Exercices de géométrie au collègeTreize constructions avec GéoPlan ou GeoGebra : triangle, triangle rectangle, cercle et carré. | |
Sommaire2. Points cocycliques dans un triangle
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Dans d'autres pages du site Tangentes communes à deux cercles Carré et deux triangles équilatéraux Constructions avec contraintes : recopier une figure – Constructions à partir de trois droites remarquables – Retrouver un triangle à partir de centres ou de pieds Cercles - Feuerbach |
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Problèmes sur les triangles permettant d'observer, d'analyser, pour le réinvestissement des connaissances sur les propriétés des figures de base. 1. Triangles rectanglesUn triangle inscrit dans un demi-cercle est un triangle rectangle. 1.a. Triangle de l'écolier![]() Triangle rectangle d'angles aigus de 30° et 60°. ABC est un triangle équilatéral. Indications Dans le triangle équilatéral ABC, l'angle en C est de 60° et AB = AC. D'où AB = AD = AC = ABD est un triangle isocèle d'angle au sommet BAD = 120°. Les angles aigus sont de 30°, donc BDC = 30°. Réciproque – Montrer que la médiane issue de l'angle droit d'un triangle de l'écolier le partage en un triangle équilatéral et un triangle isocèle.
Une autre construction comme moitié d'un triangle équilatéral, voir : construction avec une équerre | |
1.b. Bissectrice et triangle rectangle![]() Dans un triangle ABC, la bissectrice de l'angle B et la parallèle au côté (BC), passant par le milieu C’ de [AB], sont concourantes en D. Indications La bissectrice (BD) détermine les angles égaux CBD = DBA. C’BD est isocèle en C’ et C’D = C’B. D'où C’D = C’B = C’A =
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2. Points cocycliques dans un trianglePropriété réciproque : un angle droit est inscrit dans un demi-cercle. Construction au compas seul Ci-dessous une construction au compas avec des cercles définis par des points cocycliques. Nous avons déjà rencontré ces figures dans le chapitre hauteur de la géométrie du triangle et elles permettent de démontrer les propriétés du triangle orthique ou avec le théorème de Clifford. Projections du centre du cercle inscrit sur les côtés![]() ABC est un triangle, les points iA, iB, iC sont les pieds des perpendiculaires issues du centre I du cercle inscrit sur les côtés [BC], [AC], [AB] du triangle. – Le triangle iAiBiC s'appelle le triangle de Gergonne ou triangle de contact du triangle ABC. – Les points I, A, iB, iC sont cocycliques sur le cercle de diamètre [IA], – De même I, B, iA, iC sont cocycliques sur le cercle de diamètre [IB]
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3. Triangles isocèles3.a. Bissectrice d'un triangle et triangle isocèle![]() Dans un triangle ABC, la bissectrice de l'angle C et la parallèle au côté [BC], passant par le sommet A, sont concourantes en D. – Montrer que le triangle ACD est isocèle.
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3.b. Carré et triangle équilatéral![]() On reprend la figure d'un calcul d'angles. ABCD est un carré. – quel est l'angle AEB ? Indications Montrer que le triangle DAE est isocèle. Dire quel est l'angle obtus ADE. Conclure que l'angle AEB = 30° et que les angles à la base du triangle isocèle AEB mesurent 75°.
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3.c. Triangles isocèles, rectangle, équilatéralOn reprend la figure de l'alignement avec un carré et un triangle équilatéral. ![]() ABC est un triangle rectangle isocèle et BCD un triangle équilatéral. La parallèle à (AD) passant par B coupe la droite (CD) en E. Avec l'intersection F de (BD) avec la parallèle à (AD) passant par C, étudier de même les triangles CDF et CBF. Montre que DEF est un triangle équilatéral et BEFC un rectangle. On complète le parallélogramme EDFG. Montrer que c'est un losange et que les points A, O, D, I et G sont alignés.
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4. Carré, cercles et tangente
Classe de 4e ![]() Tangente, bissectrice et angle de 45°. 1. ABCD est un carré, I le milieu de [CD]. Tracer le cercle (c1) de diamètre [CD] et le segment [IA]. Que dire des triangles ADI et ATI ? 2. La droite (IT) coupe (BC) en K.
