Descartes et les Mathématiques
Section de tétraèdre par un plan
Sur tablette ou smartphone, on bascule automatiquement vers la version GeoGebra 3D
Intersection d'un plan avec les faces ou avec le plan de base d'un tétraèdre.
Sommaire
1. Triangle comme section d'un tétraèdre
2. Parallélogramme comme section d'un tétraèdre
3. Quadrilatère comme section d'un tétraèdre par un plan
4. Trapèze comme section d'un tétraèdre
5. Trois points sur les faces d'un tétraèdre
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Programme de 1ère S (2009)
La géométrie dans l'espace est source de situations permettant de mettre en œuvre de nouveaux outils de l'analyse ou de la géométrie plane, notamment dans des problèmes d'optimisation.
Malgré cet entête, la géométrie dans l'espace a disparu du nouveau programme !
Sections planes : En général, dans les exercices ci-dessous nous décrivons la construction point par point des sections, en explicitant les divers cas particuliers.
Avec GéoSpace, lorsque l'on s'intéresse uniquement au résultat, il est possible de créer facilement ces sections avec le menu :
Ligne>Polygone convexe>Section d'un polyèdre par un plan.
Dans ce cas, les sommets ne sont pas nommés, donc non réutilisables.
1. Triangle comme section plane d'un tétraèdre
Coupe d'un tétraèdre par un plan
Soit trois points I, J et K sur les arêtes concourantes au sommet A d'un tétraèdre
Télécharger la figure GéoSpace tet_1tp1.g3w
Figure 3D dans GeoGebraTube : triangle comme section plane d'un tétraèdre
Plan déterminé par leurs intersections avec des arêtes concourantes
I est un point de [AB], J de [AC] et K de [AD].
a. Section plane
Créer la section du tétraèdre par le plan (IJK).
Déplacer les points I, J et K et observer la section obtenue.
b. Trouver l'intersection du plan (IJK) avec le plan de base (BCD).
Dans la face ABC, étudier l'intersection des droites (IJ) et (BC). On suppose que ces deux droites ne sont pas parallèles, leur point L d'intersection appartient aux plans (IJK) et (BCD).
De même dans la face ACD, étudier l'intersection des droites (JK) et (CD). Si ces deux droites sont parallèles, voir le cas particulier ci-dessous, sinon leur point M d'intersection appartient aux plans (IJK) et (BCD).
On en déduit alors que le plan (IJK) coupe le plan horizontal (BCD) suivant la droite (ML).
Enfin, trouvez le point N d'intersection des droites (KI) et (BD) situé dans la face ABD.
En général ces deux droites sont sécantes en N.
Règle d'incidence : Pour prouver l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans.
Les points L, M et N, lorsque qu'ils existent, sont alignés. Ces points appartiennent à la droite d'intersection des plans (IJK) et (BCD).
1.b. Cas particulier : section par un plan parallèle à une arête du tétraèdre
Par exemple : trouver l'intersection avec la base d'une section contenant une droite (JK), parallèle l'arête (CD).
On suppose que le point I n'est pas dans un plan parallèle à la base BCD.
L est le point d'intersection des droites (IJ) et (BC),
N est le point d'intersection des droites (KI) et (BD).
(LN) est la droite d'intersection des plans (IJK) et (BCD).
D'après le théorème du toit, (LN) est parallèle à (CD).
Télécharger la figure GéoSpace tet_1_para.g3w
Figure 3D dans GeoGebraTube : section du tétraèdre par un plan parallèle à une arête
2. Parallélogramme comme section par un plan parallèle à deux arêtes du tétraèdre
Tracer la section d'un tétraèdre par un plan parallèle à deux arêtes
Construction
ABCD est tétraèdre.
M est un point de l'arête [AC].
Construire la section du tétraèdre par le plan (P) passant par M et parallèle aux arêtes [AB] et [CD].
Montrer que la section plane MNQR est un parallélogramme.
Démonstration
(CD) est parallèle à (MN). Par le théorème du toit (QR), intersection des plans (P) et (BCD), est parallèle à (CD).
Donc (MN)//(QR).
De même (MR) //(AB) est parallèle à (NQ).
MNQR est un parallélogramme.
Figure 3D dans GeoGebraTube : parallélogramme comme section du tétraèdre
2.b. Réciproque : parallélogramme comme section d'un tétraèdre
ABCD est un tétraèdre non aplati.
Montrer que si l'intersection d'un plan et d'un tétraèdre est un parallélogramme, les côtés
du parallélogramme sont parallèles à des côtés du tétraèdre.
Si la section IJKL est un parallélogramme, les droites (IJ) et (LK) sont parallèles, la droite (IJ) est contenue dans le plan (ABC), (LK) contenue dans le plan (DBC). Ces plans se coupent selon la droite (BC), d'après le théorème du toit les droites (IJ) et (LK) sont parallèles à (BC).
De même, les droites (IL) et (JK) sont parallèles à (AD).
La section plane est parallèle à deux arêtes du tétraèdre.
Deux parallélogrammes, sections d'un tétraèdre, parallèles à deux arêtes
Soit I un point de l'arête[AB] d'un tétraèdre ABCD.
Par I on peut tracer deux couples de droites d1 et d2 parallèles aux arêtes opposées (BC) et (AD), ou d3 et d4 parallèles aux arêtes opposées (AC) et (BD).
Les plans passants par I, contenant les droites d1et d2 d'une part (cas de la figure), ou d3 et d4 d'autre part, coupent le tétraèdre suivant des parallélogrammes de sommet I.
