René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Mode d'emploi GeoGebra 3D

Journée régionale APMEP - Grenoble – 4 mars 2015

Atelier n°2 : GeoGebra 3D - Animateur : Patrice Debart.

Après une présentation de GeoGebra 3D, nous explorerons quelques fonctionnalités du logiciel à travers deux exercices : section plane d’un tétraèdre déterminée par trois points et recherche du volume minimal d’une pyramide contenant un cube.
Vous pouvez apporter votre ordinateur portable ou votre tablette. Il est également possible de sauvegarder vos travaux sur GeoGebra Tube.

NOEL Jean François- 20 février 2015

Sommaire

I. Premiers pas dans l'espace

II. Exercice pour la classe de troisième

III. Exercice pour le lycée

Logiciel gratuit de géométrie dans l’espace
GeoGebra permet de créer, représenter et voir sous différents angles des figures de l'espace. Celles-ci sont composées d'objets divers fixes ou variables : points, droites, plans, polygones…
Il intègre également la possibilité de créer et manipuler vecteurs, transformations, variables numériques, fonctions, etc.

I. Premiers pas dans l'espace : ne pas se noyer dans l'aquarium

Fenêtres 2D et 3D

Geogebra - Ecran d'accueil - copyright Patrice Debart 2014

Au lancement de GGB, nous obtenons classiquement les deux fenêtres algèbre et graphique (2D).

Ajoutons, à l’aide du menu Affichage, la fenêtre Graphique 3D.

Tout objet graphique créé sera inséré automatiquement dans la fenêtre 3D.

S'il y a lieu, la partie de l'objet située dans le plan (xOy) sera affichée dans la fenêtre graphique (2D).

Il y a alors automatiquement, dans la fenêtre algébrique, l'expression de l'objet avec trois coordonnées.

De même un objet, créé dans la fenêtre graphique 2D, sera inséré dans le plan horizontal du graphique 3D et son expression, avec deux coordonnées, insérée dans la fenêtre algébrique.

Avec la ligne de saisie, il est aussi possible de créer une expression qui sera insérée dans la fenêtre algébrique et qui créera un objet géométrique dans la fenêtre 3D et éventuellement dans la fenêtre 2D.

geogebra 3d - boîte de visualisation - copyright Patrice Debart 2014

La fenêtre 3D contient une « boîte de visualisation » avec un repère 3D gradué.

C'est « l'aquarium » de diagonales Coin[-1,1] ; Coin[-1,3] en bas et Coin[-1,5] ; Coin|-1,7] en haut.

Le plan (xOy) y est grisé.

geogebra 3d - grille dans la boite de visualisation - copyright Patrice Debart 2014

Utiliser la barre de style pour effacer les axes, faire apparaître la grille ou effacer le plan (xOy).

geogebra 3d - icône espace restreint - copyright Patrice Debart 2014

Pour effacer les contours de la « boîte de visualisation », cliquer sur l'icône « espace restreint ».

Clarifier la fenêtre 3D

ligne graphique 3D

Pointer dans la fenêtre 3D ; activer le menu écran en cliquant sur l'icône rotation.

Cliquer en dessous sur le bandeau Bandeau Graphique 3D pour faire apparaître la barre de style sur la figure de droite.

Ci-dessus à droite ; utiliser la barre de style pour effacer les axes, faire apparaître la grille ou effacer le plan (xOy)

Il est conseillé de sauver cette figure vierge, puis la reprendre pour commencer un nouveau travail.

Une seule figure avec deux zones

Figure GeoGebra vierge

Le plan (xOy) est le plan de la figure 2D visualisable dans une fenêtre graphique. Toute construction d’un objet dans la fenêtre 2D fera apparaître l’objet dans la fenêtre 3D, et réciproquement.

Placer un point dans l'espace
Maîtriser le déplacement de la flèche de sélection : horizontal dans le plan xOy ou vertical dans l’espace.
On ne peut placer un point directement dans l'espace : il faut promener la souris dans le plan horizontal, puis à partir de la croix, monter le point dans l'espace avec la double flèche vertical.

Réorganisation des fenêtres graphiques 2D et 3D

Déplacement des fenêtres graphiques

GeoGebra : Déplacement des fenêtres graphiques - copyright Patrice Debart 2014

Fenêtre 3D au-dessus de la fenêtre 2D

GeoGebra : Fenêtre 3D au dessus de la fenêtre 2D

Par défaut les fenêtres graphiques partagent l'écran verticalement.

