René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Aire minimale d'un triangle inscrit dans un rectangle

Optimisation en classe de seconde avec GeoGebra

Deux cadres dans l'écran GeoGebra :
le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction permettant la recherche d'extremums.

Sommaire

Recherche de minimum

Parabole avec GeoGebra

Énoncé

On considère un rectangle ABCD tel que  AB = 5 et BC = 3.
On place les points M, N et P respectivement sur les segments ]AB[, ]BC[ et ]AD[ de telle sorte que les longueurs AM, BN et DP soient égales.

Il s'agit de déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que l'aire du triangle MNP, inscrit dans le rectangle, soit minimale.

Classes de seconde et première

Objectifs mathématiques

  – Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d'optimisation.
  – Expliciter, sous différents aspects (graphique, calcul), la notion de fonction.
  – Décrire le comportement et exprimer le minimum de l'aire conjecturé

Objectifs informatiques

  – Construire une figure et une courbe avec un logiciel de géométrie dynamique.
  – Conjecturer une aire et un minimum.

figure géométrique et optimisation d'une fonction - triangle dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2011

Sur une feuille de travail GeoGebra, on affiche les axes.
  – On construit le rectangle ABCD avec A et B sur (Ox) - Le point A a pour abscisse x(A).
  – Puis on définit a = 1, et on affiche le curseur a ainsi défini, en indiquant dans ses propriétés Min = 0 et Max = 3.
  – Avec a = AM = BN = DP, on crée le triangle avec les points M(x(A) + a, 0),  N(x(A) + 5, a) et P(x(A), 3 - a),
      puis on nomme b le triangle MNP, GeoGebra renvoie son aire.
  – On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : aire minimale d'un triangle dans un rectangle

Technique GeoGebra

Placer un curseur a et tracer la figure en plaçant un point M sur [AB] de coordonnées (x(A)+a, 0). Nommer b le triangle MNP.

Pour le graphique, placer un point L et remplacer ses coordonnées par (a, b) ; il aussi possible de taper directement dans la ligne de saisie : L=(a,b).
Activer la trace de ce point ou bien, en sélectionnant la dernière option du menu droite, tracer le lieu de L piloté par le curseur a.

Conjecture

On peut dès lors faire varier a et conjecturer b = 3,5 pour a = 2.

Parabole avec GeoGebra

figure géométrique et optimisation d'une fonction - triangle dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2011

– En déplaçant le curseur a sur toute sa longueur, on observe que la trace semble être une branche de parabole.
        Pour effacer la trace du point L, cliquer sur « Réinitialiser la construction » ou appuyer simultanément sur les deux touches CTRL et F.

– Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction carré f(x) = x^2, et l'«amener » sur la trace par trouve la fonction f représentant l'aire.
– Cocher la case parabole solution : GeoGebra affiche alors la fonction (x - 2)2 + 3,5 = x2 - 4x + 7,5, ce qui permet de répondre à la question.
        En effet, le calcul de l'aire est du second degré. Vérifier la parabole sur trois points suffit pour valider le résultat.

Calcul géométrique

Il est possible de vérifier ce résultat en calculant l'aire du triangle MNP
par différence entre l'aire du rectangle ABCD et la somme des aires des triangles AMP, BNM et du trapèze CDPN.

L'aire du rectangle est A(ABCD) = 5 × 3 = 15,
les aires des triangles rectangles sont A(AMP) = 1/2 AM × AP = 1/2 a(3 - a) et A(BNM) = 1/2 BM × BN = 1/2 (5 - a)a.
La surface d'un trapèze CDPN a pour mesure le produit de la moyenne des bases DP et CN par la hauteur CD :
A(CDPN) = CD × 1/2[DP + CN] = 5 × 1/2[a + (3 - a)] = 15/2.

On a donc A(MNP) = A(ABCD) – [A(AMP) + A(BNM) + A(CDPN)] = 15 – 1/2 [a(3 - a) + (5 - a)a + 15] = a2 – 4a + 15/2 = (a - 2)2 + 7/2.

GeoGebra Version interactive

Exemples de contenu pour l'enseignement en seconde

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle rectangle

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Le plus grand triangle isocèle inscrit dans un cercle

GeoGebra Avec GeoGebra : Optimisation d'aires

g2w 1S - TS : problèmes d'optimisation

g2w Rectangle au collège

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Page no 181, créée le 19/10/2011
mise à jour le 8/8/2014