Descartes et les Mathématiques
Parallélogrammes en seconde
Configurations du plan : parallélogrammes, rectangles, parallélogrammes avec contraintes.
Sommaire
3. D'un parallélogramme à l'autre
4. Parallélogramme et bissectrice
5. Comparaison d'aires dans un rectangle
6. Parallélogramme avec contraintes
Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites
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Point aligné sur une diagonale : parallélogramme de Pappus
Propriétés
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Figure interactive dans GeoGebraTube : parallélogramme
1. Thalès et parallélogramme
ABCD est un parallélogramme.
M est un point sur la droite (DC) tel que 
= x 
.
M’ est le point de la droite (BC) tel que 
=
.
Montrer que les points A, M et M’ sont alignés.
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2. Projections orthogonales des sommets sur les diagonales
ABCD est un parallélogramme.
I, J, K, L sont les projections orthogonales des sommets sur les diagonales.
Montrer que IJKL est un parallélogramme.
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3. D'un parallélogramme à l'autre
Les points P, Q, R et S sont les points d'intersection des droites perpendiculaires aux diagonales issues des sommets.
Montrer que PQRS est un parallélogramme.
Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que PQRS est alors un losange.
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4. Parallélogramme et bissectrices
Résoudre par une méthode géométrique, dans R,
l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0.
AMEC est un parallélogramme. Une droite (d) passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J.
Sachant que AI = 2 et IB =1, calculer la longueur BJ.
Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude 
. Donc, BC = AM = CE et B est le milieu de [EC].
Dans le triangle JAM, EB = AM, la droite (BE) parallèle à (AM) est une droite des milieux : B est le milieu de [AJ] et E le milieu de [MJ].
On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires.
Si F est le milieu de [MA], (BF), joignant les milieux des côtés du parallélogramme AMEC, est parallèle à (ME) ; donc perpendiculaire à (MC).
(MC) diagonale du parallélogramme est une médiane du triangle MBF, elle est aussi une médiatrice, d'où MBF admettant (MC) comme axe de symétrie est un triangle isocèle et MB = MF = MA
Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que 
= 2.
Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB.
Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1) et A(4).
Un point M de la droite d'abscisse x est tel que MB = |x - 1| et MA = |x - 4|.
L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant = 2.
C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0,
soit x = 2 ou x = −2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2).
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5. Comparaison d'aires dans un rectangle
Comparaison d'aires sans calcul :
L@ feuille à problèmes
ABCD est un rectangle de centre O.
Sur [AB] et [CD] placer deux points M et N,
tels que AM = CN.
Les deux triangles verts ont la même aire.
L'aire du parallélogramme rouge est égale à celle des deux triangles.
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Indications pour la solution
C est l'image de A dans la symétrie de centre O. 
= − 
: les points M et N sont symétriques par rapport à O.
Par la symétrie de centre O, la droite (AN) a pour image (CM), (DM) a pour image (BN). Les points d'intersection I et J sont donc symétriques par rapport à O et MINJ est un parallélogramme.
Le triangle CBI est symétrique du triangle ADJ : ils ont même aire.
La translation de vecteur 
transforme M en M’, J en J’et le triangle ADJ en BCJ’.
Ces deux triangles ont même aire.
Par composition de la symétrie et de la translation, on montre que BJ’CI est un parallélogramme, d'aire égale à celle des deux triangles.
Par symétries ou translation, les triangles en jaune sont d'aires égales.
Les parallélogrammes NCMA et NCM’B ont même aire égale NC × CB.
En enlevant les triangles jaunes, on « voit » que les parallélogrammes MINJ et BJ’CI ont même aire.
L'aire du parallélogramme MINJ est égale à celle des deux triangles CBJ’ et DBI, donc celles de ADJ et DBI.
6. Parallélogramme avec contraintes
Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites
On donne deux points A, B distincts et deux droites (d1), (d2) sécantes, et distinctes de (AB).
Existe-t-il un point C sur (d2) et un point D sur (d1) tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ?
Analyse
Placer un point D variable sur (d1) et tracer le quatrième point C du parallélogramme ABCD.
Déplacer le point D jusqu'à ce que C soit sur la droite (d2).
Solution
Parallélogramme avec 2 sommets sont situés sur 2 droites
La trace du lieu du point C permet de réaliser que ce point est situé sur une droite parallèle à (d1).
Il suffit donc de tracer la droite (d’), image de (d1) par la translation de vecteur . Les droites (d2) et (d’) sont sécantes en C.
Le point D, image de C par la translation réciproque de vecteur 
, est situé sur (d1)
et = 
:
le parallélogramme ABCD est la solution du problème.
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Page no 64, réalisée le 22/2/2004
mise à jour le 28/10/2009