Descartes et les Mathématiques

Calcul de Mons. des Cartes

Fac-similé des Œuvres de Descartes, édition Adam et Tannery, tome X, pages 659-680
En général, les formules ne sont pas réécrites, se référer au scan.

INTRODUCTION À SA GÉOMÉTRIE

Exemples

1. Triangle rectangle, connaissant un côté et la différence des deux autres

2. Papillon formé par deux triangles rectangles dans un demi-cercle

3. Un lieu plan d'Apollonius

4. Triangle avec un côté et la somme des deux autres

Le Calcul de Mons. des Cartes est un commentaire de « La Géométrie » de René Descartes, attribué à Godefroy de Haestrecht, un gentilhomme hollandais.
Une copie a été retrouvée chez Leibniz.

INTRODUCTION À SA GÉOMÉTRIE

Calcul de Mons. des Cartes - Page 659

l638

Cette nouvelle Arithmétique consiste es lettres a, b, c, etc., aussi es chiffres 1, 2, 3, etc. S'il y a des chiffres devant les lettres, comme

a. Leibniz dit, dans ses Remarques sur l'Abrégé de la Vie de Mons. des Cartes : « J'ai vu le petit écrit qui devait servir d'introduction à la Géométrie de M. des Cartes. Feu Mons. Thevenot me le communiqua. Il est assez court, mais je n'y remarque rien de cette excellence que M. Baillet dit qu'on lui attribuait et qui faisait croire que M. des Cartes en était l'auteur lui-même. » (Edit. Gerhardt, t. IV, p. 3 19.)
Cette pièce, copiée à Hanovre au cours d'un voyage d'études en août-septembre 1894, fut publiée par Henri Adam, dans le Bulletin des Sciences Mathématiques, 2^e série, t. XX, septembre 1896.
La Bibliothèque Royale de Hanovre possède, en effet, parmi les papiers de Leibniz, un cahier MS.(ManuScrit) intitulé : Calcul de Monsieur des Cartes.

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2a, 3b, c, cela veut dire que la quantité a est double celle de b triple, et celle de c est un quart. Mais s'il s'en trouve après les

Suite de la note

Il est catalogué, n^o 381, au t. IV du Catalogue imprimé par le regretté Bibliothécaire Édouard Bodemann. Ce n'est pas l'écriture de Descartes, et ce n'est pas non plus celle de Leibniz ; et il ne porte point de nom d'auteur, ni de date. Mais on y trouve plusieurs renvois à une Géométrie ; et vérification faite, les pages citées ainsi sont celles de la Géométrie de Descartes, dans la publication de 1637. Ce Calcul de Monsieur des Cartes est aussi en français. Ne serait-ce point le travail dont Descartes parle, à plusieurs reprises, dans sa correspondance de 1638, et qu'il envoya à Mersenne, en l'appelant Introduction à sa Géométrie ? Ce second titre n'est pas celui du MS., qui donne seulement : Calcul de Monsieur des Cartes. Mais les deux choses n'en font qu'une, comme le prouve la simple lecture des textes suivants :

Lettres de Descartes à Mydorge : 24 février1638, t. II, p. 22, 1. 27, à p. 23, 1.4.

À Mersenne,

Lettres de Digby à Mersenne: 14 février et 15 mars 1640, t. IV, p. 212, I. 24 et 1. 36-7.

Dans tous ces textes, à vrai dire. Descartes ne parle que d'une Introduction à sa Géométrie. Mais déjà dans le premier, du 24 février 1638, il promet d'envoyer « quelques adresses particulières touchant le calcul ». Ce qui répond bien au contenu de ce Calcul de Mons. Des Cartes ; et l'on voit, par tous les textes qui suivent, que c'est bien la même chose que cette Introduction. Il y a plus : celle-ci se termine par « cinq ou six exemples », dit Descartes (13 juillet 1638) ; or le Calcul se termine aussi par des exemples, non pas cinq ou six, il est vrai, mais seulement quatre ; encore le quatrième reste-t-il inachevé : toute la fin de ce travail manque. Il y a plus encore : Descartes donne, dans ses lettres, deux de ces exemples. L'un, qui est le dernier, n'est autre que le problème d'une sphère tangente à quatre sphères ; on ne le trouve pas dans le Calcul, puisqu'il est le dernier et que justement le manuscrit est incomplet. Mais l'autre exemple est ce lieu plan dont M. Fermat a tant fait de bruit (13 juillet 1638) ; il se trouvait donc dans la dernière partie de l'Introduction à la Géométrie ; or il se trouve aussi à la fin du Calcul : c'est le troisième exemple, tout à fait semblable, on s'en convaincra en le lisant, au contenu d'une lettre de Fermat à Roberval, de février 1637 (Œuvres de Fermat, édit. Tannery et Henry, t. II, p. 100). Cette preuve est décisive : le Calcul et l'introduction sont bien un seul et même opuscule, et l'on est en droit de l'intituler comme

Suite de la note de la page 661

nous avons fait : Calcul de Monsieur des Cartes, ou Introduction à la Géométrie. Et c'est sans aucun doute la pièce qui figure à l'inventaire de Stockholm, sous la lettre P, p. 11 du présent volume. Quant à l'auteur, Descartes le qualifie de « gentilhomme de ce pays (Hollande), de très bon lieu » (t. II, p. 146, 1. 27-8, et p. 392, 1. 25-6), sans le désigner plus précisément. Et cette vague indication ne nous a pas permis jusqu'ici de l'identifier.

