René DescartesGeoGebraDescartes et les Mathématiques

Produit scalaire dans l'espace

Droites orthogonales : tétraèdre et cube - Figures avec GeoGebra.

Sommaire

Définitions
1. Tétraèdre : arêtes égales

2. Tétraèdre : arêtes orthogonales

3. Plan et droite orthogonaux dans le cube

Icône GéoPlan GéoPlan : Produit scalaire

Exercices sur le produit scalaire

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Tétraèdre orthocentrique : tétraèdre en 2nde

Sections planes d'un tétraèdre

Liens vers les pages section de cube

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Cube en seconde

Icône GeoGebra GeoGebra 3D en première

Icône GéoSpace Cube en terminale

Plan et droite orthogonaux dans le cube - épreuve pratique de TS

Définitions

Deux vecteurs de l'espace pouvant toujours être placés dans un même plan, les trois premières définitions du produit scalaire dans l'espace sont équivalentes à celles données en 1ère S pour le produit scalaire dans le plan.

Définition 1 (projection orthogonale)

Le produit scalaire de deux vecteurs vec(AB) et vec(CD) colinéaires est égal à AB × CD s'ils sont de même sens, et à – AB × CD s'ils sont de sens contraires.
Pour calculer le produit scalaire vec(AB).vec(CD) de deux vecteurs non colinéaires, dans le plan déterminé par vec(AB) et vec(CD), on peut remplacer le vecteur vec(CD) par sa projection orthogonale sur le vecteur vec(AB).

Définition 2 (carré des normes)

si vec(u) = vec(AB), ||vec(u)|| = ||vec(AB)|| = AB.

On appelle produit scalaire de deux vecteurs le nombre : vec(u).vec(v) = 1/2 [ ||vec(u) + vec(v)||2 - ||vec(u)||2 - ||vec(v)||2 ].

Définition 3 (expression trigonométrique)

vec(u).vec(v) = ||vec(u)|| × ||vec(v)|| × cos θ, où θ est l'angle (vec(u), vec(v)) formé par les directions des vecteurs.

Définition 4 (expression analytique dans l'espace)

Si dans un repère orthonormal (O, vect(i), vect(j), vect(k)), vec(u) et vec(v) ont pour coordonnées respectives (x, y, z) et (x’, y’, z’), alors vec(u).vec(v) = xx’ + yy’ + zz’.

Définition simple et calculs faciles. On retrouve xx’ + yy’ + zz’= 0 pour les vecteurs orthogonaux.
On retrouve aussi le calcul de distance de deux points
: ||vec(AB)|| = rac(x²+y²+z²) = AB, où x et y sont les coordonnées de vec(AB).
Il faut admettre que le calcul du produit scalaire est indépendant du choix du repère.

Équation cartésienne d'un plan

Le plan passant par un point A et de vecteur normal vect(n) est l'ensemble des points M tels que vect(AM).vect(n) = 0.

Dans un repère orthonormal un plan (p) a une équation de la forme ax + by + cz = d où les réels a, b, c ne sont pas simultanément tous nuls.
vect(n)(a, b, c) est un vecteur normal à (p).

En effet, si M a pour coordonnées (x, y, z), A(x0, y0, z0) et vect(n)(a, b, c), alors vect(AM)(x-x0, y-y0, z-z0) et vect(AM).vect(n) = a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0).
Le produit scalaire est nul si ax + by + cz = ax0 + by0 + cz0. Le nombre d s'obtient en calculant ax + by + cz pour les coordonnées de A.

1. Tétraèdre : arêtes de longueurs égales

produit scalaire avec GeoGebra 3D - 2 arêtes égales dans un tétraèdre- copyright Patrice Debart 2015 Produit scalaire dans un tétraèdre

Soit ABCD un tétraèdre et I, J, K et L les milieux de [BC], [BD], [CA] et [DA].
Étude des bimédianes [LI] et [KJ].

1. Exprimer vect(LI) et vect(KJ) en fonction de vec(A,B) et vec(C,D).

Remarque : décomposer vect(LI) en une somme de deux vecteurs et utiliser le théorème des milieux.
De même avec vect(KJ).

2. Calculer le produit scalaire vect(LI). vect(KJ).

3. Montrer que les bimédianes (LI) et (KJ) sont orthogonales si et seulement si :
AB = CD.

Remarque : IJLK est un carré, de centre G,centre de gravité du tétraèdre.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : bimédianes perpendiculaires d'un tétraèdre

2. Tétraèdre : arêtes orthogonales

bac S maths 1989 - produit scalaire avec GeoGeba 3D - deux arêtes orthogonales d'un tétraèdre- copyright Patrice Debart 2015

Rappel : forme vectorielle du « théorème de la médiane »

Soit C et D deux points de l'espace et I le milieu de [CD].
Quel que soit le point M de l'espace, la médiane MI du triangle MCD permet d'écrire :
vect(MC) + vect(MD) = 2 vect(MI)
et MC2 - MD2 = 2 vect(MI).vec(DC).

