Descartes et les Mathématiques

Exercices de-ci, de-là

Pour chercher et approfondir : diverses constructions, en classe de seconde.

Sommaire

451-2. Diviser l'aire d'un trapèze en deux, en quatre.

              Le partage en deux du trapèze

              Diviser l'aire d'un trapèze en quatre parties égales

486-3. Un cercle comme lieu d'un point

5. Découper deux segments égaux

6. Défi collège

Voir aussi dans d'autres pages du site

452-4. Construction de-ci, de-là : triangles en seconde

453-4. Découpage d'aires dans un carré

462-3. Tangentes aux points de contact : homothétie

478-2. Trouver le lieu géométrique des centres de triangles équilatéraux, inscrits dans un carré : triangle inscrit dans un carré

486-1. Construction sous contrainte : plus court chemin

487-4. Calculs d'aires : triangle équilatéral inscrit dans un rectangle

491-2 Un triangle à la six-quatre-deux

Rubrique du bulletin de l'APMEP diffusant des exercices proposables à nos élèves, exercices d'origines diverses. Rubrique crée en 2004 par Serge Parpay et son équipe de Poitevins « Le groupe du Clain » par référence à une publication, appréciée, de l'IREM de Poitiers lors des années 70 (le Clain est l'affluent de la Vienne qui passe à Poitiers) et un clin œil, aussi, au grand Félix Klein.
Bruno Alaplantive prend le relai en 2009.

451-2. Diviser l'aire d'un trapèze

Diviser un trapèze en deux parties d'aires équivalentes par une parallèle aux bases.

Enseignement secondaire spécial et baccalauréat ès sciences
Géométrie théorique et pratique. Eysseric et Pascal. Delagrave 1874
Bulletin APMEP n^o 451 - mars 2004

Solution de Bruno Alaplantive : Bulletin APMEP n^o 453 - septembre 2004

En posant EA = 1 et ED = k = , pour les aires on a Aire(EDC) = k²Aire(EAB) donc Aire(ABCD) = (k² - 1) Aire(EAB).

On obtient, de même, en posant EP = p, Aire(ABQP) = (p² - 1) Aire(EAB) et la demande Aire(ABQP) = Aire(ABCD) équivaut à :
p² - 1 = , soit p = PQ/AB = .

Partage en deux d'un trapèze : mesure de la base commune

Les côtés parallèles d'un champ en forme de trapèze dont mesurent respectivement 70 m et 230 m.

Si on le partage en deux parties d'aires égales, on peut calculer la longueur du côté de séparation : il mesure 170 m.

Calcul

On prolonge les côtés obliques du trapèze jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en E.
De façon analogue à la méthode ci-dessus,
en appelant k = = 230/70,
on calcule (k²+1)/2 = 289/49,
le rapport p = PQ/AB = est égal à 170/70, donc PQ = 170 m.

Solution du monde 2

On appelle x la longueur inconnue PQ du muret, h la hauteur EH du grand triangle DCE d'aire 230h, k la hauteur EK du petit triangle ABE d'aire 70k, et l la hauteur EL du triangle PQE d'aire lx.
Ces trois triangles de sommet S sont semblables, d'où la proportionnalité k/70 = l/x = h/230 d'où k = 70h/230 et l = hx/230.
lx -70k aire du trapèze ABQP est égal à 230h - lx aire du trapèze PQCD, soit 2lx = 70k + 230h.
En substituant k et l, on établit l'équation suivante :

x²h/230 = (70²h/230 + 230h) qui se simplifie par h/230 en x² = (70² + 230²).

Il vient x = 170.

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Construction à la façon de Descartes

La parallèle à (BD) coupe (ED) en F. Les triangles EDB et EFC sont semblables avec le rapport de similitude k.
Comme ED = k, on a EF = k².
En reportant l'unité EA en FG, puis en plaçant le milieu M de [EG], on a EM = .

On termine alors par la construction classique de la racine carrée d'un nombre :
Reporter l'unité EA en EA’ et tracer le cercle de diamètre [MA’]. La perpendiculaire à (MA’) en E coupe le cercle en H. EH est la moyenne géométrique de EA’ et EM.
Il suffit de rabattre H en P sur [ED] et de terminer (PQ) parallèle aux bases du trapèze.

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Diviser un trapèze en quatre parties égales

Question du Forum Futura Sciences Generation

Diviser en 4 parts égales l'aire d'un trapèze rectangle.
Ces 4 parts ont leurs bases parallèles à la base du grand trapèze, cela revient à diviser ce grand trapèze en 4 petits trapèzes de même aire…

ABCD est un trapèze rectangle en D, de petite base b = AB, de grande base b’ = CD
et de hauteur h = AD.
Les côtés non parallèles du trapèze se rencontrent en E.

La propriété de Thalès dans le triangle ECD permet d'écrire les rapports :
k = = = , or = = 1 + , soit = k - 1 et EA = = .

