René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Pentagone régulier avec GeoGebra

Trois constructions exactes du pentagone à la « règle et au compas ». Feuille de travail dynamique avec GeoGebra.

Sommaire

Constructions à partir d'un sommet
1. Constructions de Ptolémée

2. Découpage des pentagones en triangles d'or et d'argent

Constructions à partir d'un côté

3. Construction d'architecte

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Pentagone

g2w Constructions approchées
du pentagone

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GeoGebra La géométrie
avec GeoGebra

Angles et côtés

Angles du pentagone
L'angle au centre du pentagone régulier est de 2 pi/5 et l'angle intérieur de 3pi/10.

Longueur du côté et de la diagonale du pentagone régulier

Si a est la longueur du côté, d la longueur d'une diagonale et r le rayon du cercle circonscrit, on a montré dans la page polygones réguliers que :
a = 2 r sin pi/5 = r/2 rac(10 - 2 rac(5)) = r rac(3-phi) ≈ 1,176 r ;

Le rapport diagonale/côté est égal au nombre d'or
φ = nombre d'or : d = a φ.

d = r/2 rac(10 + 2 rac(5)) = r rac(2+phi) ≈ 1,902 r.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : pentagone régulier

Voir : aire d'un pentagone

Méthodes de construction du pentagone

Pour tracer un pentagone régulier convexe, à la « règle et au compas », on peut se donner :

  • Le centre O du cercle circonscrit et un sommet A (cinq premières constructions).

  • Une diagonale (côté du pentagone croisé) en choisissant deux sommets non consécutifs.

  • Un côté en choisissant deux sommets consécutifs A et B.

Constructions à partir d'un sommet

Constructions à partir du centre O du cercle circonscrit et d'un sommet A.

Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre de 2 pi/5 dont le cosinus est égal à (rac(5)-1)/4.

Le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1, 1/2 et rac(5)/2 est utilisé depuis l'antiquité pour le tracé de sections dorées.
Le cercle de « Ptolémée » permet alors le report d'un sommet en un point U qui partage le rayon en « moyenne raison ».

1. Constructions de Ptolémée

Ptolémée ; Alexandrie 85-165 après J.-C.

Construction à partir d'un sommet A sur un diamètre

Tracer un cercle (c1) de centre O, passant par A. On choisira comme unité le rayon du cercle. Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].

K est le milieu de [OA’], le cercle de « Ptolémée » (c2) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U.

La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B, passant par A, recoupe c1 en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone.

La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE. [EB] est un côté du pentagone étoilé EBDAC inscrit dans le même cercle.

Preuve

En effet avec OA = 1, le rayon du cercle de « Ptolémée » (c2) est :
KB’ = KU = rac(5)/2 d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O,
donc OU = rac(5)/21/2 = 1/φ et OI = (rac(5)-1)/4.
L'angle (vect(OA), vect(OB)) a un cosinus égal à (rac(5)-1)/4, c'est bien un angle de 2 pi/5.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : construction de Ptolémée du pentagone(Sommet A à droite)

Sommet A situé sur un rayon perpendiculaire au diamètre

Placer les points O et A, tracer le cercle c1 de centre O, passant par A.

Sur un diamètre [A’A2] perpendiculaire au rayon [OA], placer le point K au milieu de [OA’].

Tracer le cercle de « Ptolémée » (c2) de centre K, passant par A.
Ce cercle coupe le diamètre [A’A2] en U.
Le point U partage le rayon [OA2] en « moyenne raison ».

AU est égal à la longueur du côté d'un pentagone inscrit dans le cercle (c1).

Tracer le cercle (c3) de centre A, passant par U.
Ce cercle (c3) coupe (c1) aux sommets B et E du pentagone.

Terminer la construction du pentagone par report de la longueur du côté (dernière ouverture du compas).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : construction de Ptolémée du pentagone (sommet A en haut)

construction du pentagone - scan Patrice Debart

Traité d'architecture civile et militaire, R.P. Durand - 1700

Remarque 1 : A’U = A’K + KU = 1/2 + rac(5)/2 = φ.

Remarque 2 : OAB est un triangle isocèle d'angle au sommet 2 pi/5, les deux autres angles étant égaux à 3pi/10.

Dans le triangle IAB rectangle en I, IB = AB cos 3pi/10 = (rac(5)+1)/4 AB
et EB = 2 IB = nombre d'or AB.

Le rapport EB/AB d'une diagonale sur le côté du pentagone convexe régulier est égal au nombre d'or φ.

Voir aussi : Construction du pentagone au collège

2. Découpage en triangles d'or et d'argent

Soit ABCDE un pentagone régulier de côtés de longueur 1.

Pentagone régulier

Les diagonales [AC] et [AD] partagent le pentagone en trois triangles isocèles :

deux triangles d'argent BAC et EAC de côtés de longueurs 1, 1 et φ, d'angles pi/5 et 3pi/5 ;

un triangle d'or ACD de côtés φ, φ et 1, d'angles 2pi/5 et pi/5.

En examinant la diagonale (CE), ce triangle d'or se décompose lui-même en un triangle d'or AB’D
de côtés 1, 1 et φ – 1 et le triangle d'argent AB’C.

De même cette diagonale partage le triangle d'argent EAC en deux triangles d'or AEB’ et d'argent B’ED,
de côtés 1 et φ – 1.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : découpage du pentagone

Pentagone croisé

Le pentagramme ACEBD, de côtés de longueur φ, se décompose en un petit pentagone régulier A’B’C’D’E’ de côtés de longueur 1/φ^2 = 2 – φ ;

bordé par cinq triangles d'or, de côtés φ – 1, φ – 1 et 1/φ^2.

En complétant le pentagone croisé par cinq triangles d'argent ; de côtés φ – 1, φ – 1 et 1 ; on obtient le pentagone régulier ABCDE de côtés de longueur 1.

 

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : pentacle

Un autre pentagone croisé de côtés φ – 1

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : pentagramme

3. Construction d'architecte

Méthode

Dessin à partir d'un côté du pentagone : les points de base (libres) sont deux sommets consécutifs A et B.

Simplification de la construction à partir d'un carré en utilisant une seule perpendiculaire (AA’) et non un carré.

Construction

Tracer le cercle (c2) de centre A passant par B. Soit A’ un des points d'intersection entre ce cercle (c2) et la droite perpendiculaire à (AB), passant par A.
Soit I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I, passant par A’, coupe la demi-droite [BA) en F.
Le cercle (c4) de centre B passant par F coupe le cercle (c2) en E.
Il coupe aussi la médiatrice de [AB] en D.
Tracer le cercle (c5) de centre D passant par E, puis (c3) de centre B, passant par A.
Seul un des points d'intersection de ces deux cercles permet d'obtenir un polygone convexe : le point C.
ABCDE est un pentagone régulier.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : construction d'architecte du pentagone

Page no 39, réalisée le 16/8/2009 - mise à jour le 5/8/2014