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Mais s'il s'en trouve après les lettres, comme a³, b⁴, c⁵ cela veut dire que la quantité a est multipliée trois fois, celle de b quatre fois, et celle de c cinq fois (a. le MS. donne : a³, b⁴, c⁵, le chiffre étant écrit non pas un peu au-dessus de la lettre, mais sur la même ligne, comme lorsqu'il est placé avant : 3a, 4b, 5c. De même dans tous les cas semblables, jusqu'à la fin).

Addition et Soustraction

L'addition se fait par ce signe +. Comme, pour ajouter a et b, j'écris a + b.
Idem (Item), pour ajouter a + b et d + f, j'écris + b + d + f  ; etc.

La soustraction se fait par ce (b. MS. : se, corrigé en ce) signe –. Comme, pour soustraire a de b, j'écris b – a, etc. S'il y a plusieurs parties dans la somme à soustraire, elles y changent seulement de signes.
Comme, voulant soustraire a – b + c de d, restera d – a + b – c. De même, ôtant a²– b² de c²– d² restera c² – d²– a² + b².

Mais s'il y a des chiffres adjoints et des termes de même espèce, il les faut écrire l'un sous l'autre, et en faire addition ou soustraction, comme en l'arithmétique vulgaire.

Exemples

L'on veut ajouter 3 ab + 2 cd + 5 ac + 4d² – ad

avec 4 ac + 13 ab – 2 ad + 4d².

Addition :

3 ab + 2 cd + 5 ac – ad + 4d2

13 ab + 4 ac – 2 ad + 4d2.

16 ab + 2 cd + 9 ac + ad + 4d2

De même, pour soustraire 13 ad – 2 d² + c² + 4 ac

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de 5d² + 12 ad – 3 c² + 2 a² + 4 ac,

je dispose les termes comme est dit (dit est), et fais un second examen, ayant changé les signes :

	+ 5d2 + 12 ad – 3c2 + 2a2 + 4ac
	+ 2d2 – 13 ad – c2 – 4 ac
Reste	7d2 – ad – 4 c2 + 2 a2 + 4ac

De la Multiplication

S'il est question de multiplier des lettres l'une par l'autre, il les faut seulement joindre ensemble ; mais s'il y a des nombres adjoints, ils suivent les lois de l'arithmétique vulgaire.
Et pour les signes, on fait que + par – donne produit +, et que – multiplié par – donne aussi produit +. Mais + par –, ou – multiplié par donne produit –.
Et l'on doit mettre les quantités de même espèce l'une sous l'autre, pour les réduire plus aisément par addition ou soustraction.

Comme, pour multiplier a par b, j'écris ab.

Idem, pour multiplier 2a + 3b, par 3c – 2b, le produit sera 6 ac + 9bc – 4 ab – 6 b².

	2a + 3b
	3c – 2b
Produit :	6 ac + 9bc – 4 ab – 6 b2

Autre exemple :

ab + cd – bc

ab + bc – cd

a2b2 + abcd + bc2d – ab2c + b2c2 – c2d2

– abcd + ab2c + bc2d

a2b2 + 2 bc2d – b2c2 – c2d2

Nota, qu'il se faut donner de garde de multiplier en soi une somme qu'on sait être moindre que zéro, ou bien de laquelle les plus grands termes ont le signe de – ; car le produit en serait le même que s'ils avaient le signe de +. Comme a² – 2 ab + b² est aussi bien le carré de a – b, que de b – a ; si bien que, si l'on connaît a être moindre que b, on ne doit pas multiplier a – b par soi, à cause qu'il produirait une vraie somme en la place d'une moindre que rien ce qui causerait erreur en l'équation.

De la Division.

Pour diviser ab par b, le quotient est a ; et ab + ac divisé par a, le quotient est b + c.

Mais, pour diviser 2 ac + 2 bc + 3 c²– 2 ad – 2 bd – 3 cd, par 2a + 2b + 3c, l'on disposera la somme à diviser à gauche et le diviseur à droite, comme ci-dessous :

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Puis je divise 2ac par 2a ; le quotient est c, par lequel je multiplie le diviseur ; le produit est 2ac + 2bc + 3 c², que je soustrais du nombre proposé ; le reste est
– 2 ad – 2 bd – 3 cd,
que je divise derechef par 2a ; vient pour seconde figure du quotient – d, par lequel je multiplie le diviseur ; le produit est
– 2 ad – 2 bd – 3 cd, que j'ôte du reste du dit nombre proposé, et il ne me reste rien.

Il faut observer que, si les termes qui viennent de la multiplication, du quotient par le diviseur ne se trouvent dans la somme à diviser, qu'on les y doit joindre par + ou –, selon que lesdits termes à ôter se trouveront affectés, et poursuivre la division par tous les termes indifféremment.

Il faut diviser c² – d² par c + d

.

Autre exemple. Comme, à diviser

Mais lorsqu'il reste quelques termes de la somme à diviser, qui ne peuvent être divisé par le diviseur, cela est une preuve que la division ne se peut faire ; et en ce cas, on se contente d'écrire le diviseur sous la somme à diviser, comme les exemples suivants :

.

Des Fractions.

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Aux quantités rompues, l'on suit les préceptes du vulgaire par (sic, pro pour) toutes les espèces. Il est besoin de les réduire aux plus simples termes, si on le peut. Et l'on le peut, quand la somme à diviser et le diviseur ont quelque commun diviseur.

Comme, pour réduire abc/(cd), je vois que c est leur commun diviseur,

et avec celui-ci je divise les deux termes de la fraction, et j'ai ab/d.

Item, voulant réduire en moindres termes …/…, je divise les deux termes de la fraction par c – d ; les quotients sont a² – ad et d, que j'écris ainsi (a² – ad)/d.

Item, (cd – d²)/(c – d) étant abreuvé (a. M S. : c² (pro cd).), viendra d.

Réduction en même dénomination.

