Axe orthique,
polaires de l'orthocentre par rapport au cercle circonscrit et au cercle d'Euler

1. Données

Soit ABC un triangle et cercle (c) son cercle circonscrit, de centre O.

On désigne par H son orthocentre ;
AA₁, BB₁, CC₁ : les trois hauteurs, A₁, B₁, C₁ les pieds des hauteurs, formant le triangle orthique, inscrit dans le cercle d'Euler (c’) du triangle ABC ;
Ω, milieu de [OH], est le centre du cercle d'Euler ;
A", B", C" : les milieux des segments [AH], [BH], [CH], situés sur le cercle d'Euler ;
A₂, B₂, C₂ : les intersections des trois hauteurs avec le cercle circonscrit (c), symétriques de l'orthocentre ;
P, Q, R : les intersections des droites (BC, B₁C₁), (CA, C₁A₁), (AB, A₁B₁) ;
P’, Q’, R’ : les intersections de (B"C", B₂C₂), (C"A", C₂A₂), (A"B", A₂B₂) ;
I, J, K : les intersections de (B₁C", BC₂), (C₁A", CA₂), (A₁B", AB₂) ;
I’, J’, K’ : les intersections de (C₁B", CB₂), (A₁C", AC₂), (B₁A", BA₂);
P₁, Q₁, R₁ : les intersections de (B"C", B₁C₁), (C"A", C₁A₁), (A"B", A₁B₁) ;
I₁, J₁, K₁ : les intersections de (B"C₁, C"B₁), (A"C₁, C"A₁), (B"A₁, A"B₁) ;
P₂, Q₂, R₂ : les intersections de (BC, B₂C₂), (CA, C₂A₂), (AB, A₂B₂) ;
I₂, J₂, K₂ : les intersections de (BC₂, CB₂), (CA₂, AC₂), (AB₂, BA₂) ;

2. Axe orthique, polaires de H par rapport au cercle d'Euler et au cercle circonscrit

• Les points P, Q, R sont alignés sur un même droite Δ, axe orthique du triangle, axe radical des deux cercles (c) et (c’),
  Les neuf autres points : P’, Q’, R’, I, J, K, I’, J’, K’ appartiennent à cet axe. Cette droite Δ contient donc douze points remarquables ;
• Les six points P₁, Q₁, R₁, I₁, J₁, K₁ appartiennent à une droite D₁, polaire de H par apport au cercle d'Euler ;
• Les six points P₂, Q₂, R₂, I₂, J₂, K₂ appartiennent à une droite D₂, polaire de H par apport au cercle circonscrit ;
• La droite Δ est perpendiculaires à la droite d'Euler (l'axe radical des deux cercles est perpendiculaire à la ligne des centres OΩ) ;
• Les droites D₁, D₂ et Δ sont parallèles et la droite Δ est équidistante de D₁ et de D₂ ;
• Dans l'homothétie de centre H, de rapport 2, D₂ est l'image de D₁, les points P₁, Q₁, R₁, I₁, J₁, K₁ ont respectivement pour images P₂, Q₂, R₂, I₂, J₂, K₂.

Figure

En 1990, date de ces trouvailles, Michel Saad avait aurait fait une démonstration par une méthode analytique basée sur les équations de cercles et de droites (niveau 1S) et tracé cette figure à la main.
Maintenant, avec le logiciel GeoGebra, il est possible de vérifier ces propriétés en quelques minutes, est-ce une preuve ?.

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3. Homothétie

Il est possible de trouver des démonstrations :
• en géométrie synthétique avec l'homothétie et la puissance d'un point par rapport à un cercle ;
• en terminale S avec les nombres complexes ou avec la méthode du barycentre ;
• au supérieur, comme ci-dessous, avec une transformation du plan comme l'inversion.

Indications pour une démonstration par l'homothétie

Par définition, dans l'homothétie de centre H, de rapport 2, le triangle A"B"C" a pour image ABC et le triangle orthique A₁B₁C₁ a pour image A₂B₂C₂. Les intersections des divers côtés parallèles, homologues dans l'homothétie, permettent de montrer l'alignement de H avec les points homologues P₁P₂…

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On obtient six parallélogrammes PP₁P’P₂… chaque parallélogramme ayant Δ comme diagonale, l'autre diagonale passant par le centre H.

Six autres points remarquables

La droite (HP₂), diagonale du parallélogramme PP₁P’P₂, coupe Δ au « centre remarquable » P’’, milieu des diagonales [P₁P₂] et [PP’].

