HomothétieDémonstrations de géométrie utilisant l'homothétie ; L'homothétie n'est plus étudiée en classe de première. | ||||||||||||||||||||
Sommaire1. Transformé d'un triangle par homothétie 2. Configuration de base des homothéties 3. Parallélogramme et diagonale 4. Carré inscrit dans un triangle 6. Prouver un point de concours 7. Triangle à côtés perpendiculaires 8. Homothéties transformant deux cercles 9. Cercle tangent à deux droites passant par un point donné 10. Homothétie, triangle et centre de gravité | ||||||||||||||||||||
0. DéfinitionUne homothétie est une application ponctuelle caractérisée un centre O, point invariant, appelé centre et un réel k appelé rapport. L'homothétie laisse le centre O fixe et le transformé M’ est situé sur la droite (OM) par un agrandissement (si |k|>1) ou une réduction de rapport k. |
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1. Transformé d'un triangle par homothétieHomothétie qui transforme un triangle en un autre triangle ![]() Le point M varie sur un triangle ABC. h est une homothétie de centre O et de rapport k. A’, B’, C’ et M’ les images respectives par h de A, B, C et M.
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2. Configuration de base des homothétiesMontrer un alignement[AB], [CD] et [EF] sont trois segments parallèles distincts. Monter que l es points I, J et K, placés selon la figure, sont alors alignés. ![]() Indications Il existe une homothétie f de centre K qui transforme le segment [AB] en [CD], Par g le point K a pour image K’, K et son transformé K’ sont alignés avec le centre I, I est situé sur la droite (KK’). La composée h = gοf est une homothétie qui transforme le segment [AB] en [EF], son centre est le point J. Par h le point K a pour image gοf (K) = g(K) = K’, K et K’ sont alignés avec le centre J, J est situé sur la droite (KK’). Les points I et J, situés sur la droite (KK’), sont alignés avec K. | ||||||||||||||||||||
3. Parallélogramme et diagonale3.a. Droites parallèles![]() ABCD est un parallélogramme. M est un point variable sur la diagonale [AC]. En utilisant deux homothéties de centre A et C, montrer que les droites (IL), (BD) et (JK) sont parallèles. Les parallélogrammes complémentaires ALMI et MJCK sont dits équivalents (Legendre – Éléments de géométrie – 1794). | ||||||||||||||||||||
3.b. Problème réciproque![]() I, J et L sont trois points situés respectivement sur les côtés [AB], [CD] et [AD] d'un parallélogramme ABCD, distincts des sommets. La parallèle à (IL), passant par J, rencontre (BC) en K. | ||||||||||||||||||||
Solution par la géométrie analytiquePour cela, on considère le repère (A, Coordonnées des points de la figure : I(i, 0) ; J(j, 1) ; L(0, l) ; K(1, k). Les vecteurs Soit M, le point d'intersection des deux droites (AC) et (IJ) : La droite (AC) a pour équation y = x. Les coordonnées (xM, yM) de M vérifient l'équation de la droite (LK) : La droite (LK), de vecteur directeur (1, k−l), a pour équation y − l = (k − l)x. En substituant xM et yM dans cette équation on obtient : Cette égalité est vérifiée en raison de la colinéarité de Les droites (AC), (IJ) et (KL) sont concourantes en M. | ||||||||||||||||||||
3.c. Parallélogramme de Pappus![]() M est un point variable du plan n'appartenant pas à la diagonale (BD). Les droites (IK) et (JL) sont sécantes en un point N, les points A, C et N sont alignés. | ||||||||||||||||||||
Théorème de Pappus : plan projectif Démonstration par Pappus du théorème de Pythagore Cette figure permet aussi de proposer, en classe de 3e, le problème assez difficile suivant : | ||||||||||||||||||||
IndicationsOn note P l'intersection de (IK) et (CD) et Q l'intersection de (LJ) et (BC). ![]() L'homothétie h de centre N, qui transforme I en P, transforme (IL) en sa parallèle (PQ), donc transforme L en Q. Classe de 2nde Dans le repère (A, Si les coordonnées de M sont (a, b), celles des points d'intersection avec le parallélogramme sont : I(a, 0); J(a, 1) ; L(0, b) et K(1, b). En calculant la différence de ces deux équations et en substituant on obtient : Le point N est bien sur la diagonale (AC) d'équation x – y = 0, Remarque : démonstration de (IL) // (PQ). | ||||||||||||||||||||
4. Carré inscrit dans un triangleSoit ABC un triangle. Trouver un carré DEFG inscrit dans le triangle ABC : ses sommets sont sur les côtés du triangle ; deux des sommets du carré sont sur [AB], un troisième sur [AC] et le quatrième sur [BC]). 4.a. Construction avec une homothétie![]() Tracé avec une homothétie de centre C Construire un carré de côté [AB] et utiliser une homothétie de centre C pour trouver le côté [DE] du carré solution.