J'ai à réduire a²/c et b²/a. Je multiplie a² par a, et b² par c, et derechef c par a.
J'ai a³/(ac) et b²c/(ac).

Item (b. Au-dessous de et entre les deux premières fractions, se trouve dans le MS. le signe ×, qui indique la multiplication en croix. Nous le retrouverons plus loin. p. 665), voulant réduire sous une même dénomination … et …

J'ai …/… et …/…

Mais s'il y a des entiers avec les fractions, comme a + b + … l'on multipliera les entiers a + b par le diviseur f – c, et le produit sera ajouté avec cd – ab. Viendra …/(f – c).

Et si les fractions données avaient des diviseurs qui eussent un diviseur commun, la réduction serait plus courte. Comme en cet exemple … et … Le comimun diviseur des dits diviseurs est a + b. Et divisant ax + bx par a + b le quotient est x, par lequel je multiplie a³ + d³ et le quotient de l'autre est c, par lequel je multiplie l'autre b²c + c²d puis ax + bx par c, et ac + bc par x. Et j'ai …/… et …/… . Et ainsi des autres.

De l'Addition et Soustraction.

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Quand les fractions données sont réduites comme est dit (dit est), on les ajoute ensemble par le signe +, et on soustrait la moindre de la plus grande par le signe –, de même qu'aux entiers.

Exemple. Je veux ajouter a³/(ac) avec b²c/(ac). La somme est (a³ + b²c)/(ac).

Mais pour soustraire b²c/(ac) de a³/(ac), le reste est (a³– b²c)/(ac).

De la Multiplication.

Pour multiplier ab/c par (cd – ad)/b, il faut multiplier les sommes à diviser entre elles, et pareillement les diviseurs entre eux. Et le produit sera (abcd – ab²d)/(cb).

Mais avant que de commencer la multiplication, on doit regarder si la somme à diviser d'une partie et le diviseur de l'autre partie ne se peuvent diviser par un commun diviseur. Comme, en l'exemple ci-dessus, ab/c par (cd – ad)/b, la somme ab d'une partie se peut diviser par b, et le diviseur de l'autre partie b se peut aussi diviser par b, de sorte que je n'ai plus à multiplier que a/c par (cd – ad)/1
et le produit est (acd – a²d)/b ou bien ad – a²d/c.

Item, a + b – (cd + ac)/(f – g) par c + d. Il n'est besoin de réduire les entiers en fraction, ainsi seulement multiplier les entiers par les entiers, et le produit sera

ac + bc + ad + db – (c²d + ac² + cd² + acd)/(f – g).

De la Division.

Pour diviser ab²/d par c, je multiplie c par d : le quotient est ab²/(cd).

Item, je veux diviser (ab + a²)/c par ab²/(cd), je fais (a. Même signe × de la multiplication en croix. Idem, p. 666, 1. 4-5, je la note ÷) comme aux fractions vulgaires (ab + a²)/c ÷ ab²/(cd); le quotient est (abcd + a²cd)/(ab²c).

Mais, avant que venir à la multiplication, il faut réduire les sommes à diviser et les diviseurs en leurs plus simples termes. Comme ici (ab + a²)/c et ab²/(cd) se divisent par a/c. C'est pourquoi j'ôte

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a de dessus et c de dessous, il me reste (b + a)/1, ou bien b + a, qu'il faut diviser par b²/d ; le quotient est (bd + ad)/b².

Ce quotient se trouve en divisant, comme aux fractions vulgaires,

(ab + a²)/c ÷ a/c, quotient (cab + ca²)/(ca) ou (b + a)/1 ;

et ab²/(cd) ÷ a/c, quotient cab²/(acd) ou b²/d ;

(b + a)/1 ÷ b²/d, quotient (bd + ad)/b².

Extraction de la Racine Carrée.

Pour tirer la Racine Carrée de 4a², vient 2a. Mais pour tirer la racine du multinôme
a² + c² + b² + 2ac – 2bc – 2ab, on doit prendre, premièrement, la racine de l'un des carrés qu'on connaîtra n'être pas l'un des moindres ; et celle-ci sera le premier terme de la racine requise, laquelle sera écrite sous le nombre proposé entre deux lignes.
Comme, en l'exemple proposé, je choisis a², et sa racine est a ; puis je soustrais a² du nombre proposé, reste c² + b² + 2ac – 2bc – 2ab, que je divise par le double de la racine, qui est 2a; et vient, pour second terme, + c, que je multiplie en soi et par 2a; le produit est c² + 2ac, que je soustrais, comme dessus, du nombre proposé.
Restera + b² – 2ab – 2bc, que je divise derechef par + 2a + 2c, double de toute la racine trouvée; et vient, pour troisième terme, – b, que je multiplie en soi et par 2a + 2c ; le produit est + b² – 2ab – 2bc, que j'ôte du nombre proposé, et il ne reste rien.
Mais si b² eût été plus grand que a², b eut été premier terme de la racine, et toute la racine eut été + b – a – c etc. C'est à quoi l'on doit prendre garde, quant aux carrés il y a des termes affectés du signe –, etc.

Supp. : a² est plus grand que b²…

a + c – b racine requise …

Supp. : b² est plus grand que a² …

b – a – c …

Des Quantités Sourdes.

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Lors qu'on ne peut tirer la racine d'un carré, on le met dans le vinculum √ (invention de Descartes), pour dénoter qu'on le doit traiter comme racine, et alors on la nomme quantité sourde.

Comme, ne pouvant tirer la racine carrée de a² + b², je l'écris ainsi .
Et s'il faut tirer une racine cubique (a. Voir t. III, p. 188, I. 14, et p. 196-197 ; et t. VI, p. 371.), on se sert de ce signe √(Ca³ + a b³)…(Pas de signe racine cubique, la constante C pour rendre homogène).

