La Géométrie est l'un des trois appendices publiés par René Descartes après le Discours de la méthode.
Le Discours présente une méthode nouvelle permettant d'obtenir des idées claires sur n'importe quel sujet. La Géométrie est un des exemples des succès obtenus en suivant cette méthode.
Édition de 1637 chez Jan Maire à Leyde sans nom d'auteur :
édition en deux tomes. Un premier tome pour le Discours de la méthode proprement dit et un tome II contenant les trois essais : la Dioptrique (l'optique), les Météores (phénomènes naturels) et La Géométrie qui y commence à la page 295.
Pour la publication des fac-similés, à partir de la page 297, j'utilise l'édition de David Eugene Smith et Marcia L. Latham qui ne contient que La Géométrie.
Mon texte est en français modernisé, avec transcription des formules mathématiques.
Ceci est plus utile que de vieillir la prose de Descartes avec des formes désuètes qui ne reproduisent pas son usage, mais celui de son imprimeur (Étienne Gilson).
Cette transcription impose des commentaires prenant en compte :
– la comparaison entre les diverses éditions,
– le respect de la pagination originale,
– la rectification des erreurs (en espérant ne pas trop en rajouter !),
– l'explication du vocabulaire cartésien,
– la traduction des paragraphes en latin,
– l'indication de renseignements historiques
– le développement des problèmes spécifiquement mathématiques.
Mes figures sont extraites du polycopié de l'IREM de Caen.
Y-a-t'il une autre version d'un livre vraiment complet, comme le laisse supposer :
— la page de couverture ci-contre (cette première page du Discours de la méthode ne fait pas partie de La Géométrie, et je ne l'ai ajoutée que pour expliquer pourquoi les fac-similés commencent à la page 297)
Problèmes plans : qui peuvent se résoudre à l'aide de droites et de cercles, problèmes solides : qui utilisent les coniques, permettent de résoudre des problèmes du troisième degré, problèmes plus que solides : au-delà du troisième degré, problèmes mécaniques (c'est-à-dire transcendant) comme les spirales, les conchoïdes, les cissoïdes ou les quadratrices.
(appliquée) par ordre : perpendiculairement à l'axe ; d'où le mot ordonnée.
Dans le repère de Descartes, situé dans le deuxième quadrant, l'ordonnée x est « appliquée par ordre » sur l'axe horizontal, et l'abscisse y est positive. Ces coordonnées, positives, ne sont pas nommées par Descartes. Hyperbole de Descartes
La cubique d'équation y3 - 2ay2 - a2y + 2a2 = axy est appelée « parabole cartésienne » par Newton et « trident de Newton » par d'autres mathématiciens.
Côté droit : corde perpendiculaire à l'axe d'une conique, au milieu du diamètre.
Diamètre : côté ; pour une conique, c'est la droite formée par les milieux de cordes parallèles coupant la conique ;
Pour une parabole, c'est aussi un segment de longueur le paramètre, porté par l'axe, une des extrémités étant le sommet de la parabole.
Pourceque : locution synonyme de parce que, utilisée par Descartes pour marquer la raison, la cause.
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Courbe du premier genre : paraboles et ellipses. Courbe du second genre : regroupe les troisième et quatrième degrés, car une équation du quatrième degré peut se ramener à une du troisième.
Descartes utilisera le premier les lettres du début de l'alphabet a, b, c, d… pour les lignes connues et celles de la fin pour les lignes inconnues x, y, z.
Des notations commodes pour les exposants et les coefficients remplacent celles de Viète.
Descartes aurait inventé le symbole Π (Pi majuscule) pour désigner le produit de plusieurs facteurs ; par exemple : x1x2 ... xn =.
Pour faciliter la lecture, nous avons substitué à quelques signes employés par Descartes d'autres signes universellement adoptés, toutes les fois que ces changements n'en n'apportaient pas dans le principe de la notation.
La soustraction est notée au moyen de deux tirets successifs : nous remplacerons a -- b par a - b.
Symbole racine carrée :
Fibonacci utilisait le symbole racine carrée √ pour les radicaux.
En 1525, Christophe Rudolff a inventé le signe moderne sans la barre supérieure. C'est Descartes; en 1637 dans la Géométrie, qui a inventé le signe , en ajoutant le vinculum, trait horizontal placé au-dessus de l'expression. Il 'utilise ce symbole racine indifféremment pour la racine carrée ou avec la constante C homogène indique la racine cubique .
Descartes a systématisé la notation xn des exposants pour les puissances. Cependant il répète presque toujours les facteurs égaux xx lorsqu'ils ne sont qu'au nombre de deux.
Dans ces pages, à la suite de Victor Cousin, nous avons constamment adopté la notation x2.
Descartes utilise comme symbole de l'égalité le signe , déformation de la diphtongue de ce mot en latin : æquare. Ce signe sera en usage jusqu'à Leibniz, et comme lui nous le remplacerons par le signe =.
Dans une expression polynomiale, les coefficients formés de plusieurs termes que nous écrivons entre deux parenthèses sont placés par Descartes l'un sous l'autre.