Figure 3D dans GeoGebraTube : 2 parallélogrammes sections planes du tétraèdre
2.c. Trois parallélogrammes, sections planes d'un tétraèdre, passant par un point
Par un point M d'une face non situé sur une arête du tétraèdre, on peut faire passer trois droites parallèles aux côtés de cette face. Les sections des trois plans contenant ces droites et parallèles aux arêtes opposées sont des parallélogrammes contenant M.
Figure 3D dans GeoGebraTube : trois parallélogrammes sections planes du tétraèdre
Pour un point M de l'espace non situé sur les arêtes du tétraèdre, il existe trois plans, passant par M, coupant le tétraèdre suivant des parallélogrammes.
Figure 3D dans GeoGebraTube : 3 parallélogrammes comme sections du tétraèdre
3. Quadrilatère comme section d'un tétraèdre par un plan
Section d'un tétraèdre par un plan déterminé par deux points sur deux arêtes concourantes et un troisième point sur une autre arête
Quadrilatère comme section d'un tétraèdre.
Télécharger la figure GéoSpace tetra_s2.g3w
3.b. Construction d'un quadrilatère comme section d'un tétraèdre
I est un point de [AB], J de [AC] et K de [CD].
Section plane par le plan (IJK)
Si (IJ) n'est pas parallèle à (BC), ces deux droites se coupent en M.
La droite (MK) coupe [BD] en L.
Le quadrilatère IJKL est la section du tétraèdre par le plan (IJK).
Voir ci-dessus le cas particulier du parallélogramme.
Figure 3D dans GeoGebraTube :quadrilatère comme section plane d'un tétraèdre
Section d'un tétraèdre par un plan déterminé par deux points sur deux arêtes concourantes et un troisième point sur la quatrième face ne contenant pas ces arêtes.
Figures 3D dans GeoGebraTube
Figure de base : trois points sur un tétraèdre - Correction
Réalisation : construction de la section plane d'un tétraèdre
4. Trapèze comme section d'un tétraèdre
Télécharger la figure GéoSpace tet_3tp1.g3w
Figure 3D dans GeoGebraTube : trapèze comme section plane d'un tétraèdre
Cette activité est extraite du logiciel INTERESP, qui accompagne GéoSpace.
Sur un tétraèdre ABCD, soit I le milieu du segment [AD], J le milieu du segment [BD] et K un point de la face (ABC).
Construire la section du tétraèdre par le plan (IJK).
Solution :
(IJ) droite des milieux du triangle ABD est parallèle à (AB). Par le théorème du toit, l'intersection du plan (IJK) et du plan (ABC) est la droite parallèle à (AB) passant par K. Cette droite rencontre (BC) en L et (AC) en M.
La section plane est le trapèze IJLM.
5. Section plane passant par trois points I, J et K situés sur les faces d'un tétraèdre
Télécharger la figure GéoSpace tet_2tp1.g3w
Figure 3D dans GeoGebraTube section déterminée par 3 points sur 3 faces d'un tétraèdre
Si le plan (IJK) est parallèle au plan de base (BCD), la section est un triangle aux côtés parallèles à ceux du triangle ABC, contenant les trois points I, J K.
Sinon :
a. Trouver l'intersection du plan (IJK) avec la base (BCD).
Utilisez les plans (AIK) et (AJK).
Montrez que le plan (IJK) coupe le plan horizontal (BCD) suivant la droite (QR).
b. Trouver l'intersection de la section plane avec les autres faces du tétraèdre.
Tracez le point d'intersection S de la droite (QR) avec (BC) et déduisez-en l'intersection du plan (IJK) avec la face (ABC).
Si le point S est entre B et C, la section est un quadrilatère, sinon lorsque S est à l'extérieur de [BC], on obtient une section triangulaire.
6. Parallélogramme et tétraèdre
Télécharger la figure GéoSpace tet_3tp2.g3w
Figure 3D dans GeoGebraTube : parallélogramme dans un tétraèdre
ABCD est un tétraèdre, I et J sont les milieux respectifs de [AC] et [BD]
8.a. Montrer l'égalité vectorielle 
+ 
= 2 
8.b. Soit k un réel donné dans l'intervalle ]0, 1[.
On définit les points M, N, P, Q par :
= k 
; 
= k ; 
= k 
; 
= k .
Montrer que MNPQ est un parallélogramme. Soit K son centre.
Montrer 
= k , donc que K appartient au segment [IJ].
Pour k = 
, on trouve que K, centre de gravité du tétraèdre, est le milieu des trois segments dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées.
8.c. Démontrer qu'étant donné un point K du segment [IJ], il existe un unique point N de [AD] et un unique point Q de [BC] tels que K soit le milieu de [NQ].
7. Projection orthogonale
Montrer qu'un tétraèdre se projette orthogonalement sur un plan suivant un parallélogramme si et seulement s'il admet deux arêtes opposées dont les milieux sont sur une même perpendiculaire au plan de projection.
Indications
Les projections des deux arêtes opposées sont les diagonales du parallélogramme. Le point K, projection des milieux des arêtes, est le milieu des diagonales. Les diagonales se coupent en leur milieu, d'où parallélogramme.
Réciproquement, si la projection est un parallélogramme, la perpendiculaire au plan de projection passant par le milieu des diagonales intercepte les milieux des arêtes.
Télécharger la figure GéoSpace tet_4tp2.g3w