Pour utiliser ces deux fenêtres l'une en dessous de l'autre, il suffit de déplacer la barre de séparation le plus à gauche possible.

barre de style

Maintenir le clic sur la ligne Bandeau Graphique 3D et en se déplaçant sur la gauche : un rectangle apparaît en haut de l'écran.

Il suffit de relâcher pour que le graphique 3D passe en haut de l'écran.

En travaillant les tailles des fenêtres, on obtient l'écran ci-dessus à droite.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : cube en fil de fer

Création d'objets 3D à l'aide d'outils

Outile GeoGebra 3D

Les outils des quatre colonnes de gauche sont identiques à ceux du plan.

Pour les transformations, on n’a toujours pas la projection.
Pour projeter, utiliser :
  - le point d’intersection de l’axe avec une perpendiculaire,
  - ou le milieu entre un point et son symétrique.

On n’ a pas plus la similitude : composer homothétie et rotation.

Outils utilisables uniquement dans la fenêtre graphique

Outils fenêtre 2D 2D

Curseur

Il est aussi possible de saisir la variable a = 2

puis l'afficher et régler les propriétés

Boite de sélection des objets

Après une construction, on a souvent envie de gommer les traits intermédiaires.

L'utilisation de cette icône est assez fastidieuse.

Condition pour afficher une image

Je préfère créer un booléen o= false, l'afficher.

Dans le menu propriété, onglet avancé, sélectionner tous objets et y entrer manuellement le nom o du booléen dans le champ de visibilité conditionnelle.

Comme o est à false, les objets disparaissent, ce qui permet de savoir où en est.

Outils polyèdre

La construction des principaux polyèdres y est possible et le logiciel gère correctement les arêtes et les faces cachées. Les Outils 3D permettent de construire :

Icônes Polyèdre

Pyramide

 
Prisme

Extrusion pyramide/cône

Extrusion prisme /cylindre

 
cône

cylindre

 
tétraèdre régulier

Cube

 
et leurs patrons à partir de la base située dans le plan horizontal.

 

D’autres outils permettent la représentation des sphères de rayon donné ou passant par un point.

Avec la ligne de saisie, Il aussi possible de construire dodécaèdre,   icosaèdre et octaèdre.
Comme tout les polyèdre il suffit de choisir deux points A et B dans le plan horizontal et de saisir poly=Polyèdre[A,B]

Outils pouvant poser problème

Droites perpendiculaie

Outils droite perpendiculaire

En cas difficulté, saisir en bas de l'écran :
d=Perpendiculaire[M, axeX,axeY] pour une perpendiculaire en M au PlanxOy.
Dès que l'on tape d=pe le logiciel propose la syntaxe précise :
d=Perpendiculaire[<Point>, <Plan>]

Icône intersection de surfaces

Outils intersection de surfaces

Pour l'intersection d'un plan et d'un polyèdre, avec la souris, il n'est pas facile de sélectionner tout le polyèdre et souvent on ne sélectionne qu'une seule face.
On a intérêt à montrer le plan, puis dans le menu algèbre, sélectionner Poly ;

ou bien, en bas de l'écran, saisir d=IntersectionChemins[Plan[A,B,C], Poly]
Dès que l'on tape d=Int le logiciel propose la syntaxe précise :
d=IntersectionChemins[ <Plan>, <Polygone> ]
Remplacer les <...> par le nom du plan et celui du polyèdre.

Étiquetage des nouveaux points

Étiquetterez des nouveaux points

Cette option évite d'afficher les noms des objets et des droites secondaires crées.

Barre de style

GeoGebra pour Ordinateurs

Pour visualiser la barre de style, cliquer sur le bouton ‘Bascule Barre de style' à gauche du titre Bandeau Graphique 3D dans le bandeau supérieur de la fenêtre.

Barre de style ordinateur

GeoGebra pour Tablettes ou Tube

Cliquer sur l'icône 3G icône 3G dans le coin supérieur droit de la fenêtre Graphique 3D.

barre de menu tablette.

La barre de style se développe vers la gauche, un autre clic efface le menu.

Barre de style tablette
trois premieres icônes

Afficher/cacher les axes, la grille, le PlanxOy ;

Maison (home) : retour (aléatoire) à la vue standard ;
Aimant : capture d’un point ;
Flèche circulaire : démarrer/arrêter la rotation autour d'un 'axe parallèle à axeZ.

geogebra 3d - icône espace restreint Espace restreint : petit, moyen, grand ;
Engrenage : dialogue propriété pour les objets de la figure ;
Trois carrés verticaux : affichage de nouvelles fenêtres.