Descartes remplace par des astérisques les monômes manquant dans une expression polynomiale ; nous ôterons ces caractères *, ainsi que le facteur 1 qu'il laisse parfois.
Quelles sont les lignes courbes qu'on décrit en trouvant leurs points qui peuvent être reçues en géométrie
Quelles sont aussi celles qu'on décrit avec une corde qui peuvent y être reçues
Que, pour trouver toutes les propriétés des lignes courbes, il suffit de savoir le rapport qu'ont leurs points à ceux des lignes droites ; et la façon de tirer d'autres lignes qui les coupent en tous ces points à angles droits
Comment on peut faire un verre autant convexe ou concave en l'une de ses superficies qu'on voudra,
qui rassemble à un point donné tous les rayons qui viennent d'un autre point donné
Comment on en peut faire un qui fasse le même,
et que la convexité de l'une de ses superficies ait la
proportion donnée avec la convexité ou, concavité de l'autre
Comment on peut rapporter tout ce qui a été dit des lignes courbes décrites sur une superficie plate, à celles qui se décrivent dans un espace qui a trois dimensions, ou bien sur une superficie courbe
Les racines des équations :
Combien il peut y avoir de racines en chaque équation
Quelles sont les fausses racines
Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équation, lorsqu'on connaît quelqu'une des racines
Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d'une racine
Combien il peut y avoir de vraies racines en chaque équation
Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les vraies fausses
Comment on fait que toutes les places d'une équation soient remplies
Comment on peut multiplier ou diviser les racines d'une équation sans les connaître
Les imaginaires :
Comment on rend la quantité connue de l'un des termes d'une équation égale à telle autre qu'on veut
Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires
La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan
Quels problèmes sont solides lorsque l'équation est cubique
La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan ;
et quels sont ceux qui sont solides
Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré
Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de trois ou quatre dimensions
Conclusions sur les équations et les problèmes :
Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques,
ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées
On trouvera aussi en plusieurs endroits des définitions fort mal mises, et quantité d'autres fautes de peu d'importance : lesquelles on excusera facilement quand on saura que l'Auteur ne fait pas profession d'être Grammairien, et que le Compositeur dont le Libraire s'est servi n'entend pas un mot de Français, et que le contributeur ne brille pas en orthographe !
Par grâce et privilège du Roi Très-Chrétien il est permis à l'Auteur du livre intitulé Discours de la Méthode etc.
les Météores, et la Géométrie etc. de le faire imprimer en telle part que bon lui semblera dedans et dehors le royaume de France, et ce pendant le terme de dix années consécutives, à compter du jour qu'il sera parachevé d'imprimer…
Ainsi qu'il est plus amplement déclaré dans les lettres données à Paris le 4e jour de mai 1637.
Signé par le roi en son conseil Ceberet et scellées du grand sceau de cire jaune sur simple queue.
L'auteur à permis à Jean Maire, marchand libraire à Leyde, d'imprimer le dit livre et de jouir du dit privilège pour le temps et aux conditions entre eux accordées.
Peut-être l'auteur permettrait, à titre posthume, à PDebart, de scanner le dit livre… !
Parfois, la puissance de l'appareillage autour d'un livre signale celui que l'on attendrait de toute bibliothèque et donne l'impression que ce livre est multiple: on peut s'en offrir plusieurs lectures. C'est le cas de «La Géométrie», de René Descartes, ou plus précisément de l'URL-outil http://www.debart.fr/geometrie/geom_descartes.htm ou WikiSource. Le lecteur peut relire Descartes, dans le français du XVIIe siècle ou dans celui d'aujourd'hui. Les formules mathématiques sont retranscrites dans leur forme contemporaine, commentées, et redémontrées quand c'est nécessaire. Même les citations latines sont traduites. Ici la combinaison de l'outil et du travail éditorial réconcilie avec le concept de bibliothèque: le lecteur n'est plus un client à qui on force l'usage d'une machinerie plus ou moins bien pensée, mais une personne qui se sent d'emblée accompagnée dans les dédales d'un savoir aussi complexe que rude.
Ainsi un site web passe du statut de pur dépôt de texte(s) à celui de bibliothèque à partir du moment où il se complète de programmes, d'outils de mise en perspective des données qui lui sont propres et de lecteurs-utilisateurs. Ce constat renvoie à la bibliothèque des informaticiens: pour eux, une bibliothèque (de programmes) est avant tout un ensemble d'outils facilitant l'usage d'un logiciel ou d'un ordinateur à la fois un ensemble de textes (de livres?) et d'instruments (textuels) travaillant sur ces textes, tous sans cesse affinés collectivement.
Éric Guichard
Bibliothèques numériques - Dictionnaire critique de la mondialisation
Page no 173, créée le 11/7/2011
mise à jour le 4/8/2011
Descartes et les Mathématiques
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sans la barre supérieure. C'est Descartes; en 1637 dans la Géométrie, qui a inventé le signe 
, en ajoutant le vinculum, trait horizontal placé au-dessus de l'expression. Il 'utilise ce symbole racine indifféremment pour la racine carrée ou avec la constante C homogène 
indique la racine cubique 
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