Le partage en quatre se fait par les segments [MN], [PQ] et [RS] parallèles aux bases.

[PQ] partage en deux, cas traité ci-dessus avec EP = p EA :
Aire(ABQP) = (p² - 1) Aire(EAB) et la demande Aire(ABQP) = Aire(ABCD) équivaut à :
p² - 1 = (k² - 1), soit p = .

[MN] partage au quart l'aire du trapèze avec EM = m EA :
Aire(ABNM) = (m² - 1) Aire(EAB) et Aire(ABNM) = Aire(ABCD) équivaut à :
m² - 1 = (k² - 1), soit m = .

[RS] partage aux trois quarts l'aire avec ER = r EA :
Aire(ABSR) = (r² - 1) Aire(EAB) et Aire(ABSR) = Aire(ABCD) équivaut à : r² - 1 = (k² - 1), soit r = .

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486-3. Cercle comme lieu d'un point

M. Guisnée - Paris

Soit un segment [AB] et (d) sa perpendiculaire en A.

On choisit un point M pris sur (d) et on construit le point P de la demi-droite [MB), n'appartenant pas au segment [MB], qui vérifie :

PB × BM = AB².

Déterminer le lieu du point P lorsque M varie sur (d).

Commandes GéoPlan pour le lieu géométrique :
Déplacer le point M.
Touche T : garder la Trace du point P,
touche S: Sortie du mode trace.
Taper L pour afficher/effacer le Lieu des points P et les triangles BCP et BCQ.

Solution

Soit C le point symétrique de A par rapport à B, le point Q symétrique de M et la droite (d’) perpendiculaire en C à (AC).

Le lieu est le cercle de diamètre [BC], privé de B.

Comme BM = BQ, dans le triangle rectangle BCQ on a :
PB × BQ = BC².

La relation métrique donnant le carré du petit côté BC, montre que le point P est le pied de la hauteur issue de C.

L'angle BPC est droit.

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5. Découper deux segments égaux

Un problème original de Serge Parpay créé pour le rallye Mathématique Poitou-Charentes - Corol'aire n^o 69 - Juin 2007

Quatre droites (d₁), (d₂), (d₃), (d₄) sont concourantes en un point O.
Construire une droite (Δ) qui coupe ces quatre droites respectivement en A₁, A₂, A₃, A₄ de telle sorte que A₁A₂ = A₃A₄.

Analyse

Soit (Δ) une droite répondant à la question (remarquons que toute parallèle à (Δ), ne passant par O, conviendrait également).
A₁A₂ = A₃A₄, les segments [A₁A₄] et [A₂A₃] ont même milieu J. Soit (d) la droite passant par O et J et (d’) la parallèle à (Δ) passant par O.

J étant le milieu de [A₁A₄] les droites (d₁, d₄, d, d’) forment un faisceau harmonique.

Réciproquement, soit (D) une droite parallèle à (d₄) coupant les trois autres rayons du faisceau en B₁, I et I’ ; le point B₁ est alors le milieu de [II’].

Par ailleurs, comme J est aussi le milieu de [A₂A₃], les droites (d₂, d₃, d, d’) forment un autre faisceau harmonique. (B₂, B₃, I, I’) est une division harmonique.
Avec le milieu B₁ de [II’] la relation de Newton permet d'écrire :

B₁I² = B₁I’² = B₁B₂ × B₁B₃.

Cette relation va permettre la construction de I et I’ et, par suite, des droites (d) et (d’).

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Construction des points I et I’

Une droite (D) parallèle à (d₄) donne les points B₁, B₂, B₃.

Le produit B₁B₂ × B₁B₃ est la puissance du point B₁ par rapport à un cercle passant par B₂ et B₃.
On trace alors un tel cercle et une tangente (B₁T)) à ce cercle.

Le cercle de centre B₁ passant par T coupe la droite (D) en I et I’.
On a bien B₁T² = B₁B₂ × B₁B₃ = B₁I² = B₁I’².

En joignant O à I et I’, on construit les droites (d) et (d’) cherchées.

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Une solution

En menant, à partir d'un point A₁ situé sur (d₁), une droite (Δ) parallèle à (d’), on trouve une solution au problème.

De même ci-contre, une parallèle (Δ) à (d) donne une autre solution du problème.

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Une autre solution

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6. Défi collège

Défi proposé par Serge Parpay

Soit deux angles XÔY et xÎy aux côtés respectivement parallèles.
Construire une droite (D) coupant [OX) en A, [OY) en B, [Ix) en a et [Iy) en b telle que Aa = Bb.

Déplacer les points A ou a pour trouver la solution.

Deux angles droits

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Solution

Deux angles aigus

Solution avec deux angles aigus

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Table des matières

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APMEP : Problèmes d'antan

La géométrie en seconde

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