Cas particulier : carré inscrit dans un triangle rectangle Trois carrés inscrits dans un triangle : voir problème de Grèbe Carré d'aire maximale, voir : olympiades Versailles 2005 | ||||||||||||||||||||
4.b. Problème BOA![]() Les perpendiculaires à (CB’) issue de A et à (CC’) issue de B se coupent en I. Démonstration par les rotations : ou figure du « moulin à vent » d'Euclide | ||||||||||||||||||||
4.c. Homothétie de centre AClasse de cinquième ![]() Placer un point M sur le côté [AC] du triangle. Soit P la projection orthogonale de M sur la droite (AB). Avec GéoPlan, on peut chercher une solution en déplaçant le point M. | ||||||||||||||||||||
ConstructionTracer un carré MPQR quelconque dont deux des sommets sont sur [AB] et un sur [AC]. Joindre A au quatrième sommet de ce carré et prolonger la droite (AR) jusqu'à ce qu'elle rencontre [BC]. Le point d'intersection F sera un sommet du carré recherché. ![]() Preuve La droite (AR) rencontre la droite (BC) en F. Voir : la géométrie à l'épreuve pratique de terminale S avec GéoPlan et GéoSpace. | ||||||||||||||||||||
5. Carré inscrit dans un demi-cercle![]() L'École d'Athènes - Raphaël, vers 1510 - Musée du Vatican 5.a. Carré inscrit entre un demi-cercle et son diamètreClasse de première L Construire un carré de côté [AB] et utiliser une homothétie de centre O milieu de [AB]. ![]() Longueur du côté d'un carré inscrit dans un demi-cercle : En effet, si le côté du carré est 1, alors OA’ = ABEF est un « rectangle AB’C’F et A’BED’ sont des rectangles d'or de longueur φ et de largeur 1. Voir tracé régulateur Construction du pentagone à partir d'un carré inscrit dans un demi-cercle | ||||||||||||||||||||
5.b. Construction du carré dans un demi-cercle![]() À partir d'une autre homothétie Une deuxième homothétie de rapport En étudiant les triangles semblables de la figure, on trouve que le centre M d'homothétie, situé sur la médiatrice de [AB], est tel que IM = AB × Variante Quelles sont les positions pour lesquelles la longueur du rectangle est le double de la largeur ? | ||||||||||||||||||||
6. Prouver un point de concours![]() Deux carrés ABCD et BEFG ont un sommet commun B et deux côtés alignés : Montrer que les droites (AB), (DG) et (CF) sont concourantes. | ||||||||||||||||||||
7. Triangle à côtés perpendiculaires![]() Problème de constructionConstruire un triangle MNP inscrit dans un triangle ABC ayant ses « côtés perpendiculaires » à ceux du triangle ABC. | ||||||||||||||||||||
Analyse Soit un point M de [AB]. On appelle N le projeté orthogonal de M sur (BC), P le projeté orthogonal de N sur (AC), Q le projeté orthogonal de P sur (AB). En général, la ligne brisée MNPQ ne se referme pas et on appelle R le point d'intersection des droites (MN) et (PQ). Géométrie dynamique Déplacer le point M. On trouve une solution lorsque les points M et Q sont confondus avec le point R. ![]() Le problème admet une solution : figure ci-dessus Soit x l'abscisse du M dans le repère (B, La fonction qui à x fait correspondre y est une fonction affine décroissante de l'intervalle [0, 1]. Construction géométrique de la solution : figure ci-contre à droite. La trace du point R est une droite passant par C permettant de mettre en évidence des homothéties de centre C. | ||||||||||||||||||||
Utilisation des propriétés de l'homothétie![]() Synthèse La droite (CR) rencontre (AB) en M’. L'homothétie de centre C qui transforme R en M’ transforme N en N’ et P en P’. Le triangle M’N’P’ a ses côtés parallèles aux côtés de RNP, donc orthogonaux aux côtés du triangle ABC. | ||||||||||||||||||||
Une deuxième solution![]() En plaçant le point N1 sur la perpendiculaire à (AB) en M, on construit le triangle N1P1>R1. La droite (CR1) rencontre (AB) en M”. L'homothétie de centre C qui transforme R1 en M” permet de construire une deuxième solution : le triangle M”N”P”. | ||||||||||||||||||||
Problèmes de contact8. Homothéties transformant deux cerclesTangentes communes à deux cercles Soit deux cercles c(O, r) et c’(O’, r’) tel que r < r’, 8.a. Cercles d'un même côté des tangentes![]() | ||||||||||||||||||||