Mais s'il en faut tirer une d'un carré de carré, on l'écrit ainsi √√(a²b² + bc³).
Et s'il est question de tirer la racine carrée de ab + c² et de la racine de bc³ + a² + b², elle s'écrira ainsi √….

Et s'il fallait tirer la racine carrée de a⁴ + b⁴ divisée par des quantités absolues, c – 2d, l'on l'écrira ainsi 1/(c – 2d) √(a⁴ + b⁴).
Item, je veux tirer la racine de ab³ + c⁴ divisée par b² – d² et de la racine de b³c + a³d divisée par a + b ; j'écris ainsi √….

Item, pour tirer la racine de b² + dc, multipliée par les quantités absolues a + b et divisée par c + d, je l'écris ainsi … .

Réduction des Quantités Sourdes.

Premièrement, toute quantité irrationnelle, qui se peut diviser par un carré, se réduit à de moindres termes, et le diviseur devient rationnel et se met hors le vinculum.

Comme, √(a²b² + a²c²) se divise par a², dont la racine est a, et j'écris a√(b² + c²) qui est autant à dire que a multiplié par la racine de b² + c².

Item, √(12a²) se réduit à 2a ; car le carré de 2a est 4a² ; multiplié par 3, fait √(12a²).

Item, √(27a²) se réduit à 3a .

Item, √(48a²) est 4 a.

Item, √… se divise par a² + 2ab + b² ; et le quotient est c² + d², et la racine de

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a² + 2ab + b² est a + b.
J'écris (a. Il faudrait un vinculum sur a + b) donc a + b √(c² + d²), qui est autant à dire que a + b est multiplié par la racine de c² + d².

Item, l'on peut réduire … à cette somme …√… .
Car pq² – q³ + qr² – pr² se divise par p – q, et le quotient est q² – r² ; lequel étant derechef divisé par …, vient … et derechef étant multiplié par p – q, est (sic, pro et) divisé par r, vient … .

Item, pour réduire …, ou bien … qui est égale, ou bien … je divise … par … ; le quotient est √(c² + a²), lequel étant multiplié par a, viendra a√(c² + a²).

De l'Addition et Soustraction des Quantités Sourdes.

Aux opérations de l'addition et soustraction, les termes compris dans le vinculum ne reçoivent point de changement aux signes + et –. Mais seulement on les ajoute et soustrait par lesdits signes, qu'on met au-dehors devant le vinculum.

Comme, pour ajouter √… avec √…, j'écris :

√… + √… .

Et de même, pour soustraire √… de √…, j'écris :

√… – √… .

pour leur différence.

Item (b. Le MS. donne : … .), pour soustraire √… de √…, j'écris :

√… – √… .

Item, pour soustraire √… de √…, reste √… ; ce qui se trouve en réduisant les deux sommes sous une même dénomination, en multipliant le diviseur 2 √…… par √…… :
le produit est 4 a² – b² et tout de même, multipliant le diviseur :

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par b², le produit sera b² ; et les deux sommes seront … et … .

J'ôte maintenant b² de 4 a² – b², le reste est

…

et divisant le tout par 2, j'ai … .

Item, pour soustraire une racine multipliée par des quantités absolues, de semblables quantités et racines, comme a + b√(c² + d²) de c + d√(a² + ab), reste

c + d√(a² + ab) – a + b√(c² + d²).

Et ainsi de toutes les autres.

Multiplication des Quantités Sourdes.

Des quantités sourdes multipliées entre elles, la racine du produit de leurs puissances multipliées entre elles est le produit requis.
Comme, pour multiplier √ab par √bc, le produit est √ab²c.

De même, multipliant √(ab + c²) par √(cd – ad), j'ai pour le produit √… .

Mais, lorsqu'on ne veut achever la multiplication,
on met les termes ainsi √(ab + c²) M√(cd – ad) (M au sens de multiplié par), qui est autant à dire que la racine de ab + c² doit être multipliée par la racine de cd – ad.

Item (a. MS…), le produit de … par … est

…

Item, pour avoir le carré de √…– √…, je quitte les deux vincula pour avoir leurs carrés, et multiplie les racines 2 fois l'une par l'autre : j'ai

ab – bc – c² + b² – ac + 2 a + 2 √… M √… .

pour le carré requis.
L'on peut aussi mettre le vinculum ainsi … ; ou bien, si l'on veut achever la multiplication, on multipliera + 4b² – 4ab par ab – bc – c² : le produit sera

√… .

Calcul de Mons. des Cartes - Page 670

Item, le carré de a + c + √… est

a² + 2 ac + c² + b²+ bc + 2 a + 2 c√… .

Item, le carré de a + √… + √… est

… .

Et ainsi des autres.

De la Division des Quantités Sourdes.

Des quantités sourdes divisées l'une par l'autre, la racine du quotient est le quotient requis.

Comme, pour diviser √abc² par √d², le quotient (a. MS…) est √(abc²/d²),
ou bien c/d√ab.

Item, pour diviser √… par √(ac+ c²) le quotient est √… .

Item, pour diviser a√(b² – c²) par d + c, vient a/(d + c)√(b² – c²),

Item, pour diviser a² + bc + √(ac³ – cd³) par √(c² – a²) vient … .

Item, pour diviser a² – b² par √(a² – b²), vient √(a² – b²).

Item, pour diviser …. ou bien son égal … par…, vient pour quotient a.

Item, j'ai à diviser a² + b² par la racine de ac + c² ; vient …, ou bien … .

Mais lorsqu'un binôme est donné à diviser par un diviseur qui est aussi binôme, il y a plus de façon.

