La géométrie en classe de seconde avec GéoPlan
On progresse davantage en résolvant un problème de géométrie,
qu'en absorbant des connaissances mal digérées.
Quels contenus
Atelier APMEP
JN de Grenoble 2011
L'espace en seconde
…Géométrie en seconde
Pentagone régulier :
constructions exactes
constructions approchées
Rectangle inscrit dans un triangle
Lieux géométriques
Un cercle comme lieu d'un point
Échelle glissant contre un mur vertical
Hors programme
Constructions géométriques
Constructions avec contraintes :
reproduction de figures
…La géométrie du triangle
Le triangle
La géométrie du triangle I - droites remarquables
La géométrie du triangle II - points caractéristiques
La géométrie du triangle III - cercles
La géométrie du triangle IV - lieux géométriques
La géométrie du triangle V - relations métriques
Retrouver un triangle à partir de trois droites remarquables
La géométrie du cercle
Le cercle
Problèmes de contact : construction de cercles tangents
Optimisation
Optimisation en seconde
Aire minimale d'un triangle inscrit dans un rectangle
Mobile friendly
Avec GeoGebra 3D
Tétraèdre avec GeoGebra
GeoGebra
Cercles inscrits et théorème de Feuerbach dans le triangle rectangle
Les mathématiques devaient être « s e x y », prétendait l'inspecteur, mais la poupée s'est dégonflée. À avoir voulu faire des maths une « blonde », on se retrouve avec des programmes vides de sens, un désintérêt des élèves et une désaffection des étudiants.
Quels contenus pour l'enseignement de mathématiques au lycée
L'enseignement des mathématiques doit être attractif. Il faut sensibiliser les jeunes, en particulier les jeunes filles à la beauté des mathématiques. Il ne doit pas être obligatoire, sauf pour les élèves se destinant à l'enseignement scientifique ou au professorat des écoles. Il doit être formateur et laisser à l'élève le temps de la recherche.
L'enseignement devra montrer ce que sont les mathématiques :
• une science à part entière, mais aussi au service des autres sciences,
• un langage pour décrire le monde, mais aussi un outil de décision,
• une part du patrimoine de l'humanité aussi ancienne que l'écriture, mais aussi un secteur en pleine évolution lié aux avancées les plus modernes de la science et de la technologie,
• un outil qui intervient dans notre vie de tous les jours : téléphone mobile, DVD, GPS, imagerie médicale, codes RSA…
Les mathématiques aident à penser et sont en connexion avec le monde réel.
Nous devons repenser notre enseignement en fonction des évolutions actuelles :
• Nous avons besoin d'une familiarité avec les formes algébriques. Cet enseignement doit être en relation avec la calculatrice, le calcul formel et l'enseignement de l'informatique qu'il faut promouvoir au lycée, deux heures par semaine dès la classe de seconde.
• Un niveau de technicité en calcul est nécessaire. Son enseignement, à inventer, au lieu d'en être en concurrence avec la calculatrice, doit l'utiliser et l'intégrer pour un apprentissage dans les conditions réelles du monde moderne.
• Les statistiques et les probabilités ont une place non négligeable. Les statistiques n'ont rien de ludique et l'abstraction des probabilités est objet de rejet, y compris chez les profs de maths. L'enseignement des statistiques doit s'appuyer sur les outils de calculs sans lesquels elles n'existeraient pas. L'enseignement des probabilités sera une réussite lorsque nous arriverons à détourner nos élèves et leurs parents des horoscopes, des jeux de hasard des casinos, du PMU ou de la Française des jeux…
• Les banques font un grand usage des mathématiques qui ne se limitent pas aux calculs d'intérêt. Les patrons des banques et les politiques, censés les contrôler, n'y connaissent rien. Une formation scientifique, avec un formalisme consistant, aurait certainement pu éviter le trader et limiter la crise.
La géométrie (euclidienne)
Avant Euclide, les mathématiques grecques se sont développées sans règle de déduction explicite. La logique d'Aristote était trop fruste pour fonder les raisonnements. Le « si… alors… » est une conception trop pauvre du langage (mais trop riche pour le collège 2009) et jusqu'au XIXe siècle les règles de déduction resteront implicites.
