René DescartesGeoGebra Descartes et les Mathématiques
pour les mobiles

L'espace en quatrième
avec GeoGebra
3D

Pyramide : volume, patron
- partition d'un cube en trois ou six pyramides
.

La géométrie dans l'espace en quatrième

    Pyramide : le cours

1. Coin de cube

2. 3 pyramides dans un cube

3. 6 pyramides dans un cube

4. Pyramide équilatérale de base carrée

5. Patrons de pyramides

6. Cône de révolution

Pyramide : le cours

Une pyramide est un solide composé :
  • d'une base polygonale,
  • de faces latérales triangulaires, ayant un sommet
    commun, le sommet de la pyramide.

figure Geogebra 3d - pyramide - copyright Patrice Debart 2014

Pyramide régulière

Définition : la pyramide est régulière
    - si la base est un polygone régulier
    - et si la hauteur, perpendiculaire abaissée du
        sommet sur la base, a son pied au centre du
        polygone de base.

Pyramide au collège

Au collège, les pyramides étudiées auront une base
rectangulaire, souvent carrée, ou bien une base
triangulaire ; dans ce dernier cas, le solide est
nommé tétraèdre.

Cas particuliers

Toutes les arêtes sont de même longueur. :
    • base triangulaire : le tétraèdre régulier,

    • base carrée : la pyramide équilatérale où les faces
         latérales sont des triangles équilatéraux;
      le triangle ACS dans le plan diagonal est rectangle
            isocèle.

Autre cas particulier de pyramide régulière de base
carrée :
    • le triangle ACS du plan diagonal est équilatéral.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube :
    pyramide de base carrée

Voir : tronc de pyramide

Dessiner une pyramide de base carrée.

Formule du volume d'une pyramide

Le volume V d'une pyramide (d'un tétraèdre ou d'un
cône de révolution) est donné par la formule :

V = 1/3 × aire de la base × hauteur

V = 1/3 × Sbase × hauteur,

où Sbase est l'aire de la base et hauteur = OS
    (figure ci-dessus).

Démocrite (460-370 avant J.-C.) fut le premier à
formuler l'énoncé et Eudoxe (IVe siècle) le
premier à en trouver la démonstration.

Volume d'une pyramide à base carrée

Si la base carrée ABCD a pour côté a, Sbase = a2.

Le volume est alors :

V = 1/3 × a2 × hauteur = 1/3 × a2 × OS.

1. Coin de cube

On appelle « coin de cube » le tétraèdre trirectangle
BEGF formé par trois arêtes d'un cube concourantes
en un sommet F, et des diagonales des faces du cube
qui joignent les autres extrémités de ces arêtes.

geogebra 3d - triangle équilatéral comme section de cube - copyright Patrice Debart 2014

« Figure fil de fer ».

geogebra 3d - coin de cube dans un cube - copyright Patrice Debart 2014

En vert : « coin de cube ».

« Cube fortement tronqué ».

Geogebra 3d - cube fortement tronqué - copyright Patrice Debart 2014

En classe de quatrième, savoir visualiser le « coin de
cube
» à partir de la « figure fil de fer » à gauche et
se représenter ci-dessus ; le « cube fortement tronqué »,
cube auquel on a enlevé un coin de cube.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : coin de cube

Coin de cube dans un cube en fil de fer

- on y trouve les trois variantes : triangle équilatéral
    formé par trois diagonales de faces du cube
cube moins coin de cube
 - cube fortement tronqué

Voir aussi : « cube tronqué » aux huit sommets.

2. Trois pyramides inscrites dans un cube

Visualiser la partition d'un cube en 3 pyramides à
bases carrées, au total ayant donc le même volume.

Pour cela, on va partir du cube initial ABCDEFGH
définir les trois pyramides de même sommet E et
de bases respectives les trois faces ABCD ; BCGF
et HDCG du cube.

geogebra 3d - pyramide inscrite sur la base d'un cube - copyright Patrice Debart 2014
geogebra 3d - pyramide inscrite sur la côté d'un cube - copyright Patrice Debart 2014
geogebra 3d - pyramide inscrite sur la côté d'un cube - copyright Patrice Debart 2014
geogebra 3d - 3 pyramides dans un cube - copyright Patrice Debart 2014

On vérifie que le volume de chaque pyramide est bien

V = 1/3 × a3 = 1/3 × a2 × a = 1/3 × Sbase × hauteur.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube :
    trois pyramides inscrites dans un cube

3. Six pyramides dans un cube

Partition du cube en 6 pyramides régulières de bases
carrées les faces du cube, de sommet le centre du cube.
La réunion des six pyramides a le même volume que le cube.

geogebra 3d - pyramide sur la base d'un cube - copyright Patrice Debart 2014
geogebra 3d - pyramide sur le côté d'un cube - copyright Patrice Debart 2014
geogebra 3d - pyramide sur le côté d'un cube - copyright Patrice Debart 2014
geogebra 3d - 3 pyramides dans un cube - copyright Patrice Debart 2014

Par symétrie on peut compléter ces trois pyramides
pour obtenir une partition du cube en six pyramides
de même volume.

