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Le cube en seconde

Icône GéoSpace Ancienne version GéoSpace, adaptation à GeoGebra en cours.

La géométrie dans l'espace en seconde avec GeoGebra 3D: coin d'un cube - sections planes.

Sommaire

1. Longueur d'une diagonale d'un cube

2. Coin d'un cube

3. Intersection d'une droite et d'un plan, avec un cube

4. Droite parallèle à un plan, dans un cube

5. Cube et droites parallèles
    Droite parallèle à un plan, dans un cube

6. Section de cube et patrons

7. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

8. Section plane d'un cube par un plan passant par trois des sommets

1. Comment calculer la longueur d'une diagonale d'un cube

Géométrie dans l'espace - diagonale d'un cube - copyright Patrice Debart 2009

Dans le cube ABCDEFGH, de côté a, pour calculer la longueur de diagonale [AG], étudier le triangle rectangle ACG.

Dans le carré ABCD, AC2 = l2 a2, et la diagonale AC a pour longueur  arac(2).

Avec le théorème de Pythagore dans ACG on a :

AG2 = AC2 + GG2 = 2 a2 + a2 = 3 a2.

La longueur d'une diagonale, du cube de côté a, est arac(3).

2.a. Coin d'un cube

geogebra 3d - triangle équilatéral comme section de cube - copyright Patrice Debart 2014

Coin de cube FBEG

Triangle médian dans un coin de cube

Geogebra 3D - triangle dans un coin de cube - copyright Patrice Debart 2015

On appelle « coin de cube » le tétraèdre trirectangle ABCD formé par trois arêtes d'un cube concourantes en un sommet A, et des diagonales des faces du cube qui joignent les autres extrémités de ces arêtes.

Orthocentre d'un tétraédre trirectangle

Géométrie dans l'espace - projection sur la face diagonale du coin de cube - copyright Patrice Debart 2009

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : coin de cube ; : triangle médian dans un coin de cube

Soit H le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD). Montrer que le point H est l'orthocentre du triangle BCD.

La droite (AD), perpendiculaire au plan (ABC), est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite (BC). Les arêtes opposées du coin de cube sont orthogonales. Le point A est l'orthocentre de ce tétraèdre trirectangle.

BCD est un triangle équilatéral. Si I, J et K sont les milieux des côtés de triangle, IJK est aussi un triangle équilatéral et, par exemple, la droite (JK), parallèle à (BC), est orthogonale à (AD).

2.b. Calcul de la hauteur AH

Dans la troisième figure ci-dessus, ABCD est un coin de cube de côté a = 4 cm et I le milieu de [BC]. (AH) est la hauteur abaissée sur la face (BCD).

Méthode 1 : calculer la longueur AH en exprimant de deux façons le volume V du tétraèdre ABCD, de base ABC et de sommet D.

L'aire de la base est égale à la moitié de celle du côté du cube, soit SABC = 1/2 a2,, et la hauteur est AD = a.
Le volume est : V = 1/3 × aire de la base × hauteur = 1/3 SABC × a = 1/6 a3.

V est aussi le volume du tétraèdre ABCD, de base BCD et de hauteur AH :
BCD est un triangle équilatéral de côté la diagonale du carré aracine de 2. La hauteur de ce triangle équilatéral est DI = BD rac(3)/2 = arac(6)/2.
SBCD = 1/2 BC × DI = 1/2 arac(2) × arac(6)/2 = a2 rac(3)/2.

V = 1/3 SBCD × AH = 1/3 × a2 rac(3)/2 × AH = 1/6 a2rac(3) × AH.

On obtient la longueur AH = arac(3)/3

Méthode 2 : calcul d'inverses de carrés

Dans le triangle ABC rectangle en A de hauteur (AI) exprimer de deux façons l'aire :
2 Aire(ABC) = AI × BC = AB × AC et BC2 = AB2 + AC2

D'où AI2 = AB².AC²/BC² et 1/AI²=1/AB²+1/AC²

De même, dans le triangle AID rectangle en A de hauteur (AH) : AH²=1/AI²+1/AD²

On trouve finalement 1/AH²=1/AB²+1/AC²+1/AD²

Dans le cas particulier AB = AC = AD = a on retrouve la longueur AH = arac(3)/3

Application : En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre montrer que :

Aire2(BCD) = Aire2(ABC) + Aire2(ABD) + Aire2(ACD).

En classe de première, il est possible de généraliser avec un coin de pavé droit.

Voir aussi orthogonalité dans un cube : géométrie dans l'espace en TS et TES

3. Intersection d'une droite et d'un plan, avec un cube

Géométrie dans l'espace - intersection avec un cube - copyright Patrice Debart 2004

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I et J sont deux points des faces (ABFE) et (BCGF).

Trouver le point d'intersection (éventuel) de la droite (IJ) avec la face (EFGH).

