René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Le plan projectif

Figures classiques avec GeoGebra

Sommaire

1. Configuration du trapèze complet

2. Quadrilatère complet

Géométrie euclidienne

3. Droite de Newton d'un triangle

Définitions

Girard Desargues (Français 1591-1661) est le créateur de la géométrie projective, étude de propriétés qui se conservent par projection centrale : alignement, point de concours et birapport.

Intuitivement la droite projective est une droite affine complétée par un point, appelé point à l'infini.
Elle est en bijection avec R ∪ {∞} (à ne pas confondre avec R ∪ {- ∞, + ∞}).

Le plan projectif est un plan affine complété par des points à l'infini de telle façon que deux droites distinctes aient un point commun.

La division harmonique et le birapport ne sont plus enseignés au lycée. Nous donnons ici quelques exemples d'alignements et de point de concours.
Les étudiants du CAPES et les professeurs du secondaire trouveront la théorie des espaces projectifs, en particulier dans :
Carrega J.-C. - Théorie des corps : la règle et le compas - Hermann 2001
Ladegaillerie Yves – Géométrie pour le CAPES - Ellipses 2003

1. Configuration du trapèze complet

Trapèze complet

Définition : un trapèze complet est un quadrilatère complet dont un des sommets est un point à l'infini.

Un trapèze complet (qui n'est pas un parallélogramme) est formé de quatre droites du plan, deux droites parallèles et deux sécantes coupant les parallèles en quatre points.
Le trapèze complet (strict) a quatre côtés, cinq sommets (les quatre sommets du trapèze et le point d'intersection des côtés non parallèles), deux diagonales et un point diagonal.

Remarque : un trapèze est un quadrilatère, possédant au moins deux côtés opposés parallèles. Un parallélogramme est un cas particulier de trapèze. Un parallélogramme est un trapèze complet dont deux des sommets sont des points à l'infini.

Théorème du trapèze

trapèze complet - copyright Patrice Debart 2008

Dans un trapèze (qui n'est pas un parallélogramme), la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés parallèles.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : trapèze complet

Wikipédia WikiPédia Trapèze

Activité

A, B et C sont trois points du plan ; D est un point sur la parallèle à (AB) passant par C.

ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD] ayant pour milieux I et J. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O. Les droites (BC) et (AD) se coupent en P.

Montrer que les points I, J, O et P sont alignés.

Démonstration avec l'homothétie

Utiliser les propriétés des homothéties transformant le segment [AB] en [CD].

Réciproque : CDP est un triangle, J est le milieu de [CD], O est un point de la droite (PJ) distinct de P, de J et du symétrique de J par rapport à P.
(CO) coupe (PD) en A et (DO) coupe (PC) en B.

Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles et que I, intersection de (AB) et (PJ), est le milieu de [AB].

Démonstration avec des barycentres

Il existe un nombre k différent de 0, 1 et -1 tel que le vecteur vect(OJ) = − k vect(OP), soit 2 vect(OJ) + 2k vect(OP) = vect(0).
O est le barycentre de (P, 2k) et (J, 2).
Comme J est milieu de [CD], la forme vectorielle du théorème de la médiane dans le triangle OCD permet d'écrire :
vect(OC) + vect(OD) = 2 vect(OI) donc vect(OC) + vect(OD) + 2k vect(OP) = vect(0) (formule 1) ;
O est le barycentre de (P, 2k) ; (C, 1) et (D, 1).

D'après la règle d'associativité des barycentres, on trouve que l'intersection A de (PD) avec (CO) est le barycentre partiel de (P, 2k) et (D, 1)
et aussi que B est le barycentre partiel de (P, 2k) et (C, 1) ;
donc 2k AP + vect(AD) = vect(0) et 2k BP + vect(BC) = vect(0) (formules 2 et 3).

En calculant à partir de P, dans les formules 2 et 3, on trouve (2k + 1) vect(PA) = vect(PD) et (2k + 1) vect(PB) = PC,
d'où en faisant la différence de ces deux égalités, on trouve (2k + 1) vect(AB) = vect(DC). Ces deux derniers vecteurs sont colinéaires et (AB) // (CD).

De même, en calculant à partir de D, dans la formule 2, on trouve (2k + 1) vect(AD) + 2k vect(DP) = vect(0);

D est le barycentre de (A, 2k + 1) et (P, -2k).

