René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Polygones réguliers

Figures interactives avec GeoGebra

De Ptolémée à Gauss, construction à la « règle et au compas » des polygones réguliers de 5, 6, 8 côtés.

Sommaire

1. Polygone constructible
2. Polygone régulier : côtés, angles

5. Pentagone - Construction de Ptolémée

6. Hexagone

8. Octogone

10. Dodécagone

GeoGebra GeoGebraBook : Polygones réguliers

g2w Avec GéoPlan
Polygones réguliers

g2w Le carré
au collège

Construction du pentagone régulier

GeoGebra La géométrie
avec GeoGebra

1. Polygone constructible

Savoir construire un polygone régulier, à n côtés, c'est savoir construire le point de coordonnées (cos2pi/n, sin 2pi/n). Ayant ainsi construit un côté de ce polygone, il suffit de reporter de proche en proche sa longueur sur le cercle unité.

Les Éléments d'Euclide donnent les constructions des polygones réguliers de 3, 4, 5, 6 et 15 côtés.

Ils expliquent comment, grâce à la construction des bissectrices, doubler le nombre de côtés d'un polygone.

Théorème de Gauss

Soit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Le polygone à nm côtés est constructible, à la « règle et au compas », si et seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles.

En effet, l'identité de Bézout permet de dire que si m et n sont premiers entre eux, il existe deux entiers relatifs u et v tels que um + vn = 1.
Multipliant cette expression par 2pi/nm, il vient : u2pi/n + v2pi/m = 2pi/nm.

On obtient l'angle 2pi/nm, sur le cercle unité, en reportant u fois l'angle 2pi/n et v fois l'angle 2pi/m, angles que l'on sait construire.

Exemple - construction du polygone régulier à 15 côtés :
Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, 3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par 2pi/15 la relation de Bézout 2 × 3 - 5 = 1,
on obtient l'égalité 2 2pi/5 - 2pi/3 = 2pi/15.
Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que (vect(OA), vect(OG)) = 4pi/5, le point B tel que (vect(OG), vect(OB)) = − 2pi/3 est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.

Il faudra attendre 1796 pour que Gauss démontre que le polygone de 17 côtés était aussi constructible à la règle et au compas.

Polygones constructibles

Un polygone régulier de n côtés est constructible si cos 2pi/n est un nombre constructible. n est alors une puissance de 2, un nombre premier de Fermat de la forme 1 + 2(2k), un produit de nombres de Fermat ou un produit d'une puissance de 2 par des nombres de Fermat.

Pour n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20… les polygones à n côtés sont constructibles.
Pour n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19… ils ne le sont pas.

Voirsolides de Platon

2. Polygone régulier

Un polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur et les angles la même mesure. Il peut être convexe ou croisé.

Un polygone régulier à n côtés se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de 2pi/n.

Un polygone régulier convexe est composé de (n - 2) triangles. Si on additionne les angles de ces triangles, on obtient la somme des angles intérieurs du polygone. La somme des angles d'un polygone à n côtés est égale à
(n - 2) π.

Les rayons d'un polygone inscrit dans un cercle relient ses sommets à son centre. Les apothèmes relient les milieux des côtés au centre.

 

Côtés

Angle au
centre

Angle
intérieur

 

Triangle équilatéral

3

120°

60°

 

Carré

4

90°

90°

 

Pentagone

5

72°

108°

diagonale/côté = φ (nombre d'or)

Hexagone

6

60°

120°

côté = rayon du cercle circonscrit

Heptagone

7

     

Octogone

8

45°

135°

 

Ennéagone

9

40°

140°

 

Décagone

10

36°

144°

rayon/côté = φ

Hendécagone

11

     

Dodécagone

12

30°

150°

 

Pantadécagone

15

24°

156°

 

n côtés

n

2pi/n
((n - 2) x 180°)/n
 

5. Pentagone - Construction de Ptolémée

Pour construire un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle à la « règle et au compas » il suffit de savoir construire un angle au centre de 2pi/5 dont le cosinus est égal à (rac(5)-1)/4.

Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or :

tracer un cercle (c1) de centre O, de rayon r, passant par A(r, 0).
Placer un diamètre [AA’] et un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].

K est le milieu de [OA’], le cercle (c2) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U.

La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone.

En effet, KB’ = KU = r rac(5)/2, d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = r(rac(5)/2 - 1/2) = r/phi et OI = (rac(5)-1)/4 r.
L'angle (vect(OA), vect(OB)) a un cosinus égal à (rac(5)-1)/4, c'est bien un angle de 2pi/5.
La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE.

Le point B a pour coordonnées OI = r cos 2pi/5 et IB = r sin 2pi/5.
Le point C a pour abscisse r cos 4pi/5 = − r cos pi/5 = − (rac(5)+1)/4 r,
et pour ordonnée r sin 4pi/5 = r sin pi/5.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : pentagone régulier

g2w Voir pentagone régulier :
    constructions exactes

    constructions approchées

6. Hexagone

Le côté de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est égal au rayon r de ce cercle.

Construction de l'hexagone à partir du cercle circonscrit

Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon et de joindre les points consécutifs ainsi obtenus.

Géométrie dynamique

Placer deux points O et A,
tracer le cercle (c) de centre O, passant par A.

Le cercle de centre A, passant par O, coupe le cercle (c) en B et F,
le cercle de centre B, passant par O, recoupe le cercle (c) en C,
le cercle de centre C, passant par O, coupe le cercle (c) en D,
le cercle de centre D, passant par O, coupe le cercle (c) en E.

Tracer les côtés de l'hexagone ABCDEF.

Cliquer dans la case à cocher pour effacer les cercles de construction.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : hexagone régulier

Voir : construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral

      hexagramme mystique

8. Octogone

La longueur du côté est : 2 r sin pi/8 = r/2 rac(2 - rac(2)) ≈ 0,765 r

Voir le calcul du sinus : angle trigonométrie

Octogone inscrit dans un cercle

Tracer deux diamètres [AE] et [CG] perpendiculaires du cercle : ACEG est un carré.
Tracer les bissectrices de ces angles pour former deux autres diamètres :
les cercles de centres A et C passant par O se recoupe en I. (OI) est la médiatrice de [AC] coupe le cercle en B et F,
les cercles de centres C et E passant par O se recoupe en J. (OJ) est la médiatrice de [CE] coupe le cercle en D et H,
En joignant les extrémités des quatre diamètres, on obtient l'octogone régulier ABCDEFGH.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone

Octogone inscrit dans un carré

Tracer les diagonales du carré et marquer le centre O du carré, point d'intersection des diagonales. Tracer alternativement les cercles centrés sur chaque sommet, passant par le centre O. En joignant les points d'intersection de ces cercles avec les côtés du triangle, on obtient un octogone régulier.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone insccrit dans un carré

Octogone croisé

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone étoilé

10. Dodécagone avec quatre triangles équilatéraux

Quatre triangles équilatéraux construits à l'intérieur d'un carré

À l'intérieur d'un carré ABCD, construire quatre triangles équilatéraux ABE, BCF, CDG et DAH.

Les quatre sommets internes des triangles équilatéraux forment un carré EFGH.

Le milieu des petits côtés et les intersections des côtés des triangles proches des sommets forment un dodécagone régulier.

L'aire du dodécagone est égale au cinquième de l'aire du carré.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : dodécagone et triangles équilatéraux

 

Table des matières

Me contacter

La géométrie dynamique
avec GeoGebra

Problèmes de la géométrie grecque

Les Éléments d'Euclide

Constructions du pentagone régulier

Page no 93, créée le 30/8/2009
modifiée le 14/8/2014