II. Section déterminée par trois points sur un tétraèdre

figure geogebra 3d - tétraèdre - copyright Patrice Debart 2015

ABCD est un tétraèdre. I et J sont deux points sur les arêtes [AB] et [BC] ; K est un point sur la face ACD ne contenant pas les points I et J. - Étudier la section plane du tétraèdre par le plan (IJK).

1) Tracer la section plane avec GeoGebra
2) Construire l'intersection du plan avec les faces du tétraèdre.

Avec GeoGebra
Charger la figure de figure de base de GeoGebra Tube : Trois points sur un tétraèdre

Dans GeoGebra : Fichier > ouvrir depuis GeoGebraTube > rechercher Trois points sur un tétraèdre
ou avec un navigateur : https://www.geogebra.org/m/CvlxGcbD - Figures ci- dessous : Correction

Construction du point K

figure geogebra 3d - section plane du tétraèdre - copyright Patrice Debart 2015

Saisie K=point[ACD]

ou faire une rotation pour placer le plan (ACD) de face, et y placer le point K ;
ou encore cacher les faces ABD, BCD; placer K, puis réafficher les deux faces.

1) Icône intersection de surfaces Section plane d’un tétraèdre – figure dynamique

Tracer la section plane avec l’outil GeoGebra intersection de surface,
ou avec la saisie de la commande IntersectionChemins[ <Plan>, <Solide> ]

L'intersection du plan (IJK) avec les faces du tétraèdre ABCD est un quadrilatère IJHG.

figure geogebra 3d - construction de la section plane du tétraèdre - copyright Patrice Debart 2015

2) Construction l'intersection du plan avec les faces du tétraèdre.
Construction géométrique, en utilisant le point M d'intersection de l'arête (AC) avec la droite (IJ). Les intersections la droite (MK) avec les côtés du tétraèdre permet de trouver les deux autres sommets de la section.

figure geogebra 3d - section plane du tétraèdre veu de face - copyright Patrice Debart 2015

Vue de face : Sélectionnez la section plane pour que le plan qui la contient soit vu de face, le quadrilatère apparaît en vraie grandeur.

figure geogebra 3d - plan contenant la section tétraèdre - copyright Patrice Debart 2015

III. Cube dans pyramide

figure geogebra 3d - cube pose sur un carré - copyright Patrice Debart 2015

Un fabricant veut commercialiser un produit qui a la forme d'un cube, dans un emballage qui a la forme d'une pyramide régulière à base carrée.

Le but du problème est de trouver les dimensions d’une pyramide de volume minimal contenant un cube.

Variantes
- pyramide de surface minimale
- pyramide dont le patron est inscrit dans une feuille carrée de taille minimale.

Avec GeoGebra, charger la figure de base dans GeoGebra Tube :cube sur carré
ou dans le logiciel, choisir : Fichier > ouvrir depuis GeoGebraTube > rechercher : cube sur carré

Volume minimal d'une pyramide contenant un cube

figure geogebra 3d - cube inscrit dans une pyramide - copyright Patrice Debart 2015

Le cube posé sur le PlanxOy a pour trace, dans ce plan, le carré ABCD.
Dans ce même plan le carré PQRT, de côté x1, a même centre I et leurs côtés sont deux à deux parallèles.

Figure ci-contre

On a construit le sommet S d'une pyramide PQRTS contenant les sommets E, F, G et H du cube.

Figure ci-dessous

On a déplacé la fenêtre 3D pour faire apparaître dans la fenêtre graphique le repère vierge xOy.
Si v est le volume de la pyramide (commande v = volume[<solide>] ), dans la fenêtre graphique, placer le point M(x1, v) dont on garde la trace.
(J’appelle la variable x1, car les noms x, y et z sont réservés par le système)

Volume minimal d'une pyramide régulière à base carrée contenant un cube

figure geogebra 3d - graphique du volume d'un cube inscrit dans une pyramide - copyright Patrice Debart 2015

On obtient le minimum pour x = 6.

GeoGebra Tube

En projet

Commandes script

SoitValeur : voir le script par actualisation d'une case à cocher, pour afficher un tétraèdre régulier.

En projet

Table des matières

Icône GeoGebra…Avec GeoGebra 3D dans d'autres pages du site

Technique GeoGebra 3D : patron d'un polyèdre

GeoGebra 3D en 6e

5e prisme

4e Pyramide

3e Sections planes

2nde Incidence et cube

2de Tétraèdre

Sections de cube en 1S

Géométrie plane …avec GeoGebra 2D

Page mobile friendly Google friendly

Me contacter

Page no 204, créée le 7/3/2015