La formule vectorielle de Leibniz (α + β) vect(MD) = α vect(MA) + β vect(MP), en plaçant M en O, permet d'écrire vect(OD) = (2k + 1) vect(OA) - 2k vect(OP)
et en remplaçant dans la formule 1 on obtient : vect(OC) + (2k + 1)vect(OA) = vect(0) : O est le barycentre de (C, 1) et (A, 2k + 1).

Des calculs similaires avec la formule 3, à partir du point C, permettent d'écrire (2k + 1) vect(BC) + 2k vect(CP) = vect(0) ;
C est le barycentre de (B, 2k + 1) et (P, -2k) :vect(OD) + (2k + 1)vect(OB) = vect(0) : O est le barycentre de (D, 1) et (B, 2k + 1).

En remplaçant ces deux derniers résultats dans la formule 1, on trouve - (2k + 1) vect(OA) - (2k + 1) vect(OB) + 2k vect(OP) = vect(0) ;
O est le barycentre de (A, 2k + 1) ; (B, 2k + 1) et (P, -2k). D'après la règle d'associativité des barycentres on trouve que le point d'intersection I de (PO) avec (AB) est le barycentre partiel de (A, 2k + 1) et (B, 2k + 1). Les deux coefficients étant égaux, I est le milieu de [AB].

g2w Barycentre

2. Quadrilatère complet

quadrilatère complet - copyright Patrice Debart 2008

Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points.

Remarques : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. L'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt dans le plan projectif.
Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.

Dans la suite de cet article nous considérons le quadrilatère complet strict où deux quelconques des quatre droites ne sont pas parallèles, trois quelconques ne sont concourantes :

A, B, C et D sont quatre points du plan formant un quadrilatère convexe (qui n'est pas un trapèze), les droites (AB) et (CD) se coupent en E, puis (AD) et (BC) en F.

Les quatre droites (AB), (AD), (CB) et (CD) déterminent un quadrilatère complet ayant les six sommets A, B, C, D, E et F.

Les trois droites (AC), (BD) et (EF) sont les diagonales du quadrilatère complet, leurs points d'intersection I, J, K sont les points diagonaux.

quadrilatère complet et diagonales - copyright Patrice Debart 2008

Le quadrilatère complet est à distinguer du quadrangle complet qui a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux.

Dans un espace projectif, le dual d'un quadrilatère complet est un quadrangle et réciproquement.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : quadrilatère complet

Wikipédia WikiPédia : Quadrilatère complet

2.b. Divisions harmoniques du quadrilatère complet

polaire d'un point par rapport à deux droites - divisions harmoniques du quadrilatère complet - copyright Patrice Debart 2008

Deux côtés, la diagonale passant par leur point d'intersection et la droite joignant ce sommet au point d'intersection des deux autres diagonales forment un faisceau harmonique.

Par exemple, la droite (FI) est la polaire de E par rapport aux droites (FD), (FC).
(FD), (FC), (FE), (FI) est un faisceau harmonique.
[A, B, E, R] ; [P, Q, E, I] et [D, C, E, S] sont des divisions harmoniques.

(EI) est la polaire de F par rapport à (EB), (EC).
(EB), (EC), (EF), (EI) est aussi un faisceau harmonique.
[A, D, F, P] ; [R, S, F, S] et [B, C, F, Q] sont des divisions harmoniques.

Les points K, R, P sont alignés ; de même, les points K, Q, S sont aussi alignés.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Divisions harmoniques du quadrilatère complet

g2w Polaire par rapport à deux droites

Géométrie euclidienne

3. Droite de Newton d'un triangle

droite de Newton - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Les milieux des segments formés par les sommets d'un triangle d'une part, et les points d'intersection d'une ménélienne avec les côtés du triangle sont alignés sur une droite dite droite de Newton.

La ménélienne rencontre deux côtés du triangle ABC

Dans un triangle, une ménélienne est une droite (transversale) ne passant pas par un des sommets.

Dans un triangle ABC, une ménélienne (d) rencontre les droites latérales (BC), (CA) et (AB) respectivement aux points P, Q et R, distincts des sommets.
Soit I, J et K, les milieux respectifs des segments [AP], [BQ] et [CR].

Alors les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton du triangle ABC, associée à la transversale (d).

La ménélienne ne rencontre aucun des côtés du triangle

droite de Newton - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Les quatre droites (AB), (AC), (PC) et (PQ), définissent un quadrilatère complet admettant, pour sommets, les six points A, B, C, P, Q et R.

Les points I, J et K sont alignés sur la droite de Newton de ce quadrilatère complet.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : droite de Newton d'un triangle

WikiPédia Article exporté dans WikiPédia : droite de Newton

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modifiée le 26/11/2013