En effet : vect(MC) + vect(MD) = (vect(MI) + vect(IC)) + (vect(MI) + vect(ID)) = 2 vect(MI)
et MC2 - MD2 = (vect(MC) + vect(MD)).(vect(MC)- vect(MD)) = 2 vect(MI).(vect(DM) + vect(MC)) = 2 vect(MI).vect(DC).

Exercice

Bac S - Besançon 1989

On considère quatre points distincts A, B, C et D de l'espace.

1. Exprimer AC2 - AD2 et BC2 - BD2 sous la forme de produits scalaires.

2. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si :
AC2 + BD2 = AD2 + BC2.

3. Application : on suppose que le tétraèdre ABCD soit tel que les arêtes (AB) et (CD) soient orthogonales ainsi que les arêtes (BC) et (AD). Montrer alors qu'il en est de même des arêtes (BD) et (AC).
(On dit alors que ABCD est un tétraèdre orthocentrique.)

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : tétraèdre orthocentrique

    deux arêtes orthogonales d'un tétraèdre

3. Plan et droite orthogonaux dans le cube

produit scalaire avec Geogebra 3d - plan et droite orthogonaux - copyright Patrice Debart 2015

On considère un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur a (a réel strictement positif). Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).

Problème d'incidence

Montrer que la droite (EC) est perpendiculaire au plan (AFH).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : triangle équilatéral formé par trois diagonales de faces concourantes du cube

Produit scalaire

ÉduSCOL - Terminale S – Banque de sujets 2007 - Sujet 023 (enseignement obligatoire)

  • Calculer, en fonction de a, les produits scalaires suivants :
vec(EA).vec(AF), vec(AB).vec(AF), vec(BC).vec(AF)

  • En déduire que les vecteurs vec(EC) et vec(AF) sont orthogonaux,
le point I est alors le projeté orthogonal de E sur le plan (AFH),
les droites (EI) et (AF) sont orthogonales.

  • Justifier le résultat suivant : les droites (EH) et (AF) sont orthogonales.
En déduire que la droite (HI) est orthogonale à la droite (AF).

  • Établir, de même, que la droite (FI) est orthogonale à la droite (AH).

  • Que représente le point I pour le triangle AFH ?

Solutions - Problème d'incidence

La droite (HF) est orthogonale à (EC) :

Les deux diagonales (HF) et (EG) du carré EFGH sont perpendiculaires.
La droite (EA) perpendiculaire au plan EFH est perpendiculaire à la droite (HF) contenue dans ce plan.

La droite (HF) perpendiculaire aux droites (EG) et (EA) du plan AEG est perpendiculaire à ce plan.
(HF) est orthogonale à toute droite du plan AEG, en particulier à la droite (EC).

On démontre, de même, que la droite (AF) est orthogonale à (EC) : en effet, (AF) est perpendiculaire à (BE) et à (BC).
(AF) est donc perpendiculaire au plan EBC, et à la droite (EC) contenue dans ce plan.

La droite (EC) orthogonale aux deux droites concourantes (HF) et (AF) du plan AFH est orthogonale à ce plan.

Produit scalaire

vec(EA).vec(AF) = vec(EA).(vec(AE)+vec(EF)) = − vec(EA)2 + vec(EA).vec(EF) = − a2+ 0 = − a2, car vec(EA) et vec(EF) sont orthogonaux,
vec(AB).vec(AF) = vec(AB).(vec(AE)+vec(EF)) = 0 + vec(AE)2 = a2,
vec(BC) est orthogonal au plan AEF, donc à vec(AF) : vec(BC).vec(AF) = 0.

vec(EC).vec(AF) = (vec(EA)+vec(AB)+vec(BC)).vec(AF) = − a2 + a2 + 0 = 0, vec(EC) et vec(AF) sont orthogonaux.
La droite (EI) est perpendiculaire à la droite (AF).

La droite (EH) perpendiculaire au plan AEF est orthogonale à la droite (AF) contenue dans ce plan.

La droite (AF) perpendiculaire aux droites concourantes (EI) et (EH) est perpendiculaire au plan EHI contenant ces deux droites.
(AF) est perpendiculaire à la droite (HI) contenue dans ce plan.

Le point I intersection des hauteurs (HI) et (FI) du triangle AFH est l'orthocentre du triangle.
Les côtés du triangle AFH sont égaux comme diagonales des faces du cube de longueur arac(2), AFH est un triangle équilatéral, le point I est le centre du triangle.

Table des matières

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adaptée à GeoGebra le 10/2/2015