René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Distance minimale dans un triangle rectangle

Travaux pratiques de géométrie avec GeoGebra. Feuille de travail dynamique.

Où placer un point de l'hypoténuse d'un triangle rectangle pour que la distance entre ses projections sur les petits côtés soit minimale ?

Un logiciel de géométrie permet la mise en place de situations qui pourraient paraître complexes, mais auxquelles la dynamique de la figure permet de donner du sens. En voici un exemple que l'on peut traiter en classe de troisième, jusqu'en première.

ABC est un triangle rectangle en A, et M un point de l'hypoténuse [BC]. Les perpendiculaires à [AB] et [AC] passant par M coupent [AB] en N et [AC] en P.
Où placer le point M pour que la distance NP soit la plus petite possible
?

Déplacer le point M.

Une fois la construction réalisée, le logiciel permet d'afficher la distance NP qui varie quand on déplace le point M sur [BC], on peut facilement invalider les conjectures qui apparaissent fréquemment sur papier (le milieu ou les points B et C).

Si le triangle ABC construit est trop particulier, on peut le déformer (tout en le conservant rectangle). Le logiciel permet d'observer que le point M peut être placé n'importe où sur [BC], que son déplacement modifie la longueur NP et ainsi de comprendre le problème posé.

En déplaçant le point M on peut aussi observer les invariants de la figure (ici que le quadrilatère MNAP est toujours un rectangle).
L'observation du rectangle conduit à la solution (le pied de la hauteur) et à la démonstration (AM = NP).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : distance minimale dans un triangle rectangle

g2w Distance minimale dans un triangle

GeoGebra Aire minimale d'un triangle dans un rectangle

GeoGebra Aire d'un périmètre de baignade

GeoGebra La géométrie avec GeoGebra

g2w Optimisation d'aires

g2w Optimisation en troisième

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Page créée le 18/1/2009