Descartes et les Mathématiques

Activités de l'espace en première

Exercices de géométrie dans l'espace au lycée :
droite parallèle à un plan, interaction de l'espace et du plan…

Sommaire

1. Intersection de plans (dans une pyramide)

2. Section plane d'une pyramide

3. Intersection d'une droite et d'un cube

4. Barycentre et tétraèdre : alignement dans l'espace

5. Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan

6. Construction dans l'espace utilisant une configuration du plan

7. Pyramide et tétraèdre

8. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

9. Intersection de deux plans - Section plane d'un parallélépipède

Programme de 1^ère S (2009)

La géométrie dans l'espace est source de situations permettant de mettre
en œuvre de nouveaux outils de l'analyse ou de la géométrie plane,
notamment dans des problèmes d'optimisation.

Malgré cet entête, la géométrie dans l'espace a disparu
du nouveau programme de 2009 !

1. Intersection de plans (autour d'une pyramide)

SABCD est une pyramide régulière de sommet S, de base le carré ABCD,
de côté AB = 4 cm, telle que le triangle ASC soit équilatéral.

1.a. Soit O le centre du carré ABCD.
Déterminer l'intersection des plans (SAC) et (SBD).
Étudier les triangles SAC et SBD en
déduire que (SO) est la hauteur de la pyramide.

1.b. Calculer AC et OS.
Soit I le point de la hauteur OS équidistant de A et de S. Calculer SI.

Indications : a = AB = 4 ; AC = AS = a ; OS =
et SI = (le point I est le centre de gravité du triangle SAC).

Figure 3D dans GeoGebraTube :
           pyramide de base carrée - plan diagonal
      Cocher la case triangle rectangle isocèle

Voir : plan diagonal d'une pyramide régulière

4.c. Déterminer l'intersection des plans (SAB) et (SCD).

D'après le théorème du toit, la droite (d),
intersection des plans (SAB) et (SCD),
est parallèle aux côtés (AB) et (CD).

2. Section plane d'une pyramide

SABCD est une pyramide de sommet S et de base le carré ABCD.
Les points I et J appartiennent aux arêtes [SA] et [SB].

Le point K appartient à l'arête [SC].
Étudier la section de la pyramide par le plan (IJK).

Soit (d) la parallèle à (AB) passant par S.
Si (IJ) n'est pas parallèle à (AB), la droite (IJ) coupe (d) en P et (AB) en M.

Éventuellement, la droite (PK) coupe (SD) en L et (CD) en N.

Sur cette figure la section est le quadrilatère IJKL.

Le point Q appartient à la face SCD.
Étudier la section de la pyramide par le plan (IJQ).

Éventuellement, la droite (PQ) coupe (SC) en K, (SD) en L et (CD) en N.

Sur cette figure la section est le quadrilatère IJKL.

3. Intersection d'une droite et d'un cube

I et K sont deux points de la face (EFGH)
d'un cube et J un point de la face (ABFE).
Par K passe la droite (d) parallèle à (IJ).
Trouver une construction du point L
intersection de la droite (d) et du plan (ABF).

Exercice

Solution

Tracer le point M (s'il existe), intersection de la droite (IK) avec l'arête (EF).

Le point L est l'intersection de (d) et de (MJ).

4. Barycentre et tétraèdre :
alignement dans l'espace

ABCD est un tétraèdre.
Soit I le milieu de l'arête [AD],
G le centre de gravité du triangle ABC,
E le point tel que le quadrilatère BDCE soit un parallélogramme.

4.a. Déterminer des nombres entiers b, c et d tels que le
point E soit le barycentre des points pondérés (B, b) ; (C, c) et (D, d).

La somme de vecteurs + est représentée
par la diagonale du parallélogramme :
+ = + = .

+ – = ,
donc, en choisissant 1 pour b, les coefficients sont :
b = 1, c = 1 et d = − 1.

4.b. Démontrer que + + – – = .

En ajoutant et en retranchant à l'égalité + – = ,
on montre que + + – – = .

4.c. Déduire de la question précédente que
la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.

G est le centre de gravité du triangle ABC
on peut donc écrire l'égalité vectorielle de Leibniz :
3 = + + .

I est le milieu de l'arête [AD], donc d'après
le théorème de la médiane : 2 = – .

L'égalité de la question précédente devient : 3 – 2 = ,
les points E, G et I sont alignés et la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.

4.d. Préciser la position de E par rapport aux points G et I.

D'après l'égalité de la question précédente,
E est le barycentre de (G, 3) et (I, –2), donc = − 2 .

Centre de gravité d'un tétraèdre, voir : isobarycentre de quatre points

5. Perspective de centre O

Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan

Exercice

Étant donné dans un plan trois droites (d₁), (d₂), (d₃) distinctes
et concourantes en O et trois points A, B, C distincts
n'appartenant pas à ces droites, construire un triangle MNP
tel que chaque côté contienne un des trois points et que
chaque sommet soit sur une des trois droites.

Démonstration « par le relief »

La figure ci-contre peut-être considérée comme la représentation
d'un trièdre de sommet O et d'arêtes (d₁), (d₂), (d₃).

Les points A, B, C appartenant respectivement aux plans (d₁, d₂),
(d₂, d₃), (d₁, d₃). La construction demandée revient à déterminer
l'intersection du plan (ABC) et du trièdre (O, d₁, d₂, d₃).

Pour cela, à partir d'un point G, on va montrer que le triangle
MNP peut être considéré comme la vue en perspective d'un
triangle GHK, situé dans le plan (GAB), les plans de ces deux
triangles ayant la droite (AB) en commun. Sur cette droite le
point I est l'intersection des plans des deux triangles avec le plan (d₁, d₃).