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Classe de 3e ![]() 3. Les points A, T, I et D sont cocycliques et appartiennent au cercle (c2) de diamètre [AI]. Soit O milieu de [AI] son centre. 4. La droite (AT) coupe (BC) en E. Montrer que ET = EC. 5. Montrer que le quadrilatère OMEI est un carré.
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Indications Soit 2a la longueur du côté du carré. Le cercle (c1) de centre I et diamètre [CD] a pour rayon a. 1. D a pour image T par la symétrie d'axe (IA). (IA) est la médiatrice de [DT], les droites sont perpendiculaires. 2. Les triangles rectangles ATK et ABK ont même hypoténuse [AK], les côtés AT et AB sont égaux à 2a. 3. Les triangles rectangles ADI et ATI sont inscrits dans le cercle de diamètre [AI]. Les points A, T, I et D sont cocycliques. 4. Les triangles rectangles ECI et ETI ont même hypoténuse [EI], les côtés CI et TI sont égaux à a. Les deux triangles sont isométriques, d'où EC = ET et CÎE = EÎT. (IE) est la bissectrice de CÎT. 5. (IE) et (IA) sont les bissectrices des angles supplémentaires CÎT et TÎD. Elles sont donc perpendiculaires. EÎO = 90°. | |
5. Angle inconnu![]() Angles dans un triangle Dans cette figure, BAC = 30°, BD = CD et ED = EC. – Quelle est la mesure de l'angle ABC ?
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Bissectrices d'un parallélogramme![]() ABCD est un parallélogramme d'angle DAB = α. – Quelle est la nature du triangle ABI. Indications L'angle BAI = α/2. Dans le triangle ABI, L'angle est droit, le triangle ABI est rectangle en I, les bissectrices sont perpendiculaires.
Tâche impossible Trouver un parallélogramme tel que les bissectrices de deux angles consécutifs ne soient pas perpendiculaires. | |
6. Prenons de la hauteur![]() ABCD est un quadrilatère non convexe, non croisé. Les points A et C sont situés sur deux droites (d) et (d’) parallèles, distantes de 4 cm. – Quelle est l'aire du quadrilatère ? Calcul L'aire du quadrilatère est de 14 cm2, égale à la différence des aires des triangles ABD et CBD : Aire(ABD) = Aire(ABCD) =
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Solution par la méthode des aires![]() Soit I et J les points d'intersection de (AB) et (AD) avec (d’), L'aire du quadrilatère est : Soit E le point d'intersection de (d’) avec la parallèle à (AD) passant par B. BDJE est un parallélogramme et EJ = BD = 7 cm. D'après le théorème du papillon, Aire(IJB) = Aire(IAE). L'aire du quadrilatère est égale à l'aire du triangle AEJ, Généralisation ABCD est un quadrilatère non convexe, non croisé, de diagonale extérieure [BD], si l est distance C à (BD) et l' la distance de A à (BD), | |
7. Hauteurs et médianes dans un triangleClasses de quatrième - seconde ![]() Trapèze isocèle inscrit dans un triangle Dans un triangle ABC, P est le pied de la hauteur issue de A. Les points I, J et K sont les milieux des côtés. Indications avec des transformations Les points A et P sont symétriques par rapport la droite des milieux (KJ). Les segments [AI] et [KJ] se coupent en leur milieu M. Les points A et I d'une part, K et J d'autre part, sont symétriques part rapport à M. La symétrie de centre M transforme [KA] en [JI]. La composée des symétries par rapport à (KJ) et à M transforme [KP] en [JI] (par l'intermédiaire de [KJ]). Le résultat de la composition est la symétrie par rapport à la médiatrice de [KJ]. Cette médiatrice est l'axe de symétrie du quadrilatère KPJI qui bien un trapèze isocèle.
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8. Triangle et trapèze![]() Soit ABC un triangle non isocèle en A, tel que AC > AB. A’ est le milieu de [BC]. D est le symétrique de A par rapport à A’ et E le symétrique de A par rapport à (BC). Trapèze isocèle – Droite des milieux du triangle ADE : montrer que (DE) est parallèle à (BC). – Symétries : montrer que CD et BE sont égaux à AB. – En déduire que BCDE est un trapèze isocèle.
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