Descartes et les Mathématiques

Translation

Faire opérer les transformations avec GéoPlan.

Au cycle 4 du collège, on manipule la notion de translation.

1. Translation

Définition : dire que le point M’ est l'image du point M par la translation qui transforme A en B signifie que le quadrilatère ABM’M est un parallélogramme.

Les segments [AM’] et [BM] ont même milieu.

Si M est sur la droite (AB), ABM’M est un parallélogramme aplati.

Construire l'image d'un segment par une translation

Application : construire l'image d'un segment [MN] par la translation qui transforme A en B.

On construit les points M’ et N’ tels que ABM’M et ABN’N soient deux parallélogrammes.
Pour cela, tracer les milieux I de [BM] et J de [BN].
M’ et N’ sont les symétriques de A par rapport à I et J.

Construire l'image d'une droite par une translation

Placer deux points M et N sur une droite (d). Construire les points M’ et N’ images des points M et N par la translation qui transforme A en B.

La droite (M’N’) est l'image de (d) par la translation.

Ces deux droites sont parallèles.

Indication

I et J sont les centres des parallélogrammes ABM’M et ABN’N.

(IJ), droite des milieux de AM’N’, est parallèle à (M’N’).
(IJ), droite des milieux de BMN, est parallèle à (MN).

Les droites (MN) et (M’N’) parallèles à (IJ) sont parallèles entre elles.

Télécharger la figure GéoPlan trans_droite.g2w

2. Alignement - Translation et orthocentre

ABCD est un rectangle, M est un point du plan.

C’ est le projeté orthogonal de C sur (AM),
D’ est le projeté orthogonal de D sur (BM),
M’ est le projeté orthogonal de M sur (AB).
Les, droites (CC’) et (DD’) se coupent en I.

Montrer que les points M, M’ et I sont alignés.

Indications :

Avec la translation de vecteur :
  – la droite (MM’) est globalement invariante,
  – (CC’) a pour image (BB’), la hauteur issue de B du triangle MAB,
  – (DD') a pour image (AA’), la hauteur issue de A du triangle MAB.
Ces trois hauteurs sont concourantes en H, orthocentre de MAB.

L'image réciproque du point H est I, point de concours des trois droites (CC’), (DD’) et (MM’).
Les points M, M’, H et I sont alignés.

Télécharger les figures GéoPlan rect_tra.g2w,   ortho_translation.g2w

Mauvaise copie avec publicité

Mathématiques.net/parallelogrammes

Google préfère la copie d'HauEtFort à ces figures originales !

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