Par exemple, je veux diviser le binôme a² + √abcd par le binôme a + √bc.

Il faut multiplier a² + √abcd par le résidu du diviseur a – √abcd : le produit est

a³ + a√abcd – a²√bc. – bc√ad.

Calcul de Mons. des Cartes - Page 671

De même je multiplie le diviseur a + √(bc) par le susdit résidu a – √(bc) ;
le produit est a² – bc, par lequel je divise le produit précédent : vient pour quotient requis

…

De la même façon, si le diviseur donné est multinomie, il le faut si souvent multiplier par son résidu, que son produit donne enfin une quantité absolue, par laquelle soit divisée la somme à diviser, après l'avoir, par les mêmes résidus, multipliée autant de fois comme le diviseur l'aura été. Et ce qui en viendra, sera le quotient requis.

Extraction de la Racine des Binômes.

Pour tirer la racine carrée de a + √(bc), je prends la demi-différence des deux carrés proposés …, et je joins la < demi- >racine de cette différence à la demie racine du plus grand carré par le signe +, et la racine de toute cette quantité donnera pour un membre √…, et la joignant par le signe –, j'ai l'autre membre qui sera √…, & l'agrégat …, <qui>

sera la racine de a + √(bc).

Mais celle de son résidu a + √(bc). sera différente seulement du signe – :
√… – √… .

Autre exemple tiré de la Géométrie, page 328 (a. Voir t. VI de cette édition, p. 400-401). Pour tirer la racine de ce binôme, r… , la différence des deux carrés est …, dont la demie racine est …, qui étant ajoutée à la demi-racine du plus grand carré, égale à … ou bien m pour un membre ;

et pour l'autre, je soustrais … de reste (b. MS√…/m)… ; lesquels membres j'ajoute, puisqu'il est binôme, et j'ai

m + √…, ou bien m + x√… .

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Item, pour tirer la racine de ce binôme (a….)

…

la différence de leurs carrés est … , dont la racine est … , supposant que a soit plus grande que d. Puis, à cette demie racine … ayant ajouté la demie racine du plus grand carré … , j'ai …, dont la racine est … ou a … pour un membre. Et l'ayant ôté … , le reste est … , dont la racine …, ou bien …, pour l'autre membre ; lesquels étant joints par le signe +, la racine est

a√… + d √…, etc.

Des équations

Quand on veut résoudre quelque problème, on pose pour les termes connus (soit ligne, nombre, superficie, ou corps) les premières lettres de l'alphabet, a, b, c ; et pour les inconnus, on se sert des dernières, x, y, z ; et faisant un registre, on se sert de ce signe =, pour dénoter l'égalité de deux choses : comme, pour dire la ligne AB est égale à b, j'écris AB = b ; observant toutefois, en ses (b. MS : ses (sic). Lire peut-être ces ?)suppositions, à garder le nombre de dimensions : posant une lettre pour une ligne ou nombre, deux lettres pour une superficie, et trois pour un corps ; de sorte qu'il faut qu'il y ait autant de dimensions en un terme qu'en l'autre, sinon que l'unité soit déterminée en la question. Car, comme l'unité ne diminue le nombre des dimensions par la division, ni ne l'augmente aussi par la multiplication, il est loisible de porter des termes où elle se trouve, comme on voit en la Géométrie, page 299 (c. Tome VI, p. 371-372), en l'exemple allégué aussi à cet effet : a²b² – b, où soit c l'unité, et – b multipliée deux fois par l'unité, et a²b² divisée une fois par l'unité ; en la restituant, on aura en un terme autant de dimensions qu'en l'autre,

Pareillement, page 395 (d. Ibid., p. 469), en l'équation z⁴ = pz² – qz + r l'on

Calcul de Mons. des Cartes - Page 673

suppose a pour l'unité, et pz² est une fois multipliée, – qz deux fois, et r trois fois : de sorte qu'en remettant l'unité, on aurait z⁴ = pz²a – a²qz + a³r. Et ainsi de plusieurs autres.

Après avoir donné des noms aux quantités connues, l'on considère la chose comme déjà faite, et on examine si le problème se peut commodément résoudre, en supposant seulement une ligne inconnue = à x, savoir celle qui est requise, ou bien z² = x multipliée par une autre grandeur connue, + ou – d'autres termes connus, etc. Et en tous ces cas, la Géométrie donne le moyen d'en tirer la racine et rendre la quantité inconnue x = à des termes qui sont connus. Et le problème est résolu.

Mais lors que le problème proposé est tel, qu'une seule lettre inconnue n'a point assez de communication avec celles qui sont connues, en sorte qu'elles ne sauraient s'entraider pour faire trouver l'équation ; ou bien que, par la supposition d'une seule lettre, on s'embarrasse dans un trop gros calcul, on se doit servir de plusieurs lettres inconnues et chercher aussi autant d'équations qu'on a supposé de lettres, et par le moyen d'y celles équations réduire toutes ces lettres en une seule, qui porte la solution du problème.

Et pour venir à bout de ces réductions, il est besoin de considérer si, par une équation, ou par la comparaison de deux ou plusieurs, en les ajoutant ou soustrayant l'une de l'autre, on ne pourra connaître une lettre. Et si cela ne se peut, il faut venir à l'extraction de la racine pour en trouver une ; puis après, on doit ôter cette lettre de l'une des autres équations, et en son lieu mettre la valeur trouvée ; et ainsi on sera quitte d'une lettre inconnue.

Puis, comparant cette équation avec une autre dont on aura aussi ôté cette même lettre, si elle y était, on se défera d'une seconde ; et ainsi des autres, jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'une inconnue parmi toutes les connues, dont on mettra les termes par ordre. Et on connaîtra, par extraction de racine, quelle est sa valeur, comme devant ; et ainsi le problème sera résolu.

