Descartes et les Mathématiques
Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra
Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra
Deux cadres dans l'écran GeoGebra :
le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction permettant la recherche d'extremums.
Aire d'un plan de baignade
Recherche de maximum
Parabole avec GeoGebra
Culture mathématique
De toutes les figures de périmètre donné, celle qui a l'aire maximum est le disque (problème de Didon).
Aire délimitée par un périmètre de baignade
Énoncé
Un maître-nageur doit organiser une aire de baignade rectangulaire le long d'une plage rectiligne.
Il dispose d'une ligne de flottaison BCDA de 40 m de long, en forme de U, avec deux bouées C st D.
Elle borde un bain rectangulaire ABCD de largeur a = AB
Il s'agit de déterminer a pour que l'aire du rectangle ABCD soit maximale.
Objectifs mathématiques
– Expérimenter, conjecturer et démontrer un problème d'optimisation.
– Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul), la notion de fonction.
– Décrire le comportement et exprimer le maximum de l'aire conjecturé
Classe de seconde
Objectifs informatiques
– Construire une figure et une courbe avec un logiciel de géométrie dynamique.
– Conjecturer une aire et un maximum.
Technique GeoGebra
Sur une feuille de travail GeoGebra, on affiche les axes
(dans les propriétés du graphique, on pourra ajuster les valeurs
xmin = -42 ; xmax = 22 ; ymin = -5 : ymax = 205).
– On définit a = 5, ce qui permet de définir un curseur a et, dans ses propriétés, on indique Min = 0 et Max = 20.
– On construit le rectangle ABCD avec les points A et B sur (Ox) - Les points C et D ont pour ordonnée a ;
On peut choisir A:(a-40,0) ; B:(-a,0) ; C:(-a, a) ; D:(a-40, a).
– On nomme b le rectangle ABCD, GeoGebra renvoie son aire.
– On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace ;
il est aussi possible de taper directement dans la ligne de saisie : L=(a,b).
Figure interactive dans GeoGebraTube : Aire délimitée par un périmètre de baignade
Conjecture
On peut dès lors faire varier a et conjecturer b = 200 pour a =10.
Parabole avec GeoGebra
– En déplaçant le curseur a sur toute sa longueur, on observe que la trace semble être une branche de parabole.
– Dans la ligne de données, saisir la fonction f(x) = - 2 x^2, et l'«amener » sur la trace par trouver la fonction f représentant l'aire.
– Faire afficher par GeoGebra la fonction -2(x - 10)2 + 200.
Justifier ce calcul de l'aire. Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.
Dans d'autres pages du site
Avec GeoGebra : Optimisation d'aires
1S - TS : problèmes d'optimisation
Exemples de contenu pour l'enseignement en seconde
Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle rectangle
|
|
Page no 182, créée le 19/10/2011 |
Mobile friendly