Aire(D1) |
| Aire(T) |
Indications
1) On demande la démonstration de la propriété du trapèze : le parallélisme de (MN) et (PP’) implique que les deux triangles MNP et MNP’ ont même base. Comme ils ont même base, ils ont même aire.
2) L'énoncé imposait une démonstration un peu délicate basée sur le choix non judicieux de transformer le triangle MQN en MQC.
Nous ferons la démonstration avec la transformation du triangle MQN en MQB.
Par la propriété du trapèze, ces deux triangles ont même aire.
Le polygone D1 a même aire que le triangle S2.
Au niveau de la classe de première, la démonstration est alors terminée.
En effet, d'après la propriété des proportions on a :
| Aire(BQL) | BL | AQ | 3 | 3 | 9 | |||||
| = | × | = | × | = | ||||||
| Aire(T) | BA | AC | 4 | 4 | 16 |
Au collège, en s'inspirant de l'énoncé on terminera par la transformation du triangle BLQ en BLP. Par la propriété du trapèze ces deux triangles ont même aire et comme (LP) est parallèle à (AB) on a :
| Aire(BLP) | BL | BP | 3 | 3 | 9 | |||||
| = | × | = | × | = | ||||||
| Aire(BAC) | BA | BC | 4 | 4 | 16 |
Les triangles BLP et BQL ont même aire que D1 et on a :
| Aire(D1) | 9 | |
| = | ||
| Aire(T) | 16 |
Version simplifiée
transformation directe du quadrilatère D1 en un premier triangle S2, puis conclusion avec un deuxième triangle S3.
Quadrilatère D1
Par la propriété du trapèze dans MQNB, les triangles MQN et MQB ont même aire.
En ajoutant l'aire du triangle MLQ, le quadrilatère MNQL et le triangle NBQ ont même aire.
Figure interactive dans GeoGebraTube : transformer un quadrilatère en triangle (version avec un seul quadrilatère)
Triangle S2
Par la propriété du trapèze dans BPQL, les triangles LBQ et LBP ont même aire.
Triangle S3
Le triangle LBP est homothétique du triangle ABC dans le rapport 3/4.
L'aire du quadrilatère est égale aux (3/4)² = 9/16 de l'aire du triangle ABC.
8.2. Quadrilatère du géoplan 5 × 5
En CM2 et au début du collège il est possible de réaliser cet exercice avec un triangle T isocèle rectangle dans un géoplan 5 × 5.
Les figures peuvent alors être facilement réalisées avec des élastiques autour des clous du géoplan.
Quadrilatère G1: Aire(G1) = Aire(LMQ) + Aire(MNQ)
= × 3 × 2 + × 3 × 1 = 4,5.
Triangle G2
Aire(G2) = BL × QM = × 3 × 3 = 4,5.
Triangle G3
Aire(G3) = BL × BP = × 3 × 3 = 4,5.
Figure interactive dans GeoGebraTube : transformer un quadrilatère en triangle dans le géoplan
Les calculs d'aire peuvent se faire avec les carrés unitaires et les demi-carrés :
Aire(T) = 8 ;
Aire(ALQ) = × 1 × 3 = 1,5 ; Aire(BNM) = ; Aire(NCQ) = × 3 × 1 = 1,5 ;
d'où Aire(G1) = Aire(ABC) – { Aire(ALQ) + Aire(BNM) + Aire(NCQ)}
= 8 – {1,5 + 0,5 + 1,5 } = 4,5
et on a bien Aire(G1) = Aire(T) × 
.
Cocher la case Géoplan 5 × 5 dans la figure GeoGebraTube référencée ci-dessus.
8.3. Théorème de Pick
On peut aussi calculer l'aire du quadrilatère MNQL avec la formule Aire(G1) = i + b – 1,
où i = 3 est le nombre de points de la grille à l'intérieur du quadrilatère et b = 5 le nombre de points sur le bord du quadrilatère,
soit Aire(G1) = 3 + × 5 – 1 = 4,5.
Table des matières
Dans d'autres pages du site
Collège : Calcul d'aires
Page no 130, réalisée le 6/12/2008
modifiée le 12/2/2011