Que si l'on ne peut trouver autant d'équations qu'on a supposé de lettres inconnues, cela est un indice que le problème n'est pas entièrement déterminé. Et alors on peut prendre pour l'une des lettres inconnues telle quantité qu'on voudra ; et de sa variété naissent plusieurs points, qui tous satisfont à la question, et qui composent des

lieux plans, solides, ou linéaires, s'il n'y a qu'une équation qui manque ; et des lieux de superficie, s'il y en avait deux de manque ; et ainsi des autres.

Exemple Premier.

Triangle rectangle, connaissant un côté et la différence des deux autres

L'un des côtés d'un triangle rectangle, et la différence des deux autres côtés étant donnée, trouver le reste du triangle.

Figure interactive de GeoGebraTube : triangle avec un angle, un côté et la somme des autres

Calcul de Mons. des Cartes - Page 674

Supposition : BC = a, BD = b, AC = x ; la chose comme déjà faite (la méthode de Descartes : on suppose le problème résolu).
Les deux carrés <de> (a. de omis MS) AC = x², BC = a² sont égaux au carré de AB.
Mais AB = x + b, et son carré est x² + 2 bx + b².

Donc ques il y a équation entre x² + a² et < = > x² + 2 bx + b² (b. MS. : & écrit d’ abord, puis au-dessous, le signe =).

J'ôte de part et d'autre x² + a², il me reste 2bx = a² – b², lesquelles quantités je divise par 2 b.

Vient x = (a² – b²)/(2b). Ce qui montre que, la différence des deux carrés de BC et BD étant divisée par le double de BD, le quotient sera le côté AC.

Ou bien, trouvant une ligne qui soit à la ligne a comme a est au double de b, puis en ôtant la moitié de cette ligne < b >, le reste est x ou AC, qui était cherché, etc.

En effet : y/a = a/(2b) d'où y = a²/(2b), puis le reste y – b/2 est x.

2. Exemple.

Deux triangles rectangles étant donnés sur une même base, s'entrecoupant en un point, trouver les segments des côtés qui s'entrecoupent.

Papillon formé par deux triangles rectangles dans un demi-cercle

Hypothèses : BE = x AB = a, AC = b, DC = c, DB = d (et c >a).

Figure interactive dans GeoGebraTube : deux triangles rectangles formant un papillon
     Figures interactives avec GeoGebra

Calcul de Mons. des Cartes - Page 675

La chose comme déjà faite. Si BE = x, DE = d – x.

Et à cause que les triangles rectangles ABE et CDE sont semblables,
AB = a est à BE = x, comme DC = c est à CE = cx/a.

AB/BE = DC/CE ; a/x = c/CE ; CE = cx/a.

Derechef, comme DC = c est à DE = d – x, ainsi AB = a est à AE = (ad – ax) /c.

Et CE = cx/a étant ôté de AC = b, restera AE = b – cx/a,

DC/DE = AB/AE ; c/(d – x) = a/AE ; AE = b – cx/a.

en d'autres termes qui donnent l'équation suivante b – cx/a = (ad – ax)/c,
ou bien a²d – a²x = abc – c²x.

Ôtant de part et d'autre – c²x + a²d, restera c²x – a² = abc – a²d.
Et divisant l'une et l'autre partie par c – a² j'aurai

x = (abc – a²d)/(c²– a²).

C'est-à-dire que, comme la différence des carrés de AB et DC (qui sont les côtés qui ne s'entrecoupent point) est à la différence des rectangles ACD et ABD, ainsi le côté AB est à la ligne BE = x.
Ou bien l'analogie s'exprimera ainsi (a. MS. : « comme c² – a² || bc – ad || ainsi a || x. ».): comme (c² – a²)/(bc – ad) = a/x.

Et en même raison aussi DC à CE.
DC/CE = c/CE est aussi égal au même rapport (c² – a²)/(bc – ad).

3. Exemple^b

Étant donné quatre points A, D, E, F, trouver le cinquième C,

b. Exemple tiré des Lieux plans d'Apollonius, L. II, Prop. V {Œuvres de Fermat, édit. Tannery et Henry, t. I, p. 37) :

Si à quotcumque datis punâis ad punâum unum infleâantur reâce et Uni Jpecies quœ ab omnibus fiunt, dato spatio œquales, punâum continget positione datam circumferentiam.

Dans une lettre de Fermat à Roberval, du 22 septembre 1636 (Ibid., t. II, p. 74), on lit :
« J'avais omis le principal usage de ma méthode, qui est

suite de la note sur la page suivante

pour l'invention des lieux plans et solides ; elle m'a servi particulièrement à trouver ce lieu plan, que j'avais auparavant trouvé est difficile. » (Suit l'énoncé latin ci-dessus.)

Roberval répond à Fermat, le 11 octobre 1636 : « J'estime vos proportions des nombres, et celle du lieu plan, fort difficiles. » (ibid., t. II, p. 82.)

Fermat se décide à envoyer à Roberval la solution du lieu plan, lettre de février 1637 (t. II, p. 100). On peut la comparer avec celle de Descartes.

« Je trouve assez de loisirs pour vous envoyer encore la construction du lieu plan : Si à quotcumque, etc., que je tiens une des plus belles propositions de la Géométrie, et je crois que vous serez de mon avis. »

Calcul de Mons. des Cartes - Page 676

duquel étant mené des lignes droites comme les quatre CA, CF, CD, CE, d'icelles (d'icelles correction] desquelles MS.) les carrés soient égaux à l'espace d².