G étant un point de (d₁), on trace (GA) qui coupe (d₂) en H,
puis (HB) qui coupe (d₃) en K.
Les points A et B situés sur les droites (GH) et (KH) appartiennent
au plan (GHK), ainsi que la droite (AB). Les droites (AB) et (GK)
du plan (GHK) se coupent en I.

Les points G et K situés sur les droites (d₁) et (d₃) appartiennent
au plan (d₁, d₃), la droite (GK) est dans ce plan et en particulier
le point I. Par hypothèse C aussi un point du plan (d₁, d₃),
la droite (CI) située dans ce plan coupe (d₁) en M et coupe (d₃) en P,
qui sont deux des sommets du triangle cherché.

Le troisième sommet N sur (d₂) s'obtient en traçant (MA) et (PB).

Théorème de Desargues : plan projectif

Tiers d'un segment

Théorème de Pohlke

Perspective et résolution d'un problème plan

Droite menée à partir d'un point de concours inaccessible

Joindre deux points d'une droite avec une règle trop courte

6. Construction dans l'espace
utilisant une configuration du plan

Exercice

Dans un plan (p), tracer la perpendiculaire
à une droite (d) à partir d'un point A.

Solution

Dans une perspective cavalière, le plan (p) est figuré par l'image
d'un rectangle sous forme d'un parallélogramme.

Les côtés (Δ) et (Δ’) sont perpendiculaires.
On suppose que dans le plan (p) on connaît
l'image de deux droites perpendiculaires
(d₁) et (d₂), non parallèles à (Δ) et (Δ’),
représentées, en général, par des segments non perpendiculaires.

La construction utilise les hauteurs et l'orthocentre d'un triangle.
On mène par le point A les parallèles à (Δ) et (d₁) qui coupent
la droite (d) respectivement en B et C.
La parallèle à (Δ’) passant par C est une hauteur du triangle ABC,
de même la parallèle à (d₂) passant par B. Ces deux hauteurs se
coupent en H, orthocentre du triangle ABC. La droite (AH),
troisième hauteur du triangle, est la perpendiculaire à (d) menée par A.

7. Pyramide et tétraèdre

Solide composite : prisme oblique

On dispose d'une pyramide à base carrée d'arêtes de longueur a

et d'un tétraèdre régulier de même longueur d'arêtes.
On colle ces deux solides en faisant
coïncider deux de leurs faces triangulaires.
On obtient ainsi un nouveau polyèdre.

Combien a-t-il de faces ?
Quelle est la nature de ce polyèdre ?

Indications

Soit I et J les milieux des côtés [AB] et [CD]
de la base (ABCD) de la pyramide SABCD de sommet S.
Montrer que le sommet O du tétraèdre
OCDS appartient au plan médiateur (IJS) de la pyramide.
En déduire que le quadrilatère IJOS est un parallélogramme ;
les points O, S, A et D sont coplanaires ainsi que les points O, S, B et C.

Le polyèdre a cinq faces : un carré, deux
losanges et les deux triangles équilatéraux SAB et ODC.
C'est un prisme oblique. Toutes les arêtes sont de même longueur a.

8. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

8.a. Deux droites dans un cube

IREM de Poitiers
Bulletin inter IREM 1986

Les droites (IH) et (JC) sont-elles sécantes ?

8.b. Un quadrilatère dans un cube

Que dire du quadrilatère IJKL ?

Rien, c'est une figure gauche non située dans un plan.
Surtout pas un parallélogramme.

8.c. Incidence fausse de deux droites et deux plans

Les droites (d₁) et (d₂), sécantes en A,
coupent le plan (p) en B et C, et le plan (p’) en B’ et C’.
Ce dessin n'est pas exact. Le point C’, par exemple, est mal placé.

Retrouver sa position sur (d₂) à partir du point I intersection
de la droite (BC) et de la droite frontière de (p) et (p’).

8.d. Vertical ou horizontal ?

Dans le plan (ABF), la droite (LM) est-elle horizontale ?
La droite (PQ) est-elle verticale ?

Tracer une droite horizontale de ce plan.
Peut-on trouver une droite verticale dans ce plan ?

Voir : perdu dans l'espace

9. Intersection de deux plans

Section plane d'un parallélépipède

ABCDEFGH est un parallélépipède
rectangle de côtés de longueurs a, b et h.

  • Placer I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD],
  • Construire K un point du segment [EF] tel que EK = EF,
  • Construire L un point du segment [GH] tel que HL = GH,
  • Construire la droite (d), intersection des plans (IJK) et (ADE).

Un travail peut s'engager sur :

  • justifier l'appartenance du point L au plan (IJK),
  • justifier la construction,
  • conjecturer ou utiliser le théorème du toit
pour démontrer que (IJ) // (AD) // (MN).

Variantes

I et K sont deux points variables
sur les côtés [AB] et [EF].
J est le point d'intersection du côté [CD]
et de la parallèle à (AD) passant par I.
L est le point d'intersection du côté [GH]

et de la parallèle à (EH) passant par K.

Si I est le milieu de [AB], montrer que J est le milieu [CD].
Si l'abscisse de K sur la droite repérée (E, F) est 1/4,
montrer que l'abscisse de L sur la droite repérée (H, G) est 1/4.

Voir : sections planes d'un parallélépipède rectangle.
En modifiant les longueurs a, b et h des côtés avec a = b = h,
tracer un cube et examiner la section
du cube par un plan parallèle à une arête.

Table des matières

Dans d'autres pages du site

Sections de cube en 3^e

L'espace en 2^nde:

Droite parallèle à un plan dans un cube

Intersection d'une droite et d'un tétraèdre

Sections de cube au lycée

Sections planes de tétraèdre

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