8.b. Quatre tangentes pour deux cercles non sécants![]() Il existe une homothétie de rapport positif r’/r transformant (c) en (c’). Le centre I de cette homothétie est situé sur la ligne des centres (OO’). Par I on peut mener deux tangentes communes aux deux cercles. De même, on trouve le centre J de l'homothétie de rapport négatif −r’/r, transformant (c) en (c’), en traçant le point M2 de (c’), tel que le rayon OM2 soit parallèle à OM et de sens contraire. Étudier les cas particuliers où les cercles ont le même rayon : il existe deux tangentes communes parallèles à la ligne des centres. En conclusion si un des cercles est l'intérieur de l'autre, pas de tangente commune. Voir l'adaptation au collège de cet article dans : constructions en troisième les constructions avec deux cercles auxiliaires : le cercle au collège Application Tracer les diamètres perpendiculaires à la ligne des centres. Lorsqu'elles existent, les droites passant par les extrémités des diamètres rencontrent la ligne des centres aux centres d'homothétie. | ||||||||||||||||||||
8.c. Axe radicalNotion disparue de l'enseignement français au lycée. L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles. Voir géométrie du cercle | ||||||||||||||||||||
8.d. Tangentes aux points de contactSoit I le point d'intersection des tangentes extérieures à deux cercles extérieurs. Par I, on trace une droite qui coupe les deux cercles en quatre points. Les tangentes en ces quatre points forment un quadrilatère. ![]() Le point I existe si les cercles (c) et (c’) sont de rayons différents, il est alors le centre d'homothétie positive de ces deux cercles. 8.d. a. La sécante menée par I coupe (c) en A et B et (c’) en ses images A’ et B’. 8.d. b. Les tangentes en A et B se coupent en C, les droites images, tangentes en A’ et B’ au cercle (c’), se coupent en E. 8.d. c. Les triangles BAC et BA’D, ayant leurs côtés deux à deux parallèles ou confondus, sont homothétiques. | ||||||||||||||||||||
9. Cercle tangent à deux droites, passant par un point donné![]() On donne deux droites (d1), (d2) sécantes et un point A n'appartenant pas à ces droites. AnalysePlacer un point variable Ω sur la bissectrice de (d1, d2) située dans le même secteur angulaire que A et tracer le cercle (c), passant par H projection orthogonale de Ω sur la droite (d1). Ce cercle est tangent aux deux droites. Construction de Wallis basée sur la puissance d'un point par rapport à un cercle : | ||||||||||||||||||||
Solution avec un cercle auxiliaireUtiliser des homothéties, de centre I, transformant le cercle (c) en des cercles passant par A. ![]() Étant donné un cercle (c), la droite (IA) rencontre (c) en deux points A1 et A2. Les cercles (c1) et (c2), passant par A, tangents à (d1) et (d2), sont les deux solutions du problème. | ||||||||||||||||||||
10. Homothétie, triangle et centre de gravité![]() ABC est un triangle; Les points A, B et C sont les images de A’, B’ et C’ par l'homothétie h de centre G et de rapport −2. Le triangle A’B’C’, dont les sommets sont les pieds des médianes, est le triangle médian du triangle ABC. Les droites des milieux partagent le grand triangle en quatre triangles homothétiques : dans le rapport
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Exercice 10.a.![]() Soit P, Q et R les symétriques d'un point M du plan par rapport aux milieux A’, B’ et C’ des côtés d'un triangle ABC. Montrer que les segments [AP], [BQ] et [CR] ont même milieu. Solution : composée d'homothéties La composée de l'homothétie f de centre M et de rapport
Le centre I est donc le milieu des segments [AP], [BQ] et [CR]. | ||||||||||||||||||||
Exercice 10.b.![]() Soit ABC un triangle ; les points A’, B’ et C’ les milieux des côtés [BC], [CA] et [AB] ; G son centre de gravité. Étant donné un point M du plan, montrer que la parallèle à (MA’), passant par A, la parallèle à (MB’), passant par B, et la parallèle à (MC’), passant par C, sont concourantes. Solution Le point P de concours est l'image de M par l'homothétie h de centre G et de rapport − 2. L'homothétie h transforme (A, B, C) en (A’, B’, C’) et M en un point P. Ces trois droites sont concourantes en P. | ||||||||||||||||||||
Table des matièresIndex Transformations Homothétie dans d'autres pages du site Cordes de cercles tangents et point fixe : Angles - Rotations Quadrilatère complet : le plan projectif Euler : la géométrie du triangle Parallélogramme et homothétie : partage en trois Lieu du transformé d'un point mobile sur un cercle | ||||||||||||||||||||
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