Hypothèses : AG = a, AK = f, AD = c, GF = b, KE = g, AB = x, BC = y (g > b).
Je suppose la chose comme déjà faite, et le point

Un lieu plan d'Apollonius

Figure interactive de GeoGebraTube : un lieu d'Apollonius

       Figures interactives avec GeoGebra

requis C, duquel je mène des lignes aux quatre points donnés. Et le joins aussi deux de ces points par la ligne AD, sur laquelle des autres points je fais tomber les perpendiculaires EK, GF. CB ; et soit EK plus grande que FG. Puis je cherche les quatre carrés requis en cette sorte suivant les suppositions de mon registre. Et premièrement, le carré de AB = x² et celui de BC = y².

Donc que le carré de AC : AC² = x² + y².

Les deux carrés < de > BD = c – x et BC = y sont c² – 2 cx + x² et y².

Donc que le carré de CD : CD² = y² + c² – 2cx + x².

Et le carré de la ligne CB + GF est y² + 2 by + b² et le

Calcul de Mons. des Cartes - Page 677

carré de GB = x – a est x² – 2 ax + a² ; et ces deux derniers carrés sont égaux au carré de

CF : CF² = y² + 2 by + b² + x² – 2 ax + a².

Les deux carrés <de> CH et BK = y – g et f – x, sont y² – 2 gy + g², et f² – 2 fx + x² qui sont égaux au carré de CE : CE² = y² – 2 gy + g² + f² – 2 fx + x².

Et la somme de ces quatre carrés étant égale à l'espace donné d², j'ai, après l'addition faite,

4y² + 4x² + a² + b² + c² + f² + g² + 2 by – 2 gy – 2 cx – 2 ax – 2 fx = d².

x² – x(c + a + f)/2 + y²– y (g – b)/2 + (a² + b² + c² + f² + g² – d²)/4 = 0.

Et comme j'ai supposé deux quantités inconnues x et y, et que je ne vois point de moyen de trouver une seconde équation, je conclus que la question n'est pas assez déterminée, et que ce doit être un lieu, par la page 334 de la Géométrie (a. Voir t. VI, p. 407).

Et lors, selon la page 300, ligne 22 (b. Ibid., p. 372-373.), j'en puis prendre une à discrétion, que je choisis ici pour AB = x, et je déterminerai par cette équation y, comme s'ensuit :

y² = – x² + x(a + c + f)/2 + y (g – b)/2 – (a² + b² + c² + f² + g² – d²)/4,

dont il faut tirer la racine, suivant les préceptes de la Géométrie, page 302,

y² – y (g – b)/2 = – x² + x(a + c + f)/2 – (a² + b² + c² + f² + g² – d²)/4,
y² – y (g – b)/2 est le début du carré de y – (g – b)/4.

y = (g – b)/4 +
rac(– (4a² + 3 b² + 4c²+ 4 f² + 3 g² + 2 bg – d²)/16 + x(a + c + f)/2 – x²).

Et je vois d'abord, en la page 328 ( c. Ibid., p. 400). que c'est une ellipse ou un cercle, à cause qu'il y a – x² et puisque l'angle est droit (dans l'angle IKL de la page 328), il n'y a plus rien de requis pour la détermination du cercle, sinon que a²m soit égal à pz². Pour le savoir, je regarde quelles sont ces quantités, et d'où elles sont venues ; et je vois, page 328, que a et z avec n servent à exprimer la proportion entre KI et IL (d. KI et IL correction K et I MS), en la figure de la page 329, lesquelles sont ici égales, et par conséquent, a = z ou bien a² = z². Reste p/m, qui a été pris pour le terme multiplié par x² qui est ici l'unité.

Et ainsi p/m = 1, ou bien p = m. Et de là je conclus

Calcul de Mons. des Cartes - Page 678

que c'est un cercle. Et parce que cette équation de la page 326, savoir (a. y]x (là tort) MS.)

,

sert de règle générale pour construire toutes sortes de lieux (b. Voir t. VI, p. 399, 1. 17, et aussi t. II, p. 84, 1. 12.), on la peut suivre en cette sorte : sur AD donnée, du point A soit effleurée (c….) la perpendiculaire AI égale à (g – b)/4 ; et à cause que g est plus grande que b, le point I doit être pris de la part de E au-dessus de la ligne AD. Mais si b eut été plus grande que g, le point I aurait été pris au-dessous de la ligne AD, de la part de F. Puis dudit point I, soit menée IM parallèle à AD, en laquelle est le centre du cercle ; et pour le trouver, je me sers de la détermination de IM, page 330 (d. Tome VI, p. 402. – Ligne suivante, le MS. donne SM, faute, pour IM.), = aOm/2pz,
ou bien, à cause que am = pz, j'ai O pour la ligne IM, et M est le centre du cercle. Et puisque O dénote le terme qui est dans le vinculum multiplié par x, savoir x(a + c + f)/4, je reconnais que IM est (a + c + f)/4 (somme des abscisses divisée par le nombre de points 4), et le côté droit ou le diamètre étant déterminé peu après, en la ligne 15 de la même page, être …, qui est autant (e. Deux fois le « vinculum » manque MS.) que … , ou bien …, à cause que m = p, je vois qu'il en faut prendre la moitié pour avoir le rayon,

et qu'au carré < de > (a + c + f)/4 qui est ici O²,
on doit joindre le nombre absolu dans le vinculum désigné par – m² qui est en cette équation (f. 2 bg manque MS.)

(– (4 a² + 3 b² + 4c²+ 4 f² + 3 g² + 2 bg – d²)/16

Et l'agrégat = < > rac(– 3 a²– 3b²– 3 c² – 3 f² – 3g² + 2ac + 2af + 2cf – 2bg + 4 d²)

fait le rayon requis de ce cercle, qu'on décrit du centre M.

