René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra

Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra

Deux cadres dans l'écran GeoGebra :
le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction permettant la recherche d'extremums.

Aire d'un plan de baignade

Recherche de maximum
Parabole avec GeoGebra

GeoGebra Version interactive

Culture mathématique

De toutes les figures de périmètre donné, celle qui a l'aire maximum est le disque (problème de Didon).

Aire délimitée par un périmètre de baignade

Énoncé

Un maître-nageur doit organiser une aire de baignade rectangulaire le long d'une plage rectiligne.
Il dispose d'une ligne de flottaison BCDA de 40 m de long, en forme de U, avec deux bouées C st D.
Elle borde un bain rectangulaire ABCD de largeur a = AB
Il s'agit de déterminer a pour que l'aire du rectangle ABCD soit maximale.

Objectifs mathématiques

  – Expérimenter, conjecturer et démontrer un problème d'optimisation.
  – Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul), la notion de fonction.
  – Décrire le comportement et exprimer le maximum de l'aire conjecturé

Classe de seconde

Objectifs informatiques

  – Construire une figure et une courbe avec un logiciel de géométrie dynamique.
  – Conjecturer une aire et un maximum.

Technique GeoGebra

figure geometrique et optimisation d'une fonction - aire d'un perimetre de baignade - copyright Patrice Debart 2011

Sur une feuille de travail GeoGebra, on affiche les axes
(dans les propriétés du graphique, on pourra ajuster les valeurs xmin = -42 ; xmax = 22 ; ymin = -5 : ymax = 205).

  – On définit a = 5, ce qui permet de définir un curseur a et, dans ses propriétés, on indique Min = 0 et Max = 20.
  – On construit le rectangle ABCD avec les points A et B sur (Ox) - Les points C et D ont pour ordonnée a ;
   
      On peut choisir A:(a-40,0) ; B:(-a,0) ; C:(-a, a) ; D:(a-40, a).
  – On nomme b le rectangle ABCD, GeoGebra renvoie son aire.
  – On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace ;
        il est aussi possible de taper directement dans la ligne de saisie : L=(a,b).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebraTube : Aire délimitée par un périmètre de baignade

Conjecture

On peut dès lors faire varier a et conjecturer b = 200 pour a =10.

Parabole avec GeoGebra

figure geometrique et optimisation d'une parabole avec geogebra - aire d'un perimetre de baignade - copyright Patrice Debart 2011

  – En déplaçant le curseur a sur toute sa longueur, on observe que la trace semble être une branche de parabole.
  – Dans la ligne de données, saisir la fonction f(x) = - 2 x^2, et l'«amener » sur la trace par trouver la fonction f représentant l'aire.
  – Faire afficher par GeoGebra la fonction -2(x - 10)2 + 200.
        Justifier ce calcul de l'aire. Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.

Dans d'autres pages du site

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1S - TS : problèmes d'optimisation

Exemples de contenu pour l'enseignement en seconde

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle rectangle

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Le plus grand triangle isocèle inscrit dans un cercle

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Page no 182, créée le 19/10/2011
mise à jour le 18/11/2013