Les six milieux de ces diagonales [P₁P₂], [Q₁Q₂], [R₁R₂], [I₁I₂], [J₁J₂], [Q₁Q₂] et [K₁K₂] sont autant de points remarquables situés sur l'axe orthique Δ.
Ces milieux sont donc les images des six points P₁, Q₁, R₁, I₁, J₁, K₁ de la droite D₁, par l'homothétie de centre H et de rapport , ces images sont bien situés sur Δ.

4. Détermination géométrique du centre du cercle d'Euler

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• Les droites (AI₁), (BJ₁), (CK₁) sont concourantes en Ω, centre du cercle d'Euler (c’) du triangle ABC.

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5. Indications pour une démonstration par inversion

Une inversion de pôle H transforme le cercle circonscrit (c) en (c’), cercle d'Euler.
Dans cette inversion, le point A a pour image A₁. Si M est un point de (c), la droite (MH) coupe (c’) et en choisissant le point d'intersection situé à l'extérieur du segment [MH], on trouve le point M’ image de M par l'inversion.

La droite (AM) et, son antihomologue, la droite (A₁M’), se coupent en un point S, situé sur l'axe radical des deux cercles.
Cette remarque, avec la figure ci-dessous, permet de retrouver 4 points remarquables de l'axe Δ.

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Où l'on retrouve la droite Δ, contenant les deux points Q et R, ainsi que les points K et J, comme axe orthique

En plaçant M en B, puis en C, on montre que la droite Δ, contenant les points Q et R, est l'axe orthique. Le troisième point P se trouve à partir de (BM) et B₁ (ou C et C₁).

En plaçant M en B₂, puis en C₂, on trouve que K et J sont sur l'axe radical.

Technique GeoGebra : déplacer le point M sur le cercle (c).

D'autres points sur Δ

Cinq autres points remarquables se retrouvent par permutation circulaire : à la place de A, mettre B avec (BM) et, son antihomologue, la droite (B₁M’),
puis mettre C avec (CM) et, son antihomologue, la droite (C₁M’).

Par ailleurs, le point P’ est l'intersection de (B₂C₂) et de son antihomlogue (B"C") ; de même pour Q’ et R’.

L'inversion a donc permis de démontrer que les 12 premiers points remarquables étaient sur l'axe orthique.

Intersections de tangentes

Par position limite, les tangentes en M au cercle (c) et en, son homologue, M’ au cercle (c’), se coupent en S sur l'axe radical.

Il semble que cette appliquette Java, créée avec GeoGebra, ne fonctionne pas sur votre ordinateur.

Technique GeoGebra : déplacer le point M sur le cercle (c).

Remarque : S est l'intersection de la médiatrice de [MM’] avec Δ. En effet, comme S est sur l'axe radical, MS², la puissance de S par rapport à (c) est égale à M’S², puissance de S par rapport à (c’). MS = M’S, le triangle MM’S est isocèle, et on retrouve une propriété générale de l'inversion de deux courbes : les tangentes en deux points homologues M et M’ sont symétriques par rapport à la médiatrice de [MM’].

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Trois paires de tangentes

Par position limite, dans la situation 5 de la droite (AM), lorsque M tend vers A, on trouve les tangentes en A au cercle (c) et en A₁ au cercle (c’) qui se coupent sur l'axe radical en T.

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Par permutation circulaire on trouve le point U, intersection des tangentes en B au cercle (c) et en B₁ au cercle (c’),
puis le point V, intersection des tangentes en C au cercle (c) et en C₁ au cercle (c’).

Les points T, U, V sont trois autres « points remarquables » sur Δ.

Trois autres paires de tangentes

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Les points D, E et F sont trois autres points, soit 24 « points remarquables » sur Δ.

Glossaire

Axe orthique

L'axe orthique d'un triangle est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle d'Euler de ce triangle. Il est perpendiculaire à la droite d'Euler.

Axe radical

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles. C'est une droite perpendiculaire à la ligne des centres. Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.
Les tangentes menées aux deux cercles, à partir d'un point de l'axe radical (extérieur aux deux cercles), ont la même longueur.

Voir : géométrie du cercle

Bibliographie

Peu de références et de démonstrations sur le net. On peut retrouver l'axe orthique L3 et les points X230, X232 et X523 dans MathWorld ?

Dans cette page, assez souvent, je me contenterai de la démonstration par « GeoGebra » qui me semble suffisamment sûre !