Les axiomes comme l'« unicité d'une parallèle » ou les « cas d'égalité des triangles » été explicités par Euclide et fournissent un fondement de la géométrie, imparfait certes, mais sur lesquels les autres résultats reposent solidement.
Avec la méthode synthétique, Euclide a organisé la géométrie de manière déductive en donnant, à partir des propriétés géométriques établies précédemment, un raisonnement pour déduire chaque propriété cherchée.
La géométrie doit être enseignée :
• elle est belle, utile et infinie,
• il est indispensable d'avoir une vision géométrique,
• elle est le lieu privilégié de l'apprentissage de la recherche, de l'imagination et de la rigueur,
• les logiciels de géométrie dynamique facilitent maintenant le travail, nous libèrent de l'imperfection des figures et de la difficulté des calculs ; leur maîtrise est une bonne formation à l'informatique.
Calcul ou raisonnement
Depuis 30 siècles, les mathématiques oscillent entre calcul et raisonnement.
Quand un mésopotamien attaque une division, il sait qu'il aboutira, ce n'est guère ludique et il peut même évaluer le temps approximatif qu'il mettra !
Quand un pythagoricien aborde un problème de géométrie, il ne sait pas combien de temps il « séchera », et même s'il trouvera un jour ! Mais quelle joie lorsqu'il trouve.
Le mythe de la méthode de Descartes était de « diviser chacune de difficultés que j'examinerais en autant de parcelles qu'il se pourrait et qu'il serait requis pour les résoudre » (seconde règle de la méthode, dans la 2e partie du discours), et tous les problèmes de géométrie peuvent se réduire à des calculs sur des nombres. Génial en 1637, mais cela ne marche pas.
De nombreux problèmes de géométrie, d'apparence simple :
– sont toujours non résolus, ou résolus récemment au prix de difficultés considérables ;
– pour être compris, demandent un degré d'abstraction bien supérieur à celui de leur énoncé ;
– les outils mathématiques utilisés pour les résoudre ont été conçus ou serviront dans de tout autres buts.
La géométrie est de plus en plus présente dans notre civilisation de l'image (virtuelle), bien que devenue pratiquement absente de l'enseignement secondaire. Mais sans bonnes images mentales, on ne peut bien travailler dans « l'espace fonctionnel ».
D'après Marcel Berger – Géométrie vivante ou l'échelle de Jacob - Cassini 2009
Objectif pour la géométrie en seconde
Rendre les élèves capables d'étudier un problème dont la résolution repose sur des calculs de distance, la démonstration d'un alignement de points ou du parallélisme de deux droites, la recherche des coordonnées du point d'intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie plane repérée.
Comment ?
Les configurations étudiées au collège (triangles, quadrilatères, cercles) sont la source de problèmes pour lesquels la géométrie repérée et les vecteurs fournissent des outils nouveaux et performants.
L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique par les élèves leur donne une plus grande autonomie et encourage leur prise d'initiative.
Inspection pédagogique régionale de Mathématiques – Aix-Marseille – Mai-Juin 2009
Quel avenir ?
Que pèseront nos quelques milliers d'étudiants en mathématiques face aux millions formés, en mathématiques et informatique, tous les ans en Chine. Quel bouclier évitera la décadence programmée par le 110 rue de Grenelle ?
Abandonnant les mathématiques de la France des Lumières, il semble que l'on se dirige pour la classe de seconde vers celles de l'Europe des comptables où le seul infini proposé est le « toujours plus pour ceux ont plus » avec comme corollaire « toujours moins pour ceux ont moins ». Mais je m'égare, on ne fait plus de réciproque et le « si… alors… » n'est plus au programme.
Est-ce vraiment l'avenir que l'on nous prépare ? Attendons 2012…
Voir aussi :
De jolies « babioles »
Exemples de TP pour les mathématiques dans la nouvelle seconde
Page créée le 8/4/2004
mise à jour le 12/10/2009