Géométrie du triangle III - Droite et cercle d'EulerCercle et droite et d'Euler, symétriques de l'orthocentre. | |
Sommaire3. Centre d'Euler d'un quadrilatère |
III - Cercles remarquables |
1. Droite d'Euler![]() de : Eulersche Gerade Dans un triangle non équilatéral, l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit sont distincts et alignés. La droite passant par ces trois points est la droite d'Euler. 1.a. Exemple de vrai problème posé par Daniel Perrin : O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, H est l'orthocentre du triangle et G le centre de gravité. Montrer ce l'on voit sur la figure.
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Exemple de formulation, style problème de bac
Avec un tel texte, l'élève devient une sorte d'OS de la géométrie qui n'a plus que des tâches parcellaires à accomplir, sans avoir le contrôle de la stratégie globale. | |
1.b. Relation d'Euler dans le triangleDans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont confondus. Pour démontrer l'égalité vectorielle Caractérisation vectorielle de l'orthocentre![]() Soit M le point tel que : Une relation de Chasles permet d'écrire : Le vecteur En remplaçant M par H on obtient la relation vectorielle Quel est le nom de la droite qui joint le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre d'un triangle ? La définition vectorielle du centre de gravité permet d'écrire Les points O, G et H sont alignés sur une droite dite droite d'Euler (1707-1783)
Voir : quatre relations d'Euler | |
1.c. Symétriques de l'orthocentreNous venons de démontrer que Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle. [AsA] est un diamètre. Le triangle AfAsA, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle. La droite (BC), perpendiculaire à (AfA) est parallèle à (fAsA) et passe par le milieu A’ de [HsA]. Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle.
Retrouver ces résultats avec l'homothétie entre le cercle circonscrit et le cercle d'Euler. | |
1.d. Droite d'Euler et triangle médian![]() Autre démonstration en géométrie synthétique avec l'homothétie et les configurations fondamentales, sans utiliser les vecteurs. Soit PQR le triangle ayant ABC comme triangle médian. La hauteur (AhA), perpendiculaire à (BC), est perpendiculaire à la parallèle (QR), en A milieu de [QR]. La hauteur issue de A est donc la médiatrice de [QR]. Les hauteurs du triangle ABC sont donc les médiatrices de PQR. (PA) médiane de PQR est une diagonale du parallélogramme ABPC. A’ milieu de [BC] est donc aussi le milieu de [PA] : les médianes (AA’) et (PA) sont confondues. L'homothétie H(G, –2) transforme le triangle ABC en PQR.
WikiPédia : Triangle - Relation d'Euler | |
2. Cercle des neuf points d'Eulerde : Feuerbachkreis ![]() Le cercle d'Euler (1707-1783) passe par les neuf points suivants : Comme son nom ne le l'indique pas, le cercle d'Euler a été découvert en 1808 par Serge Brianchon (Paris, 1783-1864). On dit aussi cercle de Feuerbach ou cercle de Terquem. (OH) est la droite d'Euler. Le centre de gravité G est au tiers de [OH] à partir du point O, centre du cercle circonscrit . Le cercle des neuf points d'Euler est l'homothétique du cercle circonscrit au triangle dans les homothéties de centre G et de rapport – L'homothétie de centre G permet de mettre en place la droite et le cercle d'Euler. L'homothétie de centre H permet de trouver les neuf points du cercle d'Euler comme points correspondants du cercle circonscrit.
Figure exportée dans WikiPédia, avec d'autres notations : cercle d'Euler La droite d'Euler est la droite de Pascal de l'hexagramme A’hBC’hAB’hC inscrit dans le cercle d'Euler du triangle ABC. Indications Nous avons vu au paragraphe précédent que l'homothétie de centre G et de rapport – Appelons cercle d'Euler le cercle circonscrit au triangle A’B’C’, homothétique du cercle circonscrit au triangle dans cette homothétie. Reprenons les démonstrations sur les symétriques de l'orthocentre, étudiées ci-dessus : A’ est l'image A par l'homothétie de centre G et de rapport – | |
2.b Symétriques de l'orthocentre et homothétieIci on utilise l'homothétie entre le cercle circonscrit et le cercle d'Euler pour retrouver les résultats du premier paragraphe : Symétriques de l'orthocentre Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle. L'homothétie de centre H et de rapport On note fA , le deuxième point d'intersection de la hauteur (AhA) avec le cercle circonscrit. Les droites (BC) et (fAsA), perpendiculaires à la Hauteur (AhA) sont parallèles. Comme (sAH) passe par le milieu A’ de [HsA], c'est une droite des milieux du triangle HfAsA, donc, hA est milieu de [HfA]. Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit au triangle. hA est le milieu de [HfA], c'est donc l'image de fA par l'homothétie de centre H rapport L'homothétie de centre H transforme les sommets du triangle en les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] qui sont trois derniers points situés sur le cercle d'Euler. | |
2.c. Le cercle d'Euler est le cercle circonscrit au triangle médian![]() Le cercle circonscrit au triangle médian A’B’C’ est le cercle d'Euler du triangle ABC. Les médiatrices du triangle médian sont concourantes au centre Ω du cercle des neuf points.
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3. Centre d'Euler d'un quadrilatèreDans un quadrilatère ABCD, soit I, J, K, L les milieux de ses côtés, et P, Q les milieux des diagonales [AC], [BD]. Les cercles d'Euler des quatre triangles ABC, BCD, CDA, DAB sont concourants en un point E appelé centre d'Euler du quadrilatère ABCD. ![]() | |
Hyperbole équilatère![]() Le centre d'Euler d'un quadrilatère ABCD est le centre de l'hyperbole équilatère - en général unique - passant par les 4 sommets A, B, C et D. Pour tracer une conique, il faut cinq points. Avec GeoGebra tracer A' symétrique de A par rapport à E : instruction A’=Symétrie(A, E) Puis l'hyperbole avec Conique(A, B, C, D, A’)
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Centre d'Euler d'un quadrilatère inscriptible![]() Si le quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle de centre O, alors les centres O1, O2, O3 et O4 des cercles d'Euler des triangles ABC, BCD, CDA, DAB sont cocycliques, De plus, les centres E et O sont symétriques par rapport-au centre de gravité G du quadrilatère.
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Page no 205, créée le 17/11/2002, |