Indication

Trouver un plan (p) contenant la droite (IJ). Si ce plan n'est pas horizontal, il coupe le plan (EFG) selon une droite (d).
Lorsqu'il existe le point M, intersection des droites (d) et (IJ), est le point où la droite (IJ) rencontre le plan de la face supérieure du cube.

Par exemple, trouver un plan vertical contenant (IJ) :

Soit I’ la projection orthogonale de I sur la droite (EF) et J’ la projection de J sur (FG). (II’) et (JJ’) sont deux droites parallèles, les points I, J, I’ et J’ sont coplanaires dans un plan (p).
Les plans (p) et (IJ) se coupent selon la droite (I’J’).

Si les droites (IJ) et (I’J’) sont parallèles, la droite (IJ) est parallèle à la face (EFGH),
sinon elles se coupent en M qui est le point d'intersection de la droite (IJ) avec le plan (EFG).

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_droite.g3w

4. Droite parallèle à un plan, dans un cube

Géométrie dans l'espace - droite parallèle à un plan

Exemple de résolution d'un problème en utilisant diverses méthodes :

  • Méthodes géométriques et règle d'incidence
  • Méthode vectorielle
  • Méthode analytique

Exercice

Sur les arêtes d'un cube de côté 4 cm, on place les points I et J tels que :

vec(DI) = 1/4 vec(DC) et vect(CJ) = 1/4 vect(CB).

Démontrer que la droite (HI) est parallèle au plan (EGJ).

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_act.g3w

Cinq solutions

4.a. Méthode intuitive

Géométrie dans l'espace - droite parallèle à un plan - preuve

Pour s'en convaincre avec GeoGebra :

faire tourner la figure avec les touches CTRL + flèche droite jusqu'à ce que le plan (EGJ) soit vu parallèlement à l'axe de vision de l'observateur.

On constate que (HI) est bien parallèle à la trace de ce plan.

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_ac2.g3w

4.b. Méthodes géométriques et règle d'incidence

Géométrie dans l'espace - droite parallèle à un plan - preuve par incidence

La parallèle à (HI) passant par G coupe (CD) en K. CK = CJ.
Le triangle rectangle isocèle CJK a deux côtés parallèles à ceux du triangle HEG, donc de même pour les troisièmes côtés on a (JK) // (EG), d'où (JK) est une droite du plan (EGJ). (HI) parallèle à la droite (GK) du plan (EGJ) est parallèle à ce plan.

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_ac3.g3w

Géométrie dans l'espace - droite parallèle à un plan - preuve par incidence

Avec le point L de [AB] tel que AL = AB/4, on peut faire une démonstration analogue plus difficile :
  – en montrant que la droite (HI) est parallèle à la droite (EL)
  – en utilisant le triangle rectangle isocèle BLJ égal aux trois quarts du triangle FEG,
  – avec le parallélisme des bases, on vérifie que EGJL est un trapèze contenu dans le plan (EGJ).

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_ac4.g3w

4.c. Méthode vectorielle

Utilisons comme dans la première méthode le point K tel que vect(CK) = vec(DI) = 1/4 vec(DC).

vect(HI) = vect(HD) + vec(DI) = vect(GK) = vect(GC) + vect(CK).

Faire une introduction symbolique de vect(CJ) pour trouver vect(CJ) puis vec(JK) = −1/4vect(CA) :

vect(HI) = vect(GC) + (vect(CJ) - vect(CJ)) + vect(CK) = vect(GC) + vect(CJ) - 1/4 vect(CB) + 1/4 vect(DC)

vect(HI) = vect(GJ) - 1/4(vect(CB) + vect(CD)) = vect(GJ) - 1/4 vect(CA) = vect(CJ) - 1/4 vect(GE)

vect(HI) est parallèle au plan comme combinaison linéaire de deux vecteurs de ce plan ; la droite (HI) est bien parallèle au plan (EGJ).

4.d. Méthode analytique

Dans le repère (G, vect(GE), vect(GJ)) soit le point P de coordonnées (1/4, 0).

Le vecteur vect(PJ) a pour coordonnées (- 1/4, 1) ; il est donc égal au vecteur vect(GK) donc à vect(HI). On a donc vect(HI) = −1/4vect(GE) + vect(GJ) et on conclut comme ci-dessus.

5.a. Cube et droites parallèles

geogebra 3d - parallèles dans un cube - copyright Patrice Debart 2015

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I est le milieu de [EF] et J le milieu de [FG].

La droite (BI) coupe (AE) en M et la droite (BJ) coupe (CG) en N.

Montrer que les droites (IJ) et (MN) sont parallèles.

 

Les points I et J sont placés sur les segments [EF] et [FG] de telle façon que EI = JG.

