René DescartesGeoGebraAire délimitée par un périmètre de baignade

Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra

Deux cadres dans l'écran GeoGebra :
le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction permettant la recherche d'extremums.

Aire d'un plan de baignade

Recherche de maximum
Parabole avec GeoGebra

Exemples de contenu pour l'enseignement en seconde

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle rectangle

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Le plus grand triangle isocèle inscrit dans un cercle

Version classique
non interactive

GeoGebra Avec GeoGebra :
Optimisation d'aires

GeoGebra La géométrie avec GeoGebra

Page mobile friendly Mobile friendly

Culture mathématique

De tous les rectangles de périmètre donné, celui qui a l'aire maximum est le carré.
De toutes les figures de périmètre donné, celle qui a l'aire maximum est le disque (problème de Didon).

Aire délimitée par un périmètre de baignade

Énoncé

Il dispose d'une ligne de flottaison BCDA de 40 m de long, en forme de U, avec deux bouées C st D.
Elle borde un bain rectangulaire ABCD de largeur a = AB
Il s'agit de déterminer a pour que l'aire du rectangle ABCD soit maximale.

Objectifs mathématiques

  – Expérimenter, conjecturer et démontrer un problème d'optimisation.
  – Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul), la notion de fonction.
  – Décrire le comportement et exprimer le maximum de l'aire conjecturé

Classe de seconde

Objectifs informatiques

  – Construire une figure et une courbe avec un logiciel de géométrie dynamique.
  – Conjecturer une aire et un maximum.

Technique GeoGebra

Sur une feuille de travail GeoGebra, on affiche les axes
(dans les propriétés du graphique, on pourra ajuster les valeurs xmin = -42 ; xmax = 22 ; ymin = -5 : ymax = 205).

  – On définit a = 5, ce qui permet de définir un curseur a et, dans ses propriétés, on indique Min = 0 et Max = 20.
  – On construit le rectangle ABCD avec les points A et B sur (Ox) - Les points C et D ont pour ordonnée a
          On peut choisir A:(a-40,0) ; B:(-a,0) ; C:(-a, a) ; D:(a-40, a).
  – On nomme b le rectangle ABCD, GeoGebra renvoie son aire.
  – On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace ;
        il est aussi possible de taper directement dans la ligne de saisie : L=(a,b).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Aire délimitée par un périmètre de baignade

Conjecture

On peut dès lors faire varier a et conjecturer b = 200 pour a = 10.

Parabole avec GeoGebra

  – En déplaçant le curseur a sur toute sa longueur, on observe que la trace semble être une branche de parabole.
  – Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction f(x) = - 2 x^2, et l'«amener » sur la trace par trouver la fonction f représentant l'aire.
  – Cocher la case parabole solution : GeoGebra affiche la fonction -2(x - 10)2 + 200.
        Justifier ce calcul de l'aire. Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.

Page no 182, créée le 19/10/2011
mise à jour le 4/8/2014