Or, considérant toutes ces quantités pour faire la construction, on voit (g. Au lieu de voit] fait, faute, MS. Cf., p. 679,I. 11 et 16.) de là fort aisément, en premier lieu, que la ligne AI est (g – b), c'est-à-dire qu'elle est composée de l'agrégat ou différence des perpendiculaires tirées sur la ligne AD (somme des ordonnées divisée par 4) des autres points donnés, comme ici F et E, divisée par le nombre de tous les points

Calcul de Mons. des Cartes - Page 679

donnés : à savoir, en cet exemple, à cause que GF est d'un côté de la ligne AD, et KE de l'autre, il faut prendre la différence qui est entre ces lignes, et la diviser par 4, à cause des quatre points donnés ; au lieu que, si GF et KE étaient d'un même côté de la ligne AD, il faudrait prendre leur agrégat, et diviser cette différence ou agrégat par 5, si la question était composée de cinq points ; et ainsi par 6, etc. Puis le quotient est la ligne AI, supposant le point I du côté de la ligne AD, où les perpendiculaires sont les plus grandes : comme ici, à cause que KE est plus grande que GF, je tire la ligne AI du côté où est le point E.

L'on voit, en second lieu, que IM est (a + c + f)/4, c'est-à-dire qu'elle doit être composée de l'agrégat de la ligne AD et de tous les segments de cette ligne qui sont entre le point A et ceux où tombent les perpendiculaires des autres points, divisé par le nombre des points donnés.

Et enfin on voit que, pour trouver le rayon de ce cercle, il faut seulement soustraire de l'espace donné les carrés de toutes les lignes tirées de chacun point donné à tous les autres, car ils doivent être moindres que cet espace ; et diviser le résidu par le nombre des points donnés, puis tirer la racine du quotient, laquelle est le rayon demandé.

Comme ici, par exemple, il faut ôter de d² les carrés des six (AD, AE, AF, FE, ED, MS.) lignes AD, AE, AF, ED, DF, FE ; et ayant divisé le résidu par 4, la racine du quotient est le rayon cherché (à vérifier).

Ou bien, puisque M centre est déjà trouvé, l'on trouvera le rayon, en tirant, de tous les points donnés, des lignes droites vers M ; car si on soustrait les carrés d'icelles lignes de l'espace donné, et qu'on divise le reste par le nombre des points donnés, la racine carrée du quotient sera le rayon demandé.

En effet, avec le centre de gravité M((a + c + f)/4, (g – b) ) des quatre points A, D, E et F, on montre, grâce aux formules d'Apollonius de Perge,
que CA² + CD² + CE² + CF² = 4 CM² + MA² + MD² + ME² + MF² (voir barycentres et lieux).
Le lieu des points C tels que 4 CM² + MA² + MD² + ME² + MF² = d² est un cercle de centre M de rayon r tel que r² = (d² – MA² – MD² – ME² – MF²)/4.

Pour retrouver l'équation classique du cercle, dans celle du début de la page 677

x² – x(a + c + f)/2 + y² – y (g – b)/2 + (a² + b² + c² + f² + g² – d²)/4 = 0,

on fait intervenir les débuts des carrés de x – (a + c + f)/4 et y – (g – b)/4 et on a :

[x – (a + c + f)/4]² + [y – (g – b)/4]² – (a² + c² + f² + 2 ac + 2 af + 2 cf)/16 –
(b²+ g² – 2bg)/16 + (a² + b² + c² + f² + g² – d²)/4,
soit [x – (a + c + f)/4]² + [y – (g – b)/4]² – r² = 0
où 16 r² = – 3a²– 3b²– 3 c² – 3 f² – 3g² + 2ac + 2af + 2cf – 2bg + 4 d².

Remarque : maintenant, pour éviter la discussion du sens de GF et KE, en haut de cette page, on utilise la mesure algébrique de GF, en prenant b négatif pour cette figure ;
il suffit ensuite de remplacer – b par b dans les formules.

4. Exemple.

Calcul de Mons. des Cartes - Page 680

De quelconque triangle rectiligne étant donné un angle, avec un des côtés qui le comprennent, et la somme des deux autres côtés, trouver le reste du triangle

BC = a, BT = d, AB + AC = b, AC = x.

D'autant que l'angle B est donné, la raison du rayon au sinus de son

page 680

complément est aussi donnée ; et BC étant donné, BD le sera aussi, que je nomme d.

a, b et l'angle B sont donnés ; on en déduira d par projection et x par calcul.

Triangle avec un côté et la somme des deux autres

Figure interactive de GeoGebraTube : un triangle avec un angle, un côté…

      Figures interactives avec GeoGebra

Ce fait, il faut trouver la quantité BD en d'autres termes, en

cette façon : disant AB = b – x donne AC = x plus BC = a, que donnera x – a ?

Ne sachant calculer x – a, calculons x² – a² en exprimant CD² avec les relations de Pythagore dans les triangles rectangles CDA et CDB :

CD² = CA² – AD² = CB² – BD²,
x² – AD² = a² – BD²,
x² – a² = AD² – BD² = (AD + BD).(AD – BD),
x² – a² = AB.(AD – BD) = (b – x).(AD – BD),
d'où AD – BD = .

Viendra pour la différence de AD et BD, laquelle étant soustraite de b – x, restera

,

En effet b – x – = AB – (AD – BD) = AB – AD + BD = 2BD = 2d.

ou bien

b² – 2 bx + x² – x² + a² = 2 bd – 2 dx,

ou

b² – 2 bx + a² = 2 bd – 2 dx,

et ôtant de part et d'autre – 2 bx + 2 bd, restera

b² + a² – 2 bd = 2 bx – 2 dx,

et divisant les deux parties par 2b – 2d, j'aurai

…