Montrer que les droites (IJ) et (MN) sont encore parallèles.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : cube et droites parallèles

 

Remarque : le triangle BIJ est la section plane du cube par le plan (BIJ).

5.b. Droite parallèle à un plan, dans un cube

Géométrie dans l'espace - parallèles dans un cube - copyright Patrice Debart 2004

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre I, J et K sont les milieux respectifs de [AD], [BC] et [FG].

Montrer que le quadrilatère AIGK est un parallélogramme.

Montrer que la droite (AK) est parallèle au plan (HIJ) :

Démontrer que le vecteur vect(IG) est combinaison linéaire de vect(IJ) et vect(IH), puis avec le parallélogramme, montrer que la droite (AK) est parallèle à (IG), qui est incluse dans le plan (HIJ).

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_parallelogramme.g3w

Voir : activités

6. Section de cube et patrons

geogebra 3d - pentagone comme section du cube - copyright Patrice Debart 2015

Coupe d'un cube par un plan

Un point I est placé sur l'arête [AB] d'un cube ABCDEFGH. Par exemple tel que AI = 3/4 AB.
Sur les arêtes parallèles [DC] et [EF], on place les points J et K tels DJ = EK = 1/3 AI.

Il s'agit de construire, en papier Canson, les deux morceaux du cube découpé par le plan (IJK).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pentagone comme section du cube

6.a. Tracé de la section plane en perspective

geogebra 3d - construction de la section plane du cube - copyright Patrice Debart 2015

Comment construire une section d'un cube par un plan

 

Calcul de la position du point M. (Mise en équation utilisant le théorème de Thalès : MD = 1/2 AD), puis des points L, P et N.

6.b. Dessin en vraie grandeur de la section plane

geogebra 3d - vue de face de la section plane du cube - copyright Patrice Debart 2015

Technique : obtenir une vue de face du plan (IJK).

Vérifier que N et P partagent [ML] en trois segments de longueur égale.

Tracer le pentagone IJPNK. Vérifier que deux paires de côtés sont parallèles et que (NP) est parallèle à la diagonale (KJ).

6.c. Les deux parties du cube (GéoSpace)

Géométrie dans l'espace - partie de cube - copyright Patrice Debart 2009
Géométrie dans l'espace - partie de cube - copyright Patrice Debart 2009

g3w Télécharger les figures GéoSpace sec_cube_part1.g3w ; sec_cube_part2.g3w

7. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

Faire un losange à partir d'un cube.

Géométrie dans l'espace - section du cube en forme de losange - copyright Patrice Debart 2009

ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [BF]
et J est le milieu de [DH].

Les côtés du quadrilatère AIGJ sont de même longueur.
C'est un losange.

Le dessin suggère que les angles sont droits ?

g3w Télécharger la figure GéoSpace sec_cube4.g3w

Une vue de face du plan

.Géométrie dans l'espace - section de face d'un cube - copyright Patrice Debart 2009

Une vue de face du plan (IAJ) montre que le losange AIGJ n'est pas un carré

Les fervents du calcul peuvent démontrer que les diagonales du losange sont inégales : IJ = AC < AG.

8. Section par un plan passant par trois des sommets du cube

geogebra 3d - cube fortement tronqué - copyright Patrice Debart 2014

Cube fortement tronqué

Section plane du cube

Dans le cube ABCDEFGH, la section plane déterminée par les trois sommets des côtés d'extrémité F, autres que F, est un triangle équilatéral BEG, formé par trois diagonales de faces du cube.

« Cube » moins « coin de cube »

Le polyèdre formé par le cube, auquel on enlève le coin de cube BEGF, est le « cube fortement tronqué » ABCDEGH.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : coin de cube dans un cube en fil de fer
  – On y trouve les trois variantes : triangle équilatéral formé par trois diagonales de faces concourantes du cube
  – cube moins coin de cube
  – cube fortement tronqué

Sol LeWitt

cube - Sol LeWitt - copyright Patrice Debart 2009

Arts conceptuels

Wall drawings

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : cube fortement tronqué - Sol LeWitt

Tétraèdre inscrit dans un cube

Géométrie dans l'espace - tétraàdre inscrit dans un cube - copyright Patrice Debart 2009

Tétraèdre régulier BDEG inscrit dans le cube ABCDEFGH.

Les côtés du tétraèdre sont des diagonales de faces du cube.

Le tétraèdre régulier a un volume égal au tiers de celui du cube. Il est bordé de quatre coins de cube qui ont donc un volume égal au sixième de celui du cube.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : tétraèdre inscrit dans un cube

Table des matières

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Sections planes d'un cube

Icône GeoGebra Sections de cube en 3e

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Plan perpendiculaire à une diagonale : produit scalaire en 1ère S

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Page no 138, créée le 17/3/2009
adaptée à GeoGebra 3D le 4/2/2015