René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

La géométrie du triangle rectangle

Cercles inscrits et théorème de Feuerbach

Sommaire

1. Construction des cercles inscrit et exinscrits dans un triangle
    – Points de Feuerbach
2. Point de Feuerbach

3. Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan
    – Losanges de côtés r

Dans d'autres pages du site

g2w Le triangle rectangle - paragraphes précédents :
     trois cercles inscrits dans le triangle rectangle

g2w Théorème de Feuerbach (triangle quelconque)

Page pour mobiles Google unfriendly

1. Point de Feuerbach dans un triangle rectangle

point de Feuerbach du triangle rectangle - figure GeoGebra - copyright Patrice Debart 2011

Théorème de Feuerbach-Ayme

Soit ABC un triangle rectangle en A, H le pied de la hauteur de ABC sur (BC), I1et I2 les centres des cercles inscrits dans les triangles AHB et AHC, et Fe le point de Feuerbach « inscrit » du triangle ABC ; alors les droites (C’I1) et (B’I2) sont orthogonales et se coupent au point de Feuerbach.
Le cercle de diamètre [I1I2] passe par Fe.

Remarque : outre le point de Feuerbach, le cercle de diamètre [I1I2] contient le pied H de la hauteur issue de A, le point de contact A1 du cercle inscrit dans ABC avec le côté (BC) et les points d'intersection des bissectrices des angles aigus B et C avec la droite des centres (B’C’).
Ces deux derniers points sont aussi situés sur les bissectrices en A des triangles AHB et AHC.

Le point T, situé sur la hauteur [AH] à une distance r de A, est aussi situé sur ce cercle ;
r est le rayon du cercle inscrit.

Soit A4 et A5 les points d'intersection des bissectrices des angles aigus B et C avec le côté (BC).
A1 est le milieu de [A4A5] et le point A1 est situé à une distance r de A4 et de A5.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : point de Feuerbach d'un triangle rectangle

2. Utilisation de l'espace pour un problème plan

Losanges de côtés r

cercles inscrits dans triangle rectangle - figure GeoGebra - copyright Patrice Debart 2011

Les rayons (I1C3) et (I2B2) sont concourants en A1.

A3, I1 et C1 sont alignés, de même A2, I2 et B1 sont alignés.

A1I2TI1 et IB1AC1 sont deux carrés de côtés r.

Cette figure permet d'imaginer un cube A1I2TI1IB1AC1. Les segments de la représentation ayant pour longueur r.

Les droites (AI) et (I1I2) sont perpendiculaires.

Les démonstrations se font avec les triangles rectangles HSA2 et HRA3, de côtés de longueurs r1 et r2 et d'hypoténuse r, semblable à ABC.

Par exemple montrons que le point A1est situé sur la droite (I1C3) :
Dans le losange A1IC1C3, on a A1I = I1C1= r ; le triangle rectangle C3C1I1 est inversement isométrique à HRA3, donc C1C3 = r2.

Soit A’ le point d'intersection de (BC) et (I1C3). A3I1A’ est un triangle rectangle de côté r1 et est, par côtés parallèles, isométrique à HSA2. Donc A3A’ = r2.
Par rapport aux tangentes en B du cercle inscrit (c1) on a BA’ = BA3 + A3A’ = BA3 + r2 = BC3 + r2 = BC3 + C3C1 = BC1.
Par rapport aux tangentes en B du cercle inscrit (c) on a BC1 = BA1.
On a donc BA’ = BA1. Les points A’ et A1 sont confondus.

On montre de même que le point A1est situé sur la droite (I2B2).

Remarque : dans cette figure, on retrouve les calculs de la hauteur : h = HS + ST + TA = r1 + r2 + r
ou h = HR + RT + TA = r2 + r1 + r.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : trois cercles inscrits dans un triangle rectangle

Figures réalisées à partir des pages de F Marsal : triangle rectangle et cercles inscrits ; où l'on trouvera les démonstrations.

3. Construction des cercles inscrit et exinscrits dans un triangle

cercles inscrit et exinscrits - les 4 points de Feuerbach - figure GeoGebra - copyright Patrice Debart 2011

Points de Feuerbach

Légende :
En vert : les côtés du triangle
En bleu : les bissectrices intérieures
En rouge : les bissectrices extérieures
En violet : les trois cercles exinscrits
En orange : le cercle inscrit

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : théorème de Feuerbach

Théorème de Feuerbach

Dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits.

Indications

Comme son nom l'indique, ce théorème a été découvert en 1822 par Feuerbach (1800-1834), puis démontré par M'Clelland en 1891 et Lachlan en 1893.

Les quatre points de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits s'appellent les points de Feuerbach.

Les trois points F1, F2 et F3 de tangence des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle donné.

Le centre I du cercle inscrit dans le triangle ABC est l'orthocentre du triangle I1I2I3 (acutangle : dont les trois angles sont aigus) formé par les trois bissectrices extérieures.

Moteur de recherche

logo Google 

GeoGebra Version interactive

Index triangle

GeoGebra La géométrie
avec GeoGebra

WikiPédia
Théorème de Feuerbach-Ayme

Page no 191, réalisée le 22/9/2011
mise à jour le 29/11/2013