On retrouve encore le volume de la pyramide

V = 1/6 × a3 = 1/3 × a2 × 1/2 a = 1/3 × Sbase × hauteur.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube :
    six pyramides inscrites dans un cube,
    diagonales d'un cube en fil de fer

4. Pyramide régulière de base carrée

geogebra 3d - pyramide équilatérale de base carré - copyright Patrice Debart 2014

4.1. Dessiner une pyramide équilatérale de base carrée

SABCD est une pyramide régulière de nase carrée ABCD.
Elle est équilatérale si les quatre autres faces sont
des triangles équilatéraux.

Quel est l'angle des arêtes (SA) et (SC) ?

Construction de la pyramide équilatérale

Construire un carré de côté a. Ses diagonales [AC] et
[BD] se coupent en O. La hauteur (d) est la droite
issue de H, perpendiculaire au plan ABC.
S est un des points d'intersection de la hauteur (d) et de
la sphère de centre A et de rayon a.

AOS est un triangle rectangle isocèle d'hypoténuse a :
la hauteur SO est alors égale à arac(2)/2.

Plan diagonal

geogebra 3d - pyramide équilatérale - copyright Patrice Debart 2014

Une vue de face du triangle ACS dans le plan diagonal
permet de conjecturer que l'angle ASC est droit.

En effet, si a est la longueur d'une des arêtes de la
pyramide, on remarque que ABC est un triangle
rectangle isocèle de petits côtés a et d'hypoténuse AC.

Le triangle ASB a deux côtés de longueur a et un
troisième côté AC.
Il est isométrique à ABC : ASB est rectangle en S.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube :
    pyramide de base carrée
    cocher la case pyramide équilatérale

Pyramide équilatérale de base carrée.: deux fenêtres

geogebra 3d - pyramide réguliere - copyright Patrice Debart 2014

Cadre de gauche : plan (ACS) dans la fenêtre graphique
(xOy) ; diagonale [AC] de la base sur (Ox), S sur (Oy)
axe vertical.

Triangle ACS, du plan diagonal, rectangle isocèle,
en vraie grandeur, dans la fenêtre graphique.

4.2. Triangle ACS, du plan diagonal, équilatéral

geogebra 3d - pyramide réguliere - copyright Patrice Debart 2014

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube :
    f
      Selon le triangle ACS du plan diagonal, cocher les cases :
        • ou triangle équilatéral,
        • Cocher la case triangle rectangle isocèle (ci-dessous).

5. Technique GeoGebra 3D :

Patron d'un polyèdre

On obtient, parmi tous les patrons possibles, un patron
choisi par le logiciel à partir de la face principale ayant
servi à sa construction.
Les autres faces s'articulent autour de cette face.

5.1. Patron d'une pyramide de base carrée

geogebra 3d - pliage du patron d'une pyramide de base carré - copyright Patrice Debart 2014
geogebra 3d - patron d'une pyramide de base carrée - copyright Patrice Debart 2014

5.2. Patron d'un tétraèdre régulier

Geogebra 3D - pliage du patron de tétraèdre- copyright Patrice Debart 2014

Patron d'une pyramide de base triangulaire

Geogebra 3D - patron de tétraèdre- copyright Patrice Debart 2014

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : 
     patron de pyramide de base carrée
     tétraèdre de base un triangle équilatéral,
     patron d'un tétraèdre

Le coefficient d'ouverture du patron est une variable
réelle m, comprise entre 0 et 1 ;
 - si elle est égale à 1 le patron est plan,
 - si elle est égale à 0 le patron coïncide avec le polyèdre.

6. Cône de révolution

Geogebra 3D - cylindre - copyright Patrice Debart 2014

Pour ce cône, la base est un cercle de centres O et de rayon r.
L'axe (OS) du cône est perpendiculaire au plan du cercle de base.

Volume du cône

Pour le cercle de rayon r, l'aire de la base est πr2 ;
la longueur h de la hauteur [OS] est égale à la distance
du sommet à la base.

Volume = V = 1/3 × aire de la base × hauteur
V = 1/3 × Abase × h.
Volume = B × h = πr2 × SO = πr2h.

Aire latérale du cône

L'apothème, distance du sommet au cercle,
est rac(r2 + h2).
L'aire latérale d'un cône de révolution sans la base :

r rac(